সংখ্যা পদ্ধতি আর রূপান্তর — বাইনারি, অক্টাল আর হেক্সাডেসিমাল

১ · সংখ্যা পদ্ধতি কী — আঙুল, সুইচ আর চিহ্ন

একটি সহজ প্রশ্ন দিয়ে শুরু করি: “২০২৬” লিখলে আমরা কেন বুঝি এটি দুই হাজার ছাব্বিশ, দুই-শূন্য-দুই-ছয় নয়? কারণ আমরা মনে মনে একটি নিয়ম মানি — ডান দিকের অঙ্কটি এককের ঘর, তার বাঁয়েরটি দশকের, তারপর শতকের, তারপর হাজারের। একই অঙ্ক “২” প্রথমবার মানে দুই হাজার, তৃতীয় ঘরে মানে বিশ। অঙ্কের মান নির্ভর করছে সে কোথায় বসেছে তার ওপর।

এই নিয়মের পুরো ব্যবস্থাটিই সংখ্যা পদ্ধতি (number system): কিছু নির্দিষ্ট চিহ্ন (অঙ্ক), আর সেগুলো পাশাপাশি বসিয়ে যেকোনো পরিমাণ লেখার নিয়ম। পৃথিবীতে মানুষ নানা রকম সংখ্যা পদ্ধতি বানিয়েছে। মোটা দাগে সেগুলো দুই রকম:

রোমান সংখ্যায় ঘড়ির ডায়াল বা বইয়ের অধ্যায় লেখা চলে, কিন্তু হিসাব করতে বসলে বিপদ। MMXXVI × XLVII গুণ করার চেষ্টা করুন — খাতায় সাজিয়ে গুণ করার কোনো সহজ নিয়ম নেই, আর রোমানদের কোনো শূন্যও ছিল না। অবস্থাননির্ভর পদ্ধতির আসল জাদু এখানেই: মাত্র কয়েকটি চিহ্ন দিয়ে যত বড় সংখ্যাই হোক লেখা যায়, আর যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগের একই নিয়ম সব সংখ্যায় খাটে।

আমরা কেন ১০ দিয়ে গুনি, কম্পিউটার কেন ২ দিয়ে

শিশু প্রথম গুনতে শেখে আঙুলে — আর আমাদের আঙুল দশটি। দশটি শেষ হলে নতুন করে শুরু, মনে রাখতে হয় “এক দশ হলো”। দশমিক পদ্ধতির জন্ম সম্ভবত এই সাধারণ কারণেই। তবে দশই একমাত্র উপায় নয়। বাংলাদেশের বাজারেই দেখুন: ডিম কেনা হয় হালি (৪টি) দরে, কলা বা আম অনেক জায়গায় গোনা হয় কুড়ি (২০টি) ধরে, আর এক ডজন মানে ১২টি। প্রতিটিই একটি করে “দল বাঁধার একক” — যা সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তিরই আরেক রূপ।

কম্পিউটারের কাছে আঙুল নেই, আছে কোটি কোটি ছোট সুইচ — transistor. একটি সুইচের অবস্থা মাত্র দুটি: বিদ্যুৎ যাচ্ছে (১) বা যাচ্ছে না (০)। দুটি অবস্থা আলাদা করা খুব সহজ আর নির্ভরযোগ্য — ভোল্টেজ একটু ওঠানামা করলেও “আছে” আর “নেই” গুলিয়ে যায় না। তাই কম্পিউটারের ভেতরের সব হিসাব চলে binary বা দ্বিমিক পদ্ধতিতে, যার অঙ্ক মাত্র দুটি: 0 আর 1. প্রতিটি অঙ্ককে বলে একটি bit — পর্ব ০৪-এ ডেটার একক হিসেবে যাকে চিনেছেন।

তাহলে অক্টাল আর হেক্সাডেসিমাল কেন? কারণ বাইনারি মানুষের চোখে খুব লম্বা আর একঘেয়ে। দশমিক ১৫৬ বাইনারিতে 10011100 — আটটি অঙ্ক, একটি ভুল করলেই পুরো সংখ্যা বদলে যায়। ৮ আর ১৬ দুটোই ২-এর ঘাত (২³ আর ২⁴), তাই তিনটি বা চারটি bit একসাথে করে একটি অঙ্কে লেখা যায়। 10011100 হেক্সে মাত্র 9C. প্রোগ্রামাররা তাই লম্বা বাইনারির “সংক্ষিপ্ত হাতের লেখা” হিসেবে এগুলো ব্যবহার করেন।

বাংলা অঙ্ক কি আলাদা সংখ্যা পদ্ধতি?

না। ৫ আর 5 একই দশমিক অঙ্ক — শুধু লিপি (script) আলাদা, যেমন “ক” বাংলা লিপিতে আর “k” ইংরেজিতে। বাংলা অঙ্ক ০–৯, আরবি-ইংরেজি অঙ্ক 0–9, দেবনাগরী অঙ্ক — সবই ১০ ভিত্তির দশটি চিহ্ন। লিপি ≠ ভিত্তি। কম্পিউটারের কাছে আবার “৫” চিহ্নটি নিজেই একটি অক্ষর, যার নিজস্ব Unicode নম্বর U+09EB (পর্ব ০৭ আর ১৮)। বাংলা মাধ্যমের পাঠ্যবইয়ে বাইনারি সংখ্যা (১০১১)_২ আকারে বাংলা অঙ্কেও লেখা হয় — মান একই। এই পর্বে রূপান্তরের সংখ্যাগুলো ইংরেজি অঙ্কে লিখছি, কারণ হেক্সের A–F অক্ষরের সাথে সেটিই মানানসই আর কম্পিউটারের পর্দাতেও তা-ই দেখবেন।

২ · ভিত্তি, অঙ্ক আর স্থানীয় মান

যেকোনো positional পদ্ধতির সবচেয়ে জরুরি সংখ্যাটি হলো তার ভিত্তি (base বা radix) — পদ্ধতিতে কয়টি আলাদা অঙ্ক আছে। ভিত্তি b হলে অঙ্ক থাকে 0 থেকে b − 1 পর্যন্ত, মোট b-টি। ভিত্তির সমান কোনো একক অঙ্ক নেই — দশমিকে “১০” লিখতে দুটি অঙ্ক লাগে, এক দশ আর শূন্য একক।

হেক্সের ১৬টি অঙ্ক দরকার, কিন্তু আমাদের অঙ্ক-চিহ্ন মাত্র দশটি। তাই বাকি ছয়টির জন্য ইংরেজির প্রথম ছয়টি অক্ষর ধার করা হয়েছে: A = ১০, B = ১১, C = ১২, D = ১৩, E = ১৪, F = ১৫. ছোট হাতের a–f লিখলেও একই মান।

স্থানীয় মান — প্রতিটি ঘরের ওজন

প্রতিটি ঘরের একটি স্থানীয় মান বা ওজন (weight) আছে, যা ভিত্তির একটি ঘাত। ডান দিকের শেষ পূর্ণসংখ্যার ঘরটি অবস্থান ০ — ওজন b⁰ = ১. তার বাঁয়ে অবস্থান ১ (ওজন b¹), তারপর ২ (b²)… আর দশমিক বিন্দুর ডানে অবস্থান −১, −২… (ওজন b⁻¹, b⁻²…)। বিন্দুটিকে সাধারণভাবে বলে radix point — দশমিকে দশমিক বিন্দু, বাইনারিতে বাইনারি বিন্দু।

সাধারণ সূত্রটি তাই এক লাইনে লেখা যায় — যেকোনো সংখ্যার মান = প্রতিটি অঙ্ক × তার ঘরের ওজনের যোগফল:

সবচেয়ে বাঁয়ের (সবচেয়ে বেশি ওজনের) bit-কে বলে MSB (Most Significant Bit), আর সবচেয়ে ডানের (ওজন ১) bit-কে LSB (Least Significant Bit). LSB দেখেই বলা যায় সংখ্যাটি জোড় না বিজোড়: LSB 0 হলে জোড়, 1 হলে বিজোড়।

লেখার রীতি — কোন ভিত্তির সংখ্যা, বুঝবেন কীভাবে

“101” দেখে বোঝার উপায় নেই এটি একশো এক, নাকি বাইনারির পাঁচ, নাকি অক্টালের পঁয়ষট্টি। তাই ভিত্তি লিখে দিতে হয়:

• পাঠ্যবই ও পরীক্ষায়: বন্ধনীর পর ছোট করে ভিত্তি — (101)₂, (101)₈, (101)₁₀, (101)₁₆. পরীক্ষার খাতায় প্রতিটি উত্তরে ভিত্তি লিখতে ভুলবেন না।
• প্রোগ্রামিং ভাষায় (C, Python, JavaScript): 0b101 = বাইনারি, 0x101 = হেক্স, 0o101 = অক্টাল (Python, JavaScript). C-তে সামনে শুধু 0 দিলেই অক্টাল — 010 মানে আট, দশ নয়! এটি নতুন C প্রোগ্রামারদের একটি পরিচিত ফাঁদ।
• ওয়েবে রং: #FF0000 — হ্যাশ চিহ্নের পর ছয়টি হেক্স অঙ্ক (পর্ব ২৮)।
• কখনো শেষে অক্ষর: কিছু বইয়ে 9CH (H = hex), 234Q বা 101B — দেখলে চিনে রাখুন।

০ থেকে ১৬ পর্যন্ত গোনা — চার পদ্ধতিতে পাশাপাশি

নিচের সারণিটি একবার মন দিয়ে দেখুন, বিশেষ করে বাইনারি কলামে। ডান দিকের bit প্রতি ধাপে বদলায়, তার বাঁয়েরটি প্রতি দুই ধাপে, তার বাঁয়েরটি প্রতি চার ধাপে — ঠিক গাড়ির মিটারের মতো, শুধু প্রতিটি চাকায় দুটি অঙ্ক। আর খেয়াল করুন: ৮-এ পৌঁছে অক্টাল “10” হয়, ১৬-তে পৌঁছে হেক্স “10” হয়। যেকোনো ভিত্তিতে “10” মানে ভিত্তিটি নিজেই।

এই সারণির প্রথম আটটি সারি (০–৭, তিন bit) আর পুরো ষোলোটি সারি (০–F, চার bit) মুখস্থ থাকলে বাইনারি-অক্টাল-হেক্সের রূপান্তর কয়েক সেকেন্ডের কাজ হয়ে যায়। চার bit-এর এই দলটিকেই পর্ব ০৪-এ nibble বলে চিনেছেন — একটি হেক্স অঙ্ক = একটি nibble.

৩ · দশমিক থেকে বাইনারি, অক্টাল আর হেক্স — বারবার ভাগ

দশমিক পূর্ণসংখ্যাকে অন্য ভিত্তিতে নেওয়ার প্রচলিত নিয়ম হলো ভাগ পদ্ধতি (repeated division):

1. সংখ্যাটিকে নতুন ভিত্তি দিয়ে ভাগ করুন; ভাগফল নিচে লিখুন, ভাগশেষ পাশে লিখুন।
2. ভাগফলকে আবার একই ভিত্তি দিয়ে ভাগ করুন। ভাগফল ০ না হওয়া পর্যন্ত চালিয়ে যান।
3. ভাগশেষগুলো নিচ থেকে ওপরে পড়ুন — সেটিই উত্তর। প্রথম ভাগশেষটি LSB, শেষেরটি MSB.

কেন কাজ করে? সংখ্যাকে ২ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ বলে দেয় সংখ্যাটি বিজোড় কি না — অর্থাৎ ১-এর ঘরে 1 বসবে কি না। ভাগফল হলো বাকি সব ঘর এক ধাপ ডানে সরানো সংখ্যা। তাই প্রতিটি ভাগে আমরা ডান দিক থেকে একটি করে অঙ্ক বের করে আনি — এ কারণেই প্রথম ভাগশেষ সবচেয়ে ডানে বসে। নিচে (156)₁₀-কে বাইনারিতে নিন, ধাপে ধাপে:

পরীক্ষার খাতায় একই কাজটি সাধারণত এভাবে সংক্ষেপে লেখা হয় — বাঁয়ে ভাজক, মাঝে ভাগফলের সারি, ডানে ভাগশেষ, আর পাশে একটি তীর ওপরের দিকে:

2 | 156
  |-----
2 |  78   — 0   ↑ (LSB)
2 |  39   — 0   ↑
2 |  19   — 1   ↑
2 |   9   — 1   ↑
2 |   4   — 1   ↑
2 |   2   — 0   ↑
2 |   1   — 0   ↑
  |   0   — 1   ↑ (MSB)   উত্তর: (156)10 = (10011100)2

একই নিয়মে অক্টাল আর হেক্স

ভিত্তি বদলালে শুধু ভাজক বদলায়। ১৫৬-কে ৮ দিয়ে ভাগ করলে অক্টাল, ১৬ দিয়ে ভাগ করলে হেক্স পাবেন। হেক্সে ১০ থেকে ১৫ ভাগশেষ এলে অক্ষরে লিখুন — ১২ মানে C.

আরেকটি ছোট উদাহরণ, যা পরীক্ষায় খুব আসে: (25)₁₀ → বাইনারি। ২৫ ÷ ২ = ১২ (ভাগশেষ 1), ১২ ÷ ২ = ৬ (0), ৬ ÷ ২ = ৩ (0), ৩ ÷ ২ = ১ (1), ১ ÷ ২ = ০ (1). নিচ থেকে ওপরে: (11001)₂. যাচাই: ১৬ + ৮ + ১ = ২৫.

৪ · ভগ্নাংশের রূপান্তর — বারবার গুণ

দশমিক বিন্দুর পরের অংশের জন্য নিয়মটি ঠিক উল্টো — ভাগ নয়, গুণ পদ্ধতি (repeated multiplication):

1. ভগ্নাংশটিকে নতুন ভিত্তি দিয়ে গুণ করুন।
2. গুণফলের পূর্ণ অংশটি (বিন্দুর বাঁয়ের অঙ্ক) আলাদা করে লিখুন — এটিই পরের অঙ্ক।
3. শুধু ভগ্নাংশ অংশটি নিয়ে আবার গুণ করুন। ভগ্নাংশ ০ হলে, বা প্রশ্নে চাওয়া সংখ্যক অঙ্ক পেলে থামুন।
4. পূর্ণ অংশগুলো ওপর থেকে নিচে পড়ুন — বিন্দুর ঠিক পর থেকে।

যুক্তিটা আগের মতোই: ০.৬২৫-কে ২ দিয়ে গুণ করা মানে বাইনারি বিন্দুকে এক ঘর ডানে সরানো। বিন্দুর ঠিক ডানের অঙ্ক (ওজন ½) তখন বিন্দুর বাঁয়ে চলে আসে — আমরা সেটি তুলে নিই। প্রথম যে অঙ্কটি পাই সেটি বিন্দুর সবচেয়ে কাছের, তাই এবার পড়তে হয় ওপর থেকে নিচে।

অক্টাল বা হেক্সেও একই নিয়ম, শুধু গুণক ৮ বা ১৬: ০.৬২৫ × ৮ = ৫.০ → (0.5)₈; ০.৬২৫ × ১৬ = ১০.০ → A → (0.A)₁₆. তাই (45.625)₁₀ = (55.5)₈ = (2D.A)₁₆.

যে ভগ্নাংশ কখনো শেষ হয় না — 0.1-এর রহস্য

এবার (0.1)₁₀-কে বাইনারিতে নিয়ে দেখুন:

০.২ আগেও এসেছিল, তাই এখান থেকে একই ক্রম চিরকাল ঘুরতে থাকবে: (0.1)₁₀ = (0.0001100110011…)₂, “0011” অংশটি অসীমবার। যেমন দশমিকে ⅓ = ০.৩৩৩… কখনো শেষ হয় না, তেমনি বাইনারিতে ০.১ শেষ হয় না। কোন ভগ্নাংশ শেষ হবে? যার হর (লঘিষ্ঠ আকারে) শুধু ২-এর ঘাত — ½, ¼, ⅜, ⅝ ইত্যাদি। ০.১ = ১/১০, আর ১০-এ ৫ আছে, তাই বাইনারিতে সে পৌনঃপুনিক।

৫ · যেকোনো ভিত্তি থেকে দশমিক — স্থানীয় মানে বিস্তার

উল্টো দিকের রূপান্তর সবচেয়ে সহজ: অংশ ২-এর সূত্রটি সরাসরি প্রয়োগ করুন। প্রতিটি অঙ্কের নিচে তার অবস্থান লিখুন, ওজন বের করুন, গুণ করুন, যোগ করুন। একে বলে positional expansion বা স্থানীয় মানে বিস্তার। পূর্ণ অংশ আর ভগ্নাংশ — দুটিই একসাথে করা যায়:

অক্টাল আর হেক্স থেকে দশমিক

ঠিক একই নিয়ম, শুধু ওজনগুলো ৮ বা ১৬-এর ঘাত:

• (157)₈ = 1×8² + 5×8¹ + 7×8⁰ = ৬৪ + ৪০ + ৭ = (111)₁₀
• (2AF)₁₆ = 2×16² + 10×16¹ + 15×16⁰ = ৫১২ + ১৬০ + ১৫ = (687)₁₀
• (1E)₁₆ = 1×16 + 14 = (30)₁₀; (FF)₁₆ = 15×16 + 15 = (255)₁₀
• (17.4)₈ = 1×8 + 7 + 4×8⁻¹ = ৮ + ৭ + ০.৫ = (15.5)₁₀

৬ · বাইনারি ↔ অক্টাল ↔ হেক্স — ৩ আর ৪ bit-এর দল

এখানেই অক্টাল আর হেক্সের আসল সুবিধা। ৮ = ২³, তাই প্রতিটি অক্টাল অঙ্ক ঠিক ৩টি bit-এর সমান; ১৬ = ২⁴, তাই প্রতিটি হেক্স অঙ্ক ঠিক ৪টি bit-এর সমান। ফলে ভাগ-গুণ ছাড়াই, শুধু দল বেঁধে রূপান্তর করা যায়:

• বাইনারি → অক্টাল: বিন্দু থেকে শুরু করে ৩টি করে bit-এর দল বাঁধুন — পূর্ণ অংশে ডান থেকে বাঁয়ে, ভগ্নাংশে বাঁ থেকে ডানে। অসম্পূর্ণ দলে 0 বসিয়ে পূরণ করুন (পূর্ণ অংশে বাঁয়ে, ভগ্নাংশে ডানে)। প্রতিটি দলকে একটি অঙ্কে লিখুন।
• বাইনারি → হেক্স: একই নিয়ম, ৪টি করে bit.
• অক্টাল/হেক্স → বাইনারি: প্রতিটি অঙ্ককে ৩ বা ৪ bit-এ লিখে পাশাপাশি বসান — প্রতিটি দলে সামনের 0 সহ পুরো ৩/৪টি bit লিখতে হবে।

বিন্দু থাকলে ভগ্নাংশ অংশে দল বাঁধুন বিন্দু থেকে ডানে, আর ঘাটতি পূরণ করুন ডান দিকে 0 বসিয়ে। যেমন (101101.101)₂: পূর্ণ অংশ 0010 1101 = 2D, ভগ্নাংশ 1010 = A, তাই (2D.A)₁₆; অক্টালে 101 101 . 101 = (55.5)₈ — অংশ ৪-এর উত্তরের সাথে হুবহু মিলে গেল। ভগ্নাংশে বাঁ দিকে 0 বসালে (.0101 = 5) উত্তর ভুল হতো।

অক্টাল ↔ হেক্স — বাইনারির সেতু দিয়ে

৮ আর ১৬-এর মধ্যে সরাসরি দল বাঁধার সম্পর্ক নেই। তাই সহজ পথ: আগে বাইনারিতে, তারপর নতুন মাপে দল।

দশমিকের মধ্য দিয়েও যাওয়া যায় (অক্টাল → দশমিক → হেক্স), কিন্তু তাতে ভাগ-গুণ বেশি, ভুলের সুযোগও বেশি। পরীক্ষায় “বাইনারির মাধ্যমে” বলা থাকলে অবশ্যই বাইনারির পথ দেখাবেন।

৭ · হেক্স সবখানে — রং, MAC, মেমরি আর Unicode; আর n bit-এর হিসাব

হেক্স শুধু পাঠ্যবইয়ের বিষয় নয়। একবার চিনে ফেললে চারপাশে সবখানে দেখবেন — কারণ এক byte (৮ bit) ঠিক দুটি হেক্স অঙ্কে ধরে, ০০ থেকে FF. লম্বা বাইনারি পড়ার জন্য এর চেয়ে সুবিধাজনক কিছু নেই।

n bit-এ কতগুলো মান — ২ⁿ-এর নিয়ম

১ bit-এ ২ রকম মান (0, 1), ২ bit-এ ৪ রকম (00, 01, 10, 11), ৩ bit-এ ৮ রকম। প্রতিটি নতুন bit সম্ভাবনা দ্বিগুণ করে। তাই:

উল্টো প্রশ্নও আসে: N রকম মান রাখতে কমপক্ষে কত bit লাগবে? এমন সবচেয়ে ছোট n খুঁজুন যাতে ২ⁿ ≥ N. ইংরেজির ২৬টি বড় হাতের অক্ষর → ৫ bit (২⁵ = ৩২); একটি ক্লাসের ২০০ জন শিক্ষার্থীর রোল → ৮ bit (২⁷ = ১২৮ যথেষ্ট নয়, ২⁸ = ২৫৬)। একইভাবে n অঙ্কের যেকোনো ভিত্তির সবচেয়ে বড় সংখ্যা bⁿ − ১: তিন অঙ্কের সবচেয়ে বড় অক্টাল (777)₈ = ৮³ − ১ = ৫১১.

২-এর ঘাতের সারণি — একবার মুখস্থ, সারা জীবন কাজে

২¹⁰ = ১০২৪ ≈ ১০০০ — এই কাকতালীয় মিলটিই পর্ব ০৪-এর “1 KB = 1024 byte” আর “1 TB ড্রাইভে 931 GB” ধাঁধার মূল। আর ২⁸ − ১ = ২৫৫ মনে রাখলে বুঝবেন কেন রঙের প্রতিটি মান আর IPv4 ঠিকানার প্রতিটি অংশ ০ থেকে ২৫৫-এর মধ্যে।

নিজে চালিয়ে দেখুন — হাতের পদ্ধতির একটি ছোট রূপান্তরযন্ত্র

নিচের প্রোগ্রামটি ঠিক খাতার নিয়মে কাজ করে: পূর্ণ অংশকে বারবার ভাগ করে প্রতিটি ভাগের সারি ছাপায়, ভগ্নাংশকে বারবার গুণ করে প্রতিটি গুণফল ছাপায়, তারপর উত্তরকে আবার দশমিকে ফিরিয়ে যাচাই করে। চালান চাপুন, তারপর শেষের তালিকায় নিজের সংখ্যা আর ভিত্তি বসিয়ে আবার চালান:

// হাতের পদ্ধতি: পূর্ণ অংশ বারবার ভাগ, ভগ্নাংশ বারবার গুণ
const DIG = "0123456789ABCDEF";
function toBase(num, b) {
  let n = Math.floor(num), f = num - n, s = "";
  console.log(`--- ${num} -> base ${b} ---`);
  do {
    const q = Math.floor(n / b), r = n % b;
    console.log(`${b} | ${n}  ভাগফল ${q}, ভাগশেষ ${DIG[r]}`);
    s = DIG[r] + s; n = q;             // নতুন ভাগশেষ বাঁ দিকে বসে
  } while (n > 0);
  for (let i = 0; i < 8 && f > 0; i++) {
    const p = f * b, d = Math.floor(p);
    console.log(`  ${f} x ${b} = ${p}  -> ${DIG[d]}`);
    s += (i ? "" : ".") + DIG[d]; f = p - d;  // পূর্ণ অংশ ওপর থেকে নিচে
  }
  return s;
}
for (const [x, b] of [[156, 2], [156, 8], [156, 16], [255, 16], [45.625, 2], [45.625, 16]]) {
  const ans = toBase(x, b), [ip, fp = ""] = ans.split(".");
  const back = parseInt(ip, b) + [...fp].reduce((a, c, i) => a + parseInt(c, b) / b ** (i + 1), 0);
  console.log(`ফল: (${ans}) base ${b}  | যাচাই: দশমিকে ফেরত = ${back}`);
}

৮ · পরীক্ষার খাতা — সাধারণ ভুল আর দ্রুত যাচাই

রূপান্তরের নিয়ম সহজ, কিন্তু চাপের মধ্যে ছোট ভুলে পুরো নম্বর কাটা যায়। পরীক্ষার খাতায় সবচেয়ে বেশি যে ভুলগুলো দেখা যায়:

দ্রুত যাচাইয়ের কয়েকটি কৌশল

• জোড়-বিজোড়: দশমিক সংখ্যা বিজোড় হলে বাইনারির শেষ bit অবশ্যই 1.
• দৈর্ঘ্য: ১২৮ থেকে ২৫৫-এর মধ্যের সংখ্যা বাইনারিতে ঠিক ৮ অঙ্কের; ৬৪–১২৭ হলে ৭ অঙ্কের। ১৫৬-এর উত্তর ৭ বা ৯ অঙ্কের এলে কোথাও ভুল।
• সব 1: n-টি 1 = ২ⁿ − ১. যেমন 11111111 = ২৫৫, 1111 = ১৫ = F.
• বাঁয়ে একটি 0 যোগ করলে মান একই, ডানে যোগ করলে দ্বিগুণ — দশমিকে ডানে 0 যোগ করলে যেমন দশ গুণ হয়।

৯ · AI-এর যুগে — রূপান্তর যাচাই করুন, মুখস্থ নয়

AI চ্যাটবট বা ক্যালকুলেটর অ্যাপ (156)₁₀-কে বাইনারিতে নিতে খুব ভালো — সাধারণ ছোট রূপান্তরে প্রায় কখনো ভুল করে না। সমস্যা শুরু হয় যখন আপনি খাতার মতো ধাপসহ সমাধান চান, বা সংখ্যা লম্বা হয়, বা ভগ্নাংশ থাকে। ভাষা-মডেল (language model) আসলে হিসাব “করে” না, পরের সম্ভাব্য শব্দ অনুমান করে — তাই ধাপের সারণি দেখতে সুন্দর হলেও মাঝের একটি ভাগশেষ ভুল হতে পারে, আর শেষ উত্তর তবুও আত্মবিশ্বাসী শোনায়।

AI-এর উত্তর হাতে পেলে — যাচাইয়ের চেকলিস্ট

• ভাগের প্রতিটি সারি নিজে মিলিয়েছি (ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ = ভাজ্য)
• ভাগশেষ নিচ থেকে ওপরে, ভগ্নাংশের অঙ্ক ওপর থেকে নিচে পড়া হয়েছে
• উত্তরকে উল্টো দিকে (দশমিকে) ফিরিয়ে মূল সংখ্যা পেয়েছি
• দল বাঁধা হয়েছে বিন্দু থেকে, আর অসম্পূর্ণ দলে 0 বসানো হয়েছে
• প্রতিটি উত্তরে ভিত্তি লেখা আছে, আর কোনো অঙ্ক ভিত্তির বাইরে নয়

মনে রাখবেন, পরীক্ষার হলে AI থাকবে না, কিন্তু যাচাইয়ের অভ্যাস থাকবে। AI দিয়ে যত খুশি অনুশীলনের প্রশ্ন বানিয়ে নিন — কিন্তু সমাধান আগে নিজে করুন, তারপর মিলিয়ে দেখুন।