Relational calculus — tuple আর domain

১ · কীভাবে বনাম কী — রাস্তা বলা আর ঠিকানা দেওয়া

ধরুন ঢাকায় নতুন এসেছেন, যাবেন এক আত্মীয়ের বাসায়। একজন বললেন, “ফার্মগেট থেকে বাসে উঠে কারওয়ান বাজার নামবেন, তারপর বাঁয়ে হেঁটে দ্বিতীয় গলি, তারপর ডানে তিন নম্বর বাড়ি।” আরেকজন শুধু ঠিকানাটি দিলেন: “বাড়ি ১২, রোড ৫, ধানমন্ডি।” প্রথমজন দিলেন রাস্তা — কোন ক্রমে কী করতে হবে। দ্বিতীয়জন দিলেন গন্তব্য — কোথায় পৌঁছাতে হবে, পথ আপনার বা রিকশাওয়ালার ব্যাপার। ঠিকানা পেলে রিকশাওয়ালা জ্যাম দেখে নিজেই সবচেয়ে ভালো পথ বেছে নেন।

পর্ব ৩২ আর ৩৩-এ দেখা relational algebra প্রথম ধরনের: “আগে students-এর ওপর σ চালাও, তারপর enrollments-এর সাথে ⋈, তারপর π.” অপারেটরগুলোর ক্রমই উত্তরের রেসিপি। এমন ভাষাকে বলে procedural. Relational calculus দ্বিতীয় ধরনের: এটি শুধু বলে উত্তরে কোন সারিগুলো থাকবে — “এমন সব শিক্ষার্থী, যাঁদের এমন একটি ভর্তি আছে যার কোর্স CSE301.” কোন টেবিল আগে পড়া হবে, কোথায় join হবে, তা বলে না। এটি declarative ভাষা।

তাহলে calculus শিখব কেন, SQL তো আছেই? তিনটি কারণ। প্রথমত, SQL-এর গঠন সরাসরি tuple calculus থেকে এসেছে — FROM, WHERE আর EXISTS আসলে যুক্তিবিদ্যার চিহ্নের ইংরেজি রূপ। দ্বিতীয়ত, “সব কোর্স নিয়েছেন এমন শিক্ষার্থী” ধরনের প্রশ্ন SQL-এ লিখতে গেলে যুক্তির ভাষায় ভাবতেই হয়। তৃতীয়ত, ১৯৭২ সালে E. F. Codd দেখান যে algebra আর calculus ঠিক সমান শক্তিশালী। এই প্রমাণ থেকেই আসে relational completeness-এর ধারণা, যা দিয়ে আজও যেকোনো query ভাষার শক্তি মাপা হয়। বিশ্ববিদ্যালয়ের ডেটাবেস কোর্সে আর চাকরির লিখিত পরীক্ষায় TRC/DRC-তে প্রশ্ন লেখা একটি পরিচিত বিষয়।

এই পর্বের সব উদাহরণ চলে পরিচিত db-uni ডেটাবেসে। পাঁচটি টেবিল: departments (dept_id, name, building — 1 CSE, 2 EEE, 3 BBA, 4 English), instructors (instructor_id, name, dept_id, salary, mentor_id — mentor_id একই টেবিলের আরেকজন শিক্ষক), students (student_id, name, dept_id, batch, cgpa — ৮ জন; Habib-এর বিভাগ NULL, Fahim-এর cgpa NULL), courses (course_id, title, dept_id, credits, instructor_id — ৭টি কোর্স) আর enrollments (student_id, course_id, term, grade — ১৩টি ভর্তি). প্রতিটি এডিটরের নিচে “নমুনা ডেটা” বাক্সে পুরো টেবিল দেখতে পাবেন।

২ · First-order logic ঝালাই — predicate, connective আর quantifier

Relational calculus আসলে first-order logic (predicate logic), শুধু টেবিলের ওপর প্রয়োগ করা। পাঁচটি উপাদান জানলেই চলবে। আরও বিস্তারিত চাইলে ABCL TECH-এর Discrete Math কোর্সের predicate logic পর্ব দেখুন।

• Predicate: এমন একটি বাক্য, যা চলকের মান বসালে সত্য বা মিথ্যা হয়। “x-এর cgpa 3.5-এর বেশি” — x = Arif হলে সত্য, x = Bristy হলে মিথ্যা। একটি টেবিলও একটি predicate: t ∈ students সত্য, যদি t সারিটি students টেবিলে থাকে।
• Connective: ∧ (এবং, AND), ∨ (অথবা, OR), ¬ (নয়, NOT) আর → (implication, “যদি … তবে …”). P → Q মিথ্যা শুধু তখন, যখন P সত্য কিন্তু Q মিথ্যা। তাই P → Q ≡ ¬P ∨ Q.
• Quantifier: ∃x মানে “অন্তত একটি x আছে, যার জন্য …”, আর ∀x মানে “প্রতিটি x-এর জন্য …”.
• দুই quantifier-এর সম্পর্ক: “সবাই পাস করেছে” মানে “এমন কেউ নেই যে পাস করেনি”। প্রতীকে ∀x P(x) ≡ ¬∃x ¬P(x). এটি আর De Morgan-এর নিয়ম ¬(P ∨ Q) ≡ ¬P ∧ ¬Q, ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q — এই পর্বের সবচেয়ে কাজের অস্ত্র।
• Free আর bound variable: কোনো quantifier যে চলককে “বেঁধে” রাখে, সেটি bound; যে চলককে কেউ বাঁধেনি, সেটি free. সূত্রের সত্য-মিথ্যা নির্ভর করে শুধু free চলকের মানের ওপর।

শেষ ধারণাটি calculus-এ সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, কারণ {t | P(t)}-এ “|”-এর বাঁ পাশের t-কে অবশ্যই P-এর একমাত্র free চলক হতে হয়। একটি সূত্রে কোনটি free আর কোনটি bound, ধাপে ধাপে দেখুন:

৩ · Tuple relational calculus — {t | P(t)}

Tuple relational calculus (TRC)-এ প্রতিটি প্রশ্নের আকার একটিই:

এখানে t একটি tuple variable — এর মান একটি পুরো সারি। t.A লিখলে বোঝায় t সারির A attribute-এর মান। P একটি সূত্র (formula), যা ছোট ছোট atomic formula (atom) দিয়ে গড়া। TRC-তে atom তিন রকম:

সূত্র গড়ার নিয়ম: প্রতিটি atom একটি সূত্র; P আর Q সূত্র হলে ¬P, P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q সূত্র; আর P(s) সূত্র হলে ∃s (P(s)) আর ∀s (P(s)) সূত্র। সংক্ষেপে ∃s ∈ R (P) লেখা হয়, যার মানে ∃s (s ∈ R ∧ P); আর ∀s ∈ R (P) মানে ∀s (s ∈ R → P). খেয়াল করুন, ∃-এর সাথে ∧ আর ∀-এর সাথে → বসে — অংশ ৪-এ এই পার্থক্যই কাজে লাগবে।

প্রথম দুটি প্রশ্ন

“cgpa 3.5-এর বেশি এমন শিক্ষার্থী” — পুরো সারি চাইলে {t | t ∈ students ∧ t.cgpa > 3.5}. শুধু নাম চাইলে ফলের সারিটি নতুন, তাতে কেবল name আছে। তাই আরেকটি চলক s দিয়ে students-এর সারি খুঁজে t-এর name তার সাথে মেলাতে হয়: {t | ∃s ∈ students (s.cgpa > 3.5 ∧ t.name = s.name)}. পর্ব ৩২-এর σ আর π এখানে লুকিয়ে আছে — শর্তটি σ, আর “t.name = s.name, বাকি কলাম বাদ” হলো π. অনেক বইয়ে (যেমন Elmasri–Navathe) দ্বিতীয়টি সংক্ষেপে লেখা হয় {t.name | STUDENT(t) ∧ t.cgpa > 3.5} — অর্থ একই।

-- {t | t ∈ students ∧ t.cgpa > 3.5}
SELECT t.* FROM students AS t
WHERE t.cgpa > 3.5;

-- {t | ∃s ∈ students (s.cgpa > 3.5 ∧ t.name = s.name)}
SELECT s.name FROM students s
WHERE s.cgpa > 3.5;

সারি ধরে ধরে মূল্যায়ন — CSE301-এর শিক্ষার্থী

এবার দুই টেবিলের প্রশ্ন: “CSE301-এ ভর্তি হয়েছেন এমন শিক্ষার্থীর নাম”।

{ t | ∃s ∈ students (
        t.name = s.name
      ∧ ∃e ∈ enrollments ( e.student_id = s.student_id
                         ∧ e.course_id = 'CSE301' ) ) }

Calculus বলে না কীভাবে উত্তর বের করতে হবে। তবু অর্থ বোঝার সবচেয়ে সোজা উপায় হলো সংজ্ঞা ধরে হাতে মূল্যায়ন: students-এর প্রতিটি সারিকে s ধরে দেখা, ∃e-এর জন্য একটি “সাক্ষী” ভর্তি পাওয়া যায় কি না।

-- ∃e ∈ enrollments (...) সরাসরি EXISTS হয়ে গেল
SELECT s.name FROM students s
WHERE EXISTS (SELECT 1 FROM enrollments e
              WHERE e.student_id = s.student_id
                AND e.course_id = 'CSE301');

-- ∃e-কে বাইরে টেনে আনলে: FROM-এ দুটি tuple variable
SELECT DISTINCT s.name FROM students s, enrollments e
WHERE e.student_id = s.student_id AND e.course_id = 'CSE301';

৪ · ¬ আর ∀ — “কেউ নেই” আর “সবাই”

¬∃ দিয়ে অনেক প্রশ্ন লেখা যায়, যা প্রথম দেখায় aggregate-এর প্রশ্ন মনে হয়। যেমন “সর্বোচ্চ cgpa কার?” — MAX ছাড়াই: “এমন শিক্ষার্থী, যাঁর চেয়ে বেশি cgpa কারও নেই”।

-- হুবহু অনুবাদ: ¬∃ → NOT EXISTS
SELECT t.name, t.cgpa FROM students t
WHERE NOT EXISTS (SELECT 1 FROM students s WHERE s.cgpa > t.cgpa);

-- NULL-এর জন্য একটি শর্ত বাড়তি লাগে
SELECT t.name, t.cgpa FROM students t
WHERE t.cgpa IS NOT NULL
  AND NOT EXISTS (SELECT 1 FROM students s WHERE s.cgpa > t.cgpa);

∀ — “সব কোর্স নিয়েছেন”

এবার relational division-এর প্রশ্ন (পর্ব ৩৩-এর ÷): “CSE বিভাগের সব কোর্সে ভর্তি হয়েছেন এমন শিক্ষার্থী”। ∀ দিয়ে কথাটি প্রায় বাংলার মতোই লেখা যায়:

{ t | ∃s ∈ students ( t.name = s.name
      ∧ ∀c ∈ courses ( c.dept_id = 1 →
            ∃e ∈ enrollments ( e.student_id = s.student_id
                             ∧ e.course_id  = c.course_id ) ) ) }

“প্রতিটি কোর্স c-এর জন্য: c যদি CSE-র হয়, তবে s-এর এমন একটি ভর্তি আছে যার কোর্স c.” → কেন? ∀c ∈ courses সব সাতটি কোর্সের ওপর ঘোরে, EEE101 আর BBA101-সহ। ∧ লিখলে (c.dept_id = 1 ∧ …) EEE101-এর জন্য শর্তটি মিথ্যা হতো, আর ∀ ভেঙে যেত। → লিখলে EEE101-এর জন্য বাঁ পাশ মিথ্যা, তাই পুরো implication আপনা থেকেই সত্য — অপ্রাসঙ্গিক কোর্স কোনো বাধা দেয় না। একে বলে vacuous truth.

SQL-এ ∀ নেই, আছে শুধু EXISTS. তাই সূত্রটি ∃ আর ¬-এ বদলাতে হয়। কীভাবে, আর তারপর মূল্যায়ন কীভাবে হয়, ধাপে ধাপে দেখুন। উদাহরণটি একটু ছোট করা হয়েছে: ভাজক হলো Tasnim Chowdhury (instructor 6)-এর পড়ানো সব কোর্স — CSE301 আর CSE302.

-- ¬∃c ∈ courses (P(c) ∧ ¬∃e ∈ enrollments (...))
SELECT s.name FROM students s
WHERE NOT EXISTS (                    -- এমন কোনো কোর্স নেই…
  SELECT 1 FROM courses c
  WHERE c.instructor_id = 6           -- …যা Tasnim পড়ান
    AND NOT EXISTS (                  -- …অথচ s নেয়নি
      SELECT 1 FROM enrollments e
      WHERE e.student_id = s.student_id
        AND e.course_id = c.course_id));

শুরুর প্রশ্নটি — CSE বিভাগের সব কোর্স — চালালে কী হয়? আর একই কাজ EXCEPT দিয়ে লেখা যায় কীভাবে: “ভাজকের কোর্সগুলো থেকে s-এর কোর্সগুলো বাদ দিলে কিছু বাকি থাকে না”?

-- CSE বিভাগের (dept_id = 1) সব কোর্স নিয়েছেন কে?
SELECT s.name FROM students s
WHERE NOT EXISTS (
  SELECT 1 FROM courses c
  WHERE c.dept_id = 1
    AND NOT EXISTS (SELECT 1 FROM enrollments e
                    WHERE e.student_id = s.student_id
                      AND e.course_id = c.course_id));

-- EXCEPT রূপ: (ভাজক − s-এর কোর্স) ফাঁকা কি?
SELECT s.name FROM students s
WHERE NOT EXISTS (
  SELECT course_id FROM courses WHERE instructor_id = 6
  EXCEPT
  SELECT course_id FROM enrollments WHERE student_id = s.student_id);

৫ · Safety — যখন উত্তর অসীম

এবার একটি নির্দোষ-দেখতে প্রশ্ন: {t | ¬(t ∈ students)} — “যে tuple students-এ নেই”। এর উত্তর কী? ⟨1, 'Rahim', …⟩ নেই, ⟨2, 'Rahim', …⟩ নেই, ⟨3, 'Karim', …⟩ নেই … পৃথিবীর সব সম্ভাব্য সারি, শুধু ৮টি বাদে। উত্তর অসীম। কোনো কম্পিউটার এটি তালিকা করতে পারবে না। আরেকটি উদাহরণ: {t | t ∈ students ∨ t.cgpa > 3} — ∨-এর ডান পাশ students-এর বাইরের যেকোনো tuple-কে ঢুকতে দেয়, যার cgpa 3-এর বেশি। আবার অসীম।

সমস্যার মূলে ¬ আর ∨: এরা চলককে কোনো টেবিলের ভেতরে আটকে রাখে না। সমাধানের জন্য দরকার expression-এর domain. সূত্র P-এর domain, dom(P), হলো সেই সব মানের সেট, যা P-এ ধ্রুবক হিসেবে আছে, অথবা P-এ উল্লেখ করা কোনো টেবিলের কোনো সারিতে আছে। যেমন {t | t ∈ students ∧ t.cgpa > 3.5}-এর domain হলো students-এর সব মান আর 3.5.

সহজ ব্যবহারিক নিয়ম: প্রতিটি free চলককে কোনো ধনাত্মক ∈ R atom দিয়ে একটি টেবিলে বেঁধে দিন, আর ¬ ব্যবহার করুন শুধু সেই বাঁধা চলকের ওপর। {t | ¬(t ∈ students)} unsafe, কিন্তু {t | t ∈ students ∧ ¬∃e ∈ enrollments (e.student_id = t.student_id)} safe — “না”-টি students-এর ভেতরে সীমিত। তাত্ত্বিক বইয়ে এই ধরনের নিয়মকে বলা হয় range-restricted বা safe-range সূত্র।

-- safe ¬: কোনো ভর্তি নেই এমন শিক্ষার্থী
SELECT t.student_id, t.name FROM students t
WHERE NOT EXISTS (SELECT 1 FROM enrollments e
                  WHERE e.student_id = t.student_id);

-- একই প্রশ্ন, algebra-র − (EXCEPT) দিয়ে
SELECT student_id FROM students
EXCEPT
SELECT student_id FROM enrollments;

-- কোনো শিক্ষার্থী নেই এমন বিভাগ
SELECT d.name FROM departments d
WHERE NOT EXISTS (SELECT 1 FROM students s WHERE s.dept_id = d.dept_id);

৬ · Domain relational calculus আর QBE

Domain relational calculus (DRC)-এ চলক পুরো সারি নয়, একেকটি কলামের মান — domain variable. নামের “domain” শব্দটি এসেছে পর্ব ৫-এর domain থেকে — চলকটি একটি কলামের domain-এর মান নেয়। প্রশ্নের আকার:

Atom-ও বদলায়: ⟨x1, …, xn⟩ ∈ R (এই মানগুলো এই ক্রমে R-এর একটি সারি), x θ y আর x θ c. চলকের অবস্থানই কলাম চিনিয়ে দেয়, তাই টেবিলের কলামের ক্রম মনে রাখতে হয়: students(student_id, name, dept_id, batch, cgpa), enrollments(student_id, course_id, term, grade). আগের তিনটি প্রশ্ন DRC-তে:

-- cgpa > 3.5 এমন শিক্ষার্থীর নাম
{ ⟨n⟩ | ∃i, d, b, g ( ⟨i, n, d, b, g⟩ ∈ students ∧ g > 3.5 ) }

-- CSE301-এর শিক্ষার্থীর নাম: একই i দুই জায়গায় = join
{ ⟨n⟩ | ∃i, d, b, g ( ⟨i, n, d, b, g⟩ ∈ students
        ∧ ∃tm, gr ( ⟨i, 'CSE301', tm, gr⟩ ∈ enrollments ) ) }

-- CSE বিভাগের সব কোর্স নিয়েছেন (∀)
{ ⟨n⟩ | ∃i, d, b, g ( ⟨i, n, d, b, g⟩ ∈ students
        ∧ ∀c, ti, cr, ins ( ⟨c, ti, 1, cr, ins⟩ ∈ courses
              → ∃tm, gr ( ⟨i, c, tm, gr⟩ ∈ enrollments ) ) ) }

দুটি কৌশল লক্ষ করুন। (১) একই চলক দুই জায়গায় বসালে সেটিই join শর্ত: students-এর i আর enrollments-এর i একই মান হতে বাধ্য, আলাদা করে = লিখতে হয় না। (২) ধ্রুবক সরাসরি অবস্থানে বসে: 'CSE301' enrollments-এর দ্বিতীয় ঘরে, 1 courses-এর তৃতীয় (dept_id) ঘরে। নিচের SQL-এ DRC-র এই দুই কৌশলের প্রতিফলন দেখুন — একটি সাধারণ join আর একটি self join:

-- {⟨ti, n⟩ | ∃c, cr, i (⟨c, ti, 1, cr, i⟩ ∈ courses
--            ∧ ∃d, s, m (⟨i, n, d, s, m⟩ ∈ instructors))}
SELECT c.title, i.name AS teacher
FROM courses c, instructors i
WHERE c.instructor_id = i.instructor_id AND c.dept_id = 1;

-- {⟨n, mn⟩ | ∃i, d, s, m, s2, m2 (⟨i, n, d, s, m⟩ ∈ instructors
--            ∧ ⟨m, mn, d, s2, m2⟩ ∈ instructors)}
SELECT i.name, m.name AS mentor
FROM instructors i, instructors m
WHERE i.mentor_id = m.instructor_id AND i.dept_id = m.dept_id;

Query-By-Example — ছবিতে আঁকা DRC

১৯৭০-এর দশকের মাঝামাঝি IBM-এর Moshé M. Zloof একটি ভিন্ন ধারণা নিয়ে আসেন: ব্যবহারকারী সূত্র লিখবেন না, টেবিলের ফাঁকা কাঠামোয় উদাহরণ বসাবেন। ভাষাটির নাম Query-By-Example (QBE); প্রথম প্রকাশিত বিবরণ ১৯৭৫ সালের। QBE আসলে DRC-র দৃশ্যরূপ। কোনো ঘরে আন্ডারস্কোরওয়ালা “উদাহরণ” (example element, যেমন _S) একটি domain variable; সাধারণ মান (যেমন CSE301) একটি ধ্রুবক; P. মানে “এটি দেখানো” (print); আর দুই টেবিলে একই উদাহরণ বসালে সেটি join — ঠিক DRC-র শেয়ার করা চলকের মতো। “CSE301-এর শিক্ষার্থীর নাম” QBE-তে:

দুই টেবিলে একই _S মানে “একই শিক্ষার্থী”; name-এর ঘরে P._N মানে নামটি দেখানো। cgpa-র ঘরে >3.5 লিখলে সেটি শর্ত। কোনো সারির বাঁ দিকের ঘরে ¬ বসালে সেই সারি “থাকা চলবে না” (¬∃). আজ এই ধারণা সবচেয়ে পরিচিত Microsoft Access-এর query design grid-এ: টেবিল টেনে এনে কলাম বাছাই, Criteria সারিতে >3.5, আর দুটি টেবিলের কলামে লাইন টেনে join. ধাঁচটি QBE থেকে এসেছে, যদিও পর্দার পেছনে Access শেষে SQL-ই তৈরি করে। সহজ প্রশ্নে এই পদ্ধতি দারুণ; কিন্তু ∀ বা দুই স্তরের ¬-ওয়ালা প্রশ্ন ছবিতে আঁকা বেশ ঝামেলার।

৭ · Codd-এর উপপাদ্য — তিন ভাষা, একই শক্তি

Codd-এর উপপাদ্যটি তিনি দেন ১৯৭২ সালের “Relational Completeness of Data Base Sublanguages” প্রবন্ধে; calculus থেকে algebra-য় যাওয়ার তাঁর পদ্ধতিটি “Codd's reduction algorithm” নামে পরিচিত। প্রমাণের ধারণা তিন টুকরোয়, প্রতিটি সূত্রের গঠনের ওপর induction:

(ক) Algebra → DRC. প্রতিটি algebra expression E-এর জন্য একটি সূত্র φ_E বানাই, যার free চলক E-এর কলামগুলো। টেবিল R → ⟨x1, …, xn⟩ ∈ R. σ_{A θ c}(E) → φE ∧ xA θ c. π (কলাম বাদ) → বাদ পড়া চলকের ওপর ∃. E1 × E2 → আলাদা চলক নিয়ে φE1 ∧ φE2. E1 ∪ E2 → φE1 ∨ φE2. E1 − E2 → φE1 ∧ ¬φE2. প্রতিটি ধাপে প্রতিটি চলক কোনো টেবিল থেকে আসে, তাই ফল safe.

(খ) Safe DRC → algebra. প্রথমে একটি algebra expression D বানাই, যা সূত্রের domain: উল্লেখ করা প্রতিটি টেবিলের প্রতিটি কলামের π, আর সূত্রের ধ্রুবকগুলো, সব ∪ করে। এবার সূত্রের গঠন ধরে: atom ⟨x̄⟩ ∈ R → R; x θ y → σ_{x θ y}(D × D); ∧ → natural join; ∨ → দুই পাশের চলক মেলাতে বাড়তি চলকের জন্য × D, তারপর ∪; ¬φ → Dk − Eφ; ∃x φ → x বাদ দিয়ে π; ∀ → ¬∃¬. ¬-কে D^k-এর ভেতরে সীমিত রাখা নিরাপদ, কারণ সূত্রটি safe — এর উত্তরের কোনো মান D-এর বাইরে থাকতে পারে না। ঠিক এখানেই safety-র শর্ত প্রমাণে কাজে লাগে।

(গ) TRC ↔ DRC. R-এর (n কলাম) ওপর একটি tuple variable t-কে n-টি domain variable t1, …, tn দিয়ে বদলান, আর t.A-কে সংশ্লিষ্ট t_A দিয়ে। উল্টো দিকেও একইভাবে। এভাবে তিনটি ভাষা একটি বৃত্তে যুক্ত হয়।

SQL-এর জন্য এর মানে কী? কোনো ভাষা relational algebra-র প্রতিটি প্রশ্ন প্রকাশ করতে পারলে Codd তাকে বলেন relationally complete. SQL তা পারে, আর তার চেয়েও বেশি পারে (aggregate, ORDER BY, recursion — অংশ ৯). আরও গুরুত্বপূর্ণ হলো উল্টো ব্যবহার: SQL-এর calculus-ঘেঁষা প্রশ্নকে DBMS algebra-র একটি গাছে (query plan) বদলাতে পারে, আর সেই গাছকে নিরাপদে সাজিয়ে দ্রুততর করতে পারে (পর্ব ৪২–৪৩). উপপাদ্যটি নিশ্চয়তা দেয় যে এই অনুবাদ সবসময় সম্ভব। Declarative ভাষার পেছনে একটি optimizer থাকতে পারে, তার তাত্ত্বিক ভিত্তি এটিই।

অনুবাদের টেবিল — algebra, TRC আর SQL

পঞ্চম সারির ∩ একটি উদাহরণ যেখানে calculus-এ ∧ আর algebra-য় ∩ একই কাজ করে। নিজে চালিয়ে মিলিয়ে নিন:

-- algebra-র ∩
SELECT t.course_id FROM enrollments t WHERE t.student_id = 2101
INTERSECT
SELECT u.course_id FROM enrollments u WHERE u.student_id = 2102;

-- TRC-র ∧ ∃v: “2101-এর কোর্স, যা 2102-এরও আছে”
SELECT DISTINCT t.course_id FROM enrollments t
WHERE t.student_id = 2101
  AND EXISTS (SELECT 1 FROM enrollments u
              WHERE u.student_id = 2102 AND u.course_id = t.course_id);

৮ · SQL-এর শিকড়ে TRC — FROM, WHERE আর EXISTS

QUEL-এ tuple calculus প্রায় খালি চোখেই দেখা যায়। “cgpa 3.5-এর বেশি শিক্ষার্থীর নাম”:

range of s is students
retrieve (s.name) where s.cgpa > 3.5

range of s is students মানে “s একটি tuple variable, যা students-এর ওপর ঘোরে” — হুবহু s ∈ students. SQL একই জিনিস লেখে FROM students s দিয়ে। পুরো মিলটি এরকম: FROM প্রতিটি tuple variable-কে একটি টেবিলে বাঁধে (∈ atom, আর বাঁধা চলকগুলো ∃-এর মতো); WHERE হলো সূত্র P; SELECT তালিকা ঠিক করে ফলের tuple t-এর কলাম (t.name = s.name); EXISTS হলো ∃, NOT EXISTS হলো ¬∃; AND, OR, NOT হলো ∧, ∨, ¬. একটি TRC সূত্র থেকে SQL লেখার পুরো পথটি ধাপে ধাপে দেখুন:

SQL-এ ∀ কেন অস্বস্তিকর

SQL-এর মূল ব্যাকরণে ∀-এর সরাসরি কোনো প্রতিরূপ নেই; FOR ALL বলে কোনো শব্দ নেই। তাই প্রতিটি “সব”-প্রশ্নকে মাথার ভেতরে অংশ ৪-এর মতো ¬∃…¬-এ বদলাতে হয়, তারপর দুই স্তরের NOT EXISTS লিখতে হয়। পড়ার সময় উল্টো কাজ: দুটি NOT দেখে “সব”-এ ফিরে যাওয়া। এজন্য division-এর প্রশ্ন বিশ্ববিদ্যালয়ের পরীক্ষা আর ইন্টারভিউতে এত জনপ্রিয় — এটি দেখায় আপনি যুক্তিটি বুঝেছেন কি না। আরেকটি সূক্ষ্মতা পর্ব ২১ থেকে মনে রাখুন: ¬∃-এর জায়গায় NOT IN লিখলে nullable কলামে ফল নীরবে ফাঁকা হয়ে যেতে পারে। Calculus-এর ¬∃-এর সবচেয়ে বিশ্বস্ত অনুবাদ NOT EXISTS.

৯ · Relational completeness-এর সীমা — recursion আর aggregate

Codd-এর উপপাদ্য বলে তিনটি ভাষা সমান — কিন্তু সমান মানে সর্বশক্তিমান নয়। Pure relational calculus দুটি পরিচিত কাজ পারে না।

১. Recursion / transitive closure. “Dr. Anisur Rahman-এর অধীনে প্রত্যক্ষ বা পরোক্ষভাবে কারা আছেন?” — Shahana-র mentor তিনি, আর Tasnim-এর mentor Shahana. এক ধাপের প্রশ্ন calculus-এ সহজ, দুই ধাপের প্রশ্নও (দুটি চলক জুড়ে)। কিন্তু “যত ধাপই হোক” লিখতে হলে ধাপের সংখ্যা জানা থাকতে হবে, কারণ প্রতিটি সূত্রে চলকের সংখ্যা নির্দিষ্ট। ১৯৭৯ সালে Alfred Aho আর Jeffrey Ullman প্রমাণ করেন, transitive closure relational algebra-য় (তাই calculus-এও) প্রকাশ করা যায় না। SQL এই সীমা পার হয়েছে SQL:1999-এর recursive CTE দিয়ে, যা পর্ব ২৫-এ দেখেছেন।

-- এক ধাপ: calculus-এ লেখা যায়
SELECT i2.name FROM instructors i1, instructors i2
WHERE i1.instructor_id = 1 AND i2.mentor_id = i1.instructor_id;

-- যেকোনো ধাপ: calculus-এর বাইরে, recursive CTE লাগে
WITH RECURSIVE under(id, name, depth) AS (
  SELECT instructor_id, name, 1 FROM instructors WHERE mentor_id = 1
  UNION ALL
  SELECT i.instructor_id, i.name, u.depth + 1
  FROM instructors i JOIN under u ON i.mentor_id = u.id)
SELECT * FROM under;

২. Aggregate. COUNT, SUM, AVG বা “প্রতি বিভাগে কতজন” — pure calculus-এ এর কোনোটিই নেই। কারণ calculus-এর উত্তরের প্রতিটি মান dom(P) থেকে আসে, আর “৪ জন” সংখ্যাটি হয়তো কোনো টেবিলেই নেই। তাই SQL-এর GROUP BY (পর্ব ১৮) relational completeness-এর বাইরের একটি বাড়তি ক্ষমতা। পাঠ্যবইয়ে algebra-য় একে আলাদা অপারেটর হিসেবে যোগ করা হয় (𝒢 বা γ). Calculus-এ “সর্বোচ্চ” লেখা গেছে (অংশ ৪-এর ¬∃), কারণ সেটি একটি বিদ্যমান মান বেছে নেওয়া, নতুন মান বানানো নয়। কিন্তু “গড়” লেখা যায় না।

১০ · AI-এর যুগে relational calculus

AI-কে “এই প্রশ্নটি TRC-তে লেখো” বললে সে সুন্দর চিহ্নসহ একটি সূত্র দেয়, যা দেখতে নির্ভুল। কিন্তু চিহ্নের ভুল চোখে পড়ে কম, আর একটি ভুল ∧ বা → পুরো অর্থ বদলে দেয়। আর AI-এর লেখা SQL চলে ঠিকই, কিন্তু NULL, duplicate বা ফাঁকা ভাজকে ভুল ফল দিতে পারে। বারবার দেখা যায় এমন ভুল:

AI-এর লেখা calculus বা SQL হাতে পেলে — যাচাইয়ের চেকলিস্ট

• প্রতিটি চলকের quantifier খুঁজে free আর bound আলাদা করেছি; free চলক কেবল বাঁ পাশেরটি
• প্রতিটি ∀-এর ভেতরে → আর প্রতিটি ∃-এর ভেতরে ∧ আছে কি না দেখেছি
• সূত্রটি safe: প্রতিটি free চলক একটি ধনাত্মক ∈ R-এ বাঁধা
• SQL রূপটি নমুনা ডেটায় চালিয়ে হাতে বের করা উত্তরের সাথে মিলিয়েছি
• NULL, duplicate আর ফাঁকা ভাজক — এই তিন কিনারায় আলাদা করে পরীক্ষা করেছি
• বড় টেবিলে EXPLAIN দেখে নিশ্চিত হয়েছি NOT EXISTS-এর ভেতরের join কলামে index আছে