র‍্যান্ডম সিগন্যাল — স্টেশনারিটি ও এরগোডিসিটি

১ · র‍্যান্ডম সিগন্যাল কী

এই কোর্সের L01 থেকে L47 পর্যন্ত আমরা যেসব সিগন্যাল ব্যবহার করেছি — সাইন-তরঙ্গ, ইমপালস রেসপন্স, ফিল্টার আউটপুট — সবই ডিটারমিনিস্টিক: একটি নির্দিষ্ট সূত্র (যেমন math.sin(2*pi*f*n/fs)) দিয়ে সম্পূর্ণ নির্ধারিত, একই ইনপুট দিলে বারবার ঠিক একই আউটপুট পাওয়া যায়। কিন্তু বাস্তব জগতের অনেক গুরুত্বপূর্ণ সিগন্যাল — থার্মাল নয়েজ, মাইক্রোফোনের পটভূমি হিস, একটি চ্যানেলের হস্তক্ষেপ — এভাবে বর্ণনা করা যায় না। এগুলোকে বলা হয় র‍্যান্ডম সিগন্যালRandom / stochastic signal — একটি সিগন্যাল যার ভবিষ্যৎ মান নিশ্চিতভাবে জানা যায় না, বরং সম্ভাব্যতার বণ্টন (probability distribution) দিয়ে বর্ণনা করা হয়। বা স্টোকাস্টিক প্রসেস — এদের প্রতিটি স্যাম্পলের মান একটি সম্ভাব্যতা বণ্টন থেকে আসে, নির্দিষ্ট সূত্র থেকে নয়। M10-এ (L44, PSD এস্টিমেশন) আমরা ইতিমধ্যে random.gauss দিয়ে নয়েজ যোগ করে দেখেছি — এই মডিউলে (M11) আমরা সেই র‍্যান্ডম সিগন্যালগুলোকে আরও পদ্ধতিগতভাবে বিশ্লেষণ করব।

২ · স্টেশনারিটি (Stationarity)

একটি র‍্যান্ডম প্রসেসকে ওয়াইড-সেন্স স্টেশনারি (WSS) বলা হয় যদি এর গড় (mean) সময়ের সাথে ধ্রুবক থাকে এবং এর অটোকোরিলেশন শুধুমাত্র দুটি সময়বিন্দুর মধ্যকার ব্যবধানের উপর নির্ভর করে, নিজস্ব পরম অবস্থানের উপর নয়। ব্যবহারিকভাবে এর একটি সহজ পরিণতি — যদি একটি সিকোয়েন্স স্টেশনারি হয়, তাহলে এর যেকোনো যথেষ্ট বড় "উইন্ডো" (উপ-অংশ) থেকে হিসাব করা গড় ও ভ্যারিয়েন্স সিকোয়েন্সের শুরুতে, মাঝে, বা শেষে হিসাব করলেও মোটামুটি একই থাকা উচিত — কারণ প্রসেসের অন্তর্নিহিত পরিসংখ্যানিক নিয়ম বদলায় না। এটাই আমাদের নিচের ডেমোর মূল ধারণা।

নিচের কোড সেলে দুটি সিকোয়েন্স তৈরি করা হয়েছে — উভয়ই random.gauss দিয়ে, একই দৈর্ঘ্যের (৬০ স্যাম্পল), একই ফিক্সড সিড দিয়ে, যাতে ফলাফল পুনরুৎপাদনযোগ্য হয়। প্রথমটি সত্যিকারের স্টেশনারি — পুরো সিকোয়েন্স জুড়েই mu=2.0, sigma=1.5 দিয়ে জেনারেট করা। দ্বিতীয়টি ইচ্ছাকৃতভাবে নন-স্টেশনারি — n=20-এর আগে mu=0.0, sigma=0.5, আর n=20-এর পর থেকে mu=6.0, sigma=3.0 দিয়ে তৈরি। প্রতিটি সিকোয়েন্সকে তিনটি সমান উইন্ডোতে (প্রতিটি ২০ স্যাম্পল) ভাগ করে statistics মডিউল দিয়ে প্রতিটি উইন্ডোর গড় ও ভ্যারিয়েন্স গণনা করা হয়েছে।

import random, statistics

# --- স্টেশনারি-সদৃশ র‍্যান্ডম সিকোয়েন্স ---
random.seed(42)
N = 60
mu, sigma = 2.0, 1.5
x_stationary = [random.gauss(mu, sigma) for _ in range(N)]

window = 20
print("স্টেশনারি সিকোয়েন্স -- উইন্ডো-ভিত্তিক পরিসংখ্যান (mu=2.0, sigma=1.5 সারা সিকোয়েন্সে স্থির):")
for start in range(0, N, window):
    w = x_stationary[start:start+window]
    m = statistics.mean(w)
    v = statistics.variance(w)
    print(f"  window [{start}:{start+window}] -> mean={m:.4f}  variance={v:.4f}")

overall_mean = statistics.mean(x_stationary)
overall_var = statistics.variance(x_stationary)
print(f"সার্বিক: mean={overall_mean:.4f} variance={overall_var:.4f}")

print()

# --- নন-স্টেশনারি সিকোয়েন্স: mean ও variance জেনারেশনের মাঝপথে বদলে যায় ---
random.seed(42)
x_nonstationary = []
change_point = 20
for n in range(N):
    if n < change_point:
        x_nonstationary.append(random.gauss(0.0, 0.5))
    else:
        x_nonstationary.append(random.gauss(6.0, 3.0))

print(f"নন-স্টেশনারি সিকোয়েন্স -- উইন্ডো-ভিত্তিক পরিসংখ্যান (mean/var বদলায় n={change_point}-এ):")
for start in range(0, N, window):
    w = x_nonstationary[start:start+window]
    m = statistics.mean(w)
    v = statistics.variance(w)
    print(f"  window [{start}:{start+window}] -> mean={m:.4f}  variance={v:.4f}")

৩ · এরগোডিসিটি (Ergodicity)

স্টেশনারিটি বলে একটি প্রসেসের পরিসংখ্যান সময়ের সাথে বদলায় না, কিন্তু বাস্তবে আমাদের কাছে সাধারণত একটিমাত্র রেকর্ডেড রিয়েলাইজেশন থাকে (যেমন একটি একক মাইক্রোফোন রেকর্ডিং) — অসংখ্য সমান্তরাল "মহাবিশ্ব"-এর একগুচ্ছ রেকর্ডিং (এনসেম্বল) নয়। এরগোডিসিটিErgodicity — একটি স্টেশনারি প্রসেসের বৈশিষ্ট্য যেখানে একটি একক, যথেষ্ট দীর্ঘ রিয়েলাইজেশনের সময়-গড় সম্পূর্ণ এনসেম্বলের গড়ের সমান হয়। মানে — একটি একক, যথেষ্ট দীর্ঘ রিয়েলাইজেশনের উপর সময়ের সাপেক্ষে গড় নিলে তা এনসেম্বল-গড়ের (থিওরেটিক্যাল প্রত্যাশিত মান) সমান হয়ে যায়। এই ধরে নেওয়ার কারণেই আমরা উপরের ডেমোতে একটিমাত্র সিকোয়েন্সের উইন্ডো-ভিত্তিক নমুনা-গড়/ ভ্যারিয়েন্স হিসাব করে "প্রকৃত" পরিসংখ্যানিক আচরণ সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে পেরেছি — যদি প্রসেসটি এরগোডিক না হতো, তাহলে একটি একক রেকর্ডিং থেকে গণনা করা পরিসংখ্যান বিভ্রান্তিকর হতে পারত। ব্যবহারিক DSP-তে (L49-এর SNR হিসাব, L44-এর PSD এস্টিমেশন) আমরা প্রায় সবসময় স্টেশনারিটি ও এরগোডিসিটি — দুটোই — ধরে নিই, যদি না স্পষ্ট প্রমাণ থাকে সিগন্যাল সময়ের সাথে বদলাচ্ছে (যেমন উপরের নন-স্টেশনারি উদাহরণে)।