ফাংশন — ইনজেকটিভ, সারজেক্টিভ, বাইজেকটিভ ও কার্ডিনালিটি

১ · ফাংশনের সংজ্ঞা

একটি ফাংশন (Function)Function$A$-এর প্রতিটি উপাদানকে $B$-এর ঠিক একটি উপাদানের সাথে সংযুক্ত করে এমন একটি রিলেশন — কোনো উপাদান বাদ যেতে পারবে না, এবং কোনো উপাদানের একাধিক আউটপুট থাকতে পারবে না। $f: A \to B$ হলো এমন একটি নিয়ম যা $A$-এর প্রতিটি উপাদানকে $B$-এর ঠিক একটি উপাদানে পাঠায়। $A$-কে বলা হয় domain, $B$-কে codomain, এবং $f$-এর মাধ্যমে প্রকৃতপক্ষে যেসব মান পাওয়া যায় তার সেটকে বলা হয় range বা image (যা codomain-এর একটি সাবসেট, সমান নাও হতে পারে)।

২ · Injective, Surjective, Bijective

উদাহরণ: $f:\{1,2,3\}\to\{a,b,c,d\}$, $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$ — injective (কোনো পুনরাবৃত্তি নেই) কিন্তু surjective নয় ($d$ কখনো আউটপুট হয় না)। $g:\{1,2\}\to\{a\}$, $g(1)=g(2)=a$ — surjective ($a$ পাওয়া যায়) কিন্তু injective নয় ($1,2$ একই আউটপুট দেয়)। $h:\{1,2\}\to\{a,b\}$, $h(1)=a, h(2)=b$ — উভয়ই সিদ্ধ, তাই bijective।

৩ · কার্ডিনালিটি ও বাইজেকশন

দুটি সেট $A$ ও $B$-এর কার্ডিনালিটি সমান ($|A|=|B|$) হয় যদি ও শুধু যদি $A$ থেকে $B$-তে একটি বাইজেকশন (Bijection)Bijectionএকটি bijective ফাংশন — $A$ ও $B$-এর মধ্যে প্রতিটি উপাদানের জন্য ঠিক একটি জোড়া তৈরি হওয়া, কোনো বাদ বা পুনরাবৃত্তি ছাড়া। থাকে। সসীম সেটের জন্য এটি স্বজ্ঞাত গণনার সাথে মিলে যায়। কিন্তু অসীম সেটের জন্য এই বাইজেকশনের সংজ্ঞাটিই "একই আকার"-এর একমাত্র অর্থ — কারণ অসীম সেটে সরাসরি "গুনে দেখা" সম্ভব নয়।

বিস্ময়কর একটি ফলাফল — $\mathbb{N} = \{0,1,2,\ldots\}$ ও $\mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$-এর কার্ডিনালিটি সমান, যদিও $\mathbb{Z}$ "দ্বিগুণ বড়" মনে হয়। এই দুটির মধ্যে একটি explicit বাইজেকশন আছে — একটি zigzag প্যাটার্ন:

$$f(n) = \begin{cases} n/2 & n \text{ জোড় হলে} \\ -(n+1)/2 & n \text{ বিজোড় হলে} \end{cases}$$

এই ফাংশন $0,1,2,3,4,5,\ldots$-কে পাঠায় $0,-1,1,-2,2,-3,\ldots$-এ — প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা ঠিক একবার পাওয়া যায়, তাই এটি bijective। এই ধরনের সেটকে বলা হয় countably infinite (গণনাযোগ্য অসীম) — এদের কার্ডিনালিটিকে বলা হয় $\aleph_0$ (aleph-null)।

def zigzag(n):
    return n // 2 if n % 2 == 0 else -(n + 1) // 2

pairs = [(n, zigzag(n)) for n in range(20)]
for n, z in pairs:
    print(f"f({n}) = {z}")

values = [z for _, z in pairs]
print("\nসবগুলো মান আলাদা (injective):", len(values) == len(set(values)))
print("পজিটিভ সংখ্যা আছে:", any(v > 0 for v in values))
print("নেগেটিভ সংখ্যা আছে:", any(v < 0 for v in values))
print("শূন্য আছে:", any(v == 0 for v in values))