কিউয়িং থিওরি বেসিকস

১ · কিউ কেন তৈরি হয় ও Utilization (ρ)

একটি রাউটার প্রতি সেকেন্ডে গড়ে μ (mu) সংখ্যক প্যাকেট প্রসেস/ফরওয়ার্ড করতে পারে — এটি তার সার্ভিস রেট। কিন্তু প্যাকেট আসে গড়ে প্রতি সেকেন্ডে λ (lambda) সংখ্যক হারে — এটি আগমন হার (arrival rate)। যদি মুহূর্তে মুহূর্তে আগমনের হার সাময়িকভাবে সার্ভিস রেট ছাড়িয়ে যায় (বাস্তবে ট্রাফিক কখনোই একদম মসৃণভাবে আসে না, বার্স্টে আসে), অতিরিক্ত প্যাকেট একটি বাফারে কিউ করে অপেক্ষা করে।

এই সিস্টেম কতটা "ব্যস্ত" তা মাপে utilization —

$$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$$

ρ সবসময় ০ ও ১-এর মধ্যে থাকা উচিত একটি স্থিতিশীল (stable) সিস্টেমের জন্য (ρ ≥ ১ মানে কিউ চিরতরে বাড়তে থাকবে, কখনো খালি হবে না)। ρ = ০.৫ মানে রাউটার তার ক্ষমতার অর্ধেক ব্যবহার করছে; ρ = ০.৯৫ মানে প্রায় পুরো ক্ষমতায় চলছে — খুবই সামান্য হেডরুম বাকি।

২ · M/M/1 কিউ মডেল

সবচেয়ে সরল, প্রমিত কিউয়িং মডেল হলো M/M/1 (Markovian আগমন, Markovian সার্ভিস টাইম, ১টি সার্ভার) — এটি ধরে নেয় আগমন ও সার্ভিস টাইম উভয়ই র‍্যান্ডম কিন্তু পরিসংখ্যানগতভাবে সুনির্দিষ্ট বণ্টন মেনে চলে। এই মডেল থেকে দুটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র পাওয়া যায় —

• সিস্টেমে গড় সংখ্যা (L) — কিউতে অপেক্ষমাণ + বর্তমানে সার্ভিস পাচ্ছে এমন মোট গড় প্যাকেট সংখ্যা: $$L = \frac{\rho}{1-\rho}$$
• গড় অপেক্ষার সময় (W) — একটি প্যাকেট সিস্টেমে গড়ে কত সময় কাটায় (কিউ + সার্ভিস): $$W = \frac{1}{\mu - \lambda}$$

এই দুটি সূত্র Little's Law ($L = \lambda W$) দিয়ে পরস্পর সম্পর্কিত — অর্থাৎ $W = L/\lambda$ দিয়েও W গণনা করা যায়, এবং দুই পদ্ধতির ফলাফল সবসময় একই হওয়া উচিত (এটি নিচের কোডে ক্রস-চেক করা হয়েছে)।

৩ · যাচাইকৃত উদাহরণ ও Non-linear Blowup

ধরা যাক একটি রাউটারে λ=৮ প্যাকেট/সেকেন্ড আসে এবং μ=১০ প্যাকেট/সেকেন্ড প্রসেস হতে পারে। তাহলে ρ=০.৮ (৮০% ইউটিলাইজেশন), L=৪টি প্যাকেট সিস্টেমে গড়ে থাকে, এবং W=০.৫ সেকেন্ড গড় অপেক্ষার সময়। নিচের কোড এই মানগুলো সরাসরি সূত্র থেকে গণনা করে, এবং আরও দুটি ρ মান (০.৫ ও ০.৯৫) দিয়ে দেখায় ρ যত ১-এর কাছাকাছি যায়, W ততই দ্রুতগতিতে (অ-রৈখিকভাবে) বেড়ে যায় — মাত্র ρ=০.৫ থেকে ০.৯৫-এ যাওয়া (মাত্র ৯০% বেশি ইউটিলাইজেশন) W-কে ১০ গুণ বাড়িয়ে দেয়।

# M/M/1 কিউ মডেল -- utilization, average number, average wait
def mm1_metrics(lam, mu):
    """rho = lambda/mu, L = rho/(1-rho), W = 1/(mu-lambda)"""
    rho = lam / mu
    L = rho / (1 - rho)
    W = 1 / (mu - lam)
    return rho, L, W

# --- যাচাইকৃত মূল উদাহরণ: lambda=8, mu=10 ---
lam1, mu1 = 8, 10
rho1, L1, W1 = mm1_metrics(lam1, mu1)
print(f"lambda={lam1}, mu={mu1}  ->  rho={rho1:.2f}, L={L1:.2f} প্যাকেট, W={W1:.3f} সেকেন্ড")
print(f"   ক্রস-চেক (Little's Law): L/lambda = {L1/lam1:.3f}  (W-এর সমান হওয়া উচিত)")

# --- একই mu রেখে ভিন্ন ভিন্ন rho দেখানো: 0.5, 0.8 (উপরের), 0.95 ---
print("\nrho বাড়ার সাথে সাথে W কীভাবে অ-রৈখিকভাবে বাড়ে:")
for lam, mu in [(5, 10), (8, 10), (9.5, 10)]:
    rho, L, W = mm1_metrics(lam, mu)
    print(f"  rho={rho:.2f}  ->  L={L:5.2f} প্যাকেট,  W={W:5.3f} সেকেন্ড")

rho_low, _, W_low = mm1_metrics(5, 10)
rho_high, _, W_high = mm1_metrics(9.5, 10)
print(f"\nrho মাত্র {rho_low:.2f} থেকে {rho_high:.2f}-এ (~{rho_high/rho_low:.1f}x) গেলে,")
print(f"W বাড়ে {W_low:.2f}s থেকে {W_high:.2f}s -- অর্থাৎ ~{W_high/W_low:.1f}x")