ডিসক্রিট প্রোবাবিলিটি বেসিকস

Discrete probability basics

৮ মিনিট পড়া মধ্যম · Intermediate Python কোডসহ সম্পূর্ণ বাংলায়

এক নজরে · TL;DR

সমসম্ভাব্য আউটকামের জন্য: $P(E) = \dfrac{|E|}{|S|}$ — ইভেন্টের সাইজ ভাগ স্যাম্পল স্পেসের সাইজ। এটি সরাসরি M3-এর কাউন্টিং নিয়মের উপর নির্ভরশীল।
কমপ্লিমেন্ট রুল: $P(E^c) = 1-P(E)$। অ্যাডিশন রুল: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — ঠিক L16-এর সূত্র, শুধু কাউন্টের বদলে প্রোবাবিলিটিতে।
স্বাধীনতা (Independence): $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ হলেই $A,B$ স্বাধীন।
ক্লাসিক উদাহরণ: দুই ডাইস ছুড়লে সমষ্টি ৭ হওয়ার সম্ভাবনা ঠিক $1/6$।

এই পাঠে যা শিখবেন

স্যাম্পল স্পেস, ইভেন্ট এবং সমসম্ভাব্য আউটকামের জন্য প্রোবাবিলিটি সূত্র
কমপ্লিমেন্ট রুল, অ্যাডিশন রুল এবং ইন্ডিপেন্ডেন্স
দুই ডাইসের সমষ্টি ৭ হওয়ার ক্লাসিক উদাহরণ হাতে সমাধান করা
Python-এ fractions.Fraction দিয়ে সঠিক (নির্ভুল) ভগ্নাংশ হিসেবে প্রোবাবিলিটি গণনা

১ · স্যাম্পল স্পেস ও ইভেন্ট

কম্বিনেটরিক্সের (M3) পুরো মডিউলটাই আসলে প্রোবাবিলিটির ভিত্তি প্রস্তুত করছিল। একটি এলোমেলো (random) পরীক্ষার সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে বলা হয় স্যাম্পল স্পেসSample Space (S)একটি এলোমেলো পরীক্ষার সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেট। যেমন একটি ডাইস ছোড়ার স্যাম্পল স্পেস $S=\{1,2,3,4,5,6\}$। ($S$)। এই স্যাম্পল স্পেসের যেকোনো উপসেটকে বলা হয় ইভেন্টEvent (E)স্যাম্পল স্পেসের একটি উপসেট — যে নির্দিষ্ট ফলাফলগুলোতে আমরা আগ্রহী। যেমন "জোড় সংখ্যা আসা" ইভেন্ট $E=\{2,4,6\}$। ($E \subseteq S$)। যদি $S$-এর প্রতিটি আউটকাম সমসম্ভাব্য (equally likely) হয়, তাহলে —

সমসম্ভাব্য আউটকামের প্রোবাবিলিটি সূত্র

$$P(E) = \frac{|E|}{|S|}$$

লক্ষ্য করুন — এই সূত্রের জন্য $|E|$ ও $|S|$ গোনা প্রয়োজন, এবং সেই গণনার জন্যই M3-এর যোগ/গুণের নিয়ম, পারমুটেশন, কম্বিনেশন ও ইনক্লুশন-এক্সক্লুশন ব্যবহার হয়।

২ · কমপ্লিমেন্ট রুল ও অ্যাডিশন রুল

কমপ্লিমেন্ট রুল বলে $P(E^c)=1-P(E)$ — অর্থাৎ "$E$ না ঘটা"র সম্ভাবনা সবসময় $1$ থেকে "$E$ ঘটা"র সম্ভাবনা বাদ দিয়ে পাওয়া যায়। উদাহরণ: একটি ডাইসে "৬ না আসা"র সম্ভাবনা $1 - 1/6 = 5/6$।

অ্যাডিশন রুল হুবহু L16-এর ইনক্লুশন-এক্সক্লুশন সূত্রের প্রোবাবিলিটি সংস্করণ:

অ্যাডিশন রুল

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

৩ · স্বাধীনতা (Independence)

দুটো ইভেন্ট $A$ ও $B$ স্বাধীন (Independent)Independenceদুটো ইভেন্ট $A,B$ স্বাধীন হয় যদি একটির ঘটা অন্যটির সম্ভাবনাকে প্রভাবিত না করে — গাণিতিকভাবে $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$। হয় যদি একটির ঘটা অন্যটির সম্ভাবনাকে প্রভাবিত না করে — গাণিতিকভাবে $P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B)$। যেমন দুইটি ভিন্ন ডাইস ছোড়া স্বাধীন ঘটনা — একটির ফলাফল অন্যটির সম্ভাবনা পরিবর্তন করে না।

৪ · ক্লাসিক উদাহরণ — দুই ডাইসের সমষ্টি ৭

দুইটি ন্যায্য (fair) ডাইস ছোড়া হলো। সমষ্টি ঠিক ৭ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান

স্যাম্পল স্পেস $S$ = দুই ডাইসের সব সম্ভাব্য জোড়া, $|S| = 6 \times 6 = 36$ (গুণের নিয়ম, L12)। সমষ্টি ৭ হওয়া অনুকূল জোড়াগুলো: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ — মোট ৬টি।

$$P(\text{সমষ্টি}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Python

import itertools
from fractions import Fraction

outcomes = list(itertools.product(range(1, 7), range(1, 7)))
total = len(outcomes)
favorable = [pair for pair in outcomes if sum(pair) == 7]

print("মোট আউটকাম (|S|):", total)
print("সমষ্টি ৭ হওয়া আউটকাম:", favorable)
print("অনুকূল আউটকামের সংখ্যা (|E|):", len(favorable))

prob = Fraction(len(favorable), total)
print("P(সমষ্টি = ৭) =", prob)

fractions.Fraction স্বয়ংক্রিয়ভাবে ভগ্নাংশকে সরলতম রূপে (lowest terms) রাখে — তাই Fraction(6, 36) প্রিন্ট হবে ঠিক 1/6, ফ্লোটিং-পয়েন্ট রাউন্ডিং এরর ছাড়াই একটি নির্ভুল উত্তর হিসেবে।

কমপ্লিমেন্ট
$P(E^c)=1-P(E)$ — সমষ্টি ৭ না হওয়ার সম্ভাবনা $1-1/6=5/6$।

অ্যাডিশন রুল
L16-এর ইনক্লুশন-এক্সক্লুশন সূত্রের প্রোবাবিলিটি সংস্করণ — একই যুক্তি, ভিন্ন প্রেক্ষাপট।

মূল কথা · Key takeaway

ডিসক্রিট প্রোবাবিলিটি আসলে M3-এর সব কাউন্টিং কৌশলের (যোগ/গুণের নিয়ম, পারমুটেশন, কম্বিনেশন, পিজনহোল, ইনক্লুশন-এক্সক্লুশন) একটি ব্যবহারিক প্রয়োগ — সঠিকভাবে গোনা যেকোনো সম্ভাব্যতার হিসাবের প্রথম ও সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধাপ। এখানেই M3 শেষ হলো; পরের মডিউলে (M4) আমরা গ্রাফ থিওরিতে প্রবেশ করব।

ভাবনার প্রশ্ন

প্রতিটি প্রশ্ন নিজে কিছুক্ষণ ভাবুন — তারপর "→ উত্তর" চাপুন।

প্র ০১ একটি তাসের ডেক (৫২টি কার্ড) থেকে একটি কার্ড টানা হলো। "কার্ডটি টেক্কা (Ace)" বা "কার্ডটি হার্ট (Heart)" হওয়ার সম্ভাবনা কত? এখানে অ্যাডিশন রুল কীভাবে প্রযোজ্য?

$A$="টেক্কা" ($|A|=4$), $B$="হার্ট" ($|B|=13$), $A\cap B$="হার্টের টেক্কা" ($|A\cap B|=1$)। অ্যাডিশন রুল প্রয়োগ করে: $P(A\cup B) = \dfrac{4}{52}+\dfrac{13}{52}-\dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$।

যদি সরল যোগ করতাম ($4/52+13/52=17/52$), হার্টের টেক্কাকে দুইবার গোনা হতো — ঠিক L16-এর ওভারল্যাপ সমস্যার পুনরাবৃত্তি।

প্র ০২ দুইটি ডাইস ছোড়া কেন স্বাধীন ঘটনা (independent events), এবং এটি কীভাবে $P(\text{দুটোই ৬})$ গণনায় সাহায্য করে?

দুটো ডাইস আলাদা, শারীরিকভাবে সংযুক্ত নয় — একটির ফলাফল অন্যটির সম্ভাবনার উপর কোনো প্রভাব ফেলে না। তাই তারা স্বাধীন, এবং স্বাধীনতার সংজ্ঞা অনুযায়ী $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ ব্যবহার করা যায়।

$P(\text{প্রথমটি}=6) = 1/6$ এবং $P(\text{দ্বিতীয়টি}=6)=1/6$, তাই $P(\text{দুটোই}=6) = 1/6 \times 1/6 = 1/36$ — যা সরাসরি ৩৬টি সম্ভাব্য জোড়ার মধ্যে ঠিক ১টি জোড়ার ($6,6$) সাথে মিলে যায়।

প্র ০৩ দুই ডাইসের উদাহরণে সমষ্টি ৭ হওয়ার সম্ভাবনা ($1/6$) সব সম্ভাব্য সমষ্টির (২ থেকে ১২) মধ্যে সবচেয়ে বেশি কেন — শুধু সংখ্যারেখার "মাঝখানে" থাকার কারণে, নাকি অন্য কোনো গাণিতিক কারণ আছে?

কারণটি সরাসরি কাউন্টিং-ভিত্তিক, শুধু "মাঝখানে থাকা" কাকতালীয় নয়। সমষ্টি ২ হওয়ার একমাত্র উপায় $(1,1)$ — মাত্র ১টি জোড়া। কিন্তু সমষ্টি ৭ হওয়ার উপায় ৬টি জোড়া — $(1,6)$ থেকে $(6,1)$ পর্যন্ত, কারণ ৭ হলো দুই ডাইসের সম্ভাব্য মানের (১-৬) ঠিক মাঝামাঝি যোগফল, যেখানে সবচেয়ে বেশি জোড়া-কম্বিনেশন এই সমষ্টি তৈরি করতে পারে।

এই "মাঝখানের সমষ্টিতে বেশি সংমিশ্রণ" ঘটনাটিই আসলে কম্বিনেটরিক্সের একটি সরাসরি ফলাফল — প্রান্তিক সমষ্টি (২ বা ১২) তৈরির উপায় সীমিত, কিন্তু মধ্যম সমষ্টির জন্য অনেক বেশি জোড়া উপলব্ধ।

অনুশীলন

গণনা করুন: একটি ন্যায্য ডাইস দুইবার ছোড়া হলো। সমষ্টি ঠিক ১০ বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কত (স্যাম্পল স্পেস ও অনুকূল আউটকাম হাতে গুনে বের করুন)?

অনুকূল জোড়া: সমষ্টি ১০ → $(4,6),(5,5),(6,4)$; সমষ্টি ১১ → $(5,6),(6,5)$; সমষ্টি ১২ → $(6,6)$ — মোট ৬টি জোড়া। $P(\text{সমষ্টি} \geq 10) = 6/36 = 1/6$।
যাচাই করুন: উপরের কোড সেলে sum(pair) == 7-এর বদলে sum(pair) >= 10 বসিয়ে Run চেপে দেখুন আউটপুট আপনার হাতে-হিসাবের সাথে মেলে কি না।

কোড আউটপুট দেখাবে ৬টি অনুকূল আউটকাম এবং Fraction(6, 36) সরল হয়ে 1/6 প্রিন্ট হবে — হাতে-হিসাব করা উত্তরের সাথে হুবহু মিলে যাওয়া উচিত।