এররের উৎস — রাউন্ড-অফ, ট্রাংকেশন ও প্রোপাগেশন

১ · রাউন্ড-অফ এরর জমা হওয়া — সত্যিকারের পরিমাপ

L02-এ আমরা দেখেছি 0.1 + 0.2 != 0.3 — একটি একক অপারেশনের ছোট ভুল। কিন্তু বাস্তব প্রোগ্রামে একটি অপারেশন প্রায়ই হাজার-লক্ষ বার পুনরাবৃত্ত হয়। প্রতিবার সামান্য একটি রাউন্ড-অফ এরররাউন্ড-অফ এরর (Round-off error)একটি সসীম-নির্ভুলতার সংখ্যা পদ্ধতিতে (যেমন ফ্লোটিং পয়েন্ট) একটি প্রকৃত মানকে নিকটতম প্রকাশযোগ্য মানে রাউন্ড করার ফলে সৃষ্ট ভুল। যোগ হলে, মোট জমা হওয়া ভুল ধীরে ধীরে বড় হতে থাকে। নিচের কোড সেলে 0.1-কে N বার লুপে যোগ করে (sum(0.1 for _ in range(N))) সরাসরি গণনা করা মান 0.1 * N-এর সাথে তুলনা করা হয়েছে — এই দুটির গাণিতিকভাবে সমান হওয়ার কথা, কিন্তু বাস্তবে নয়।

for N in [10, 1000, 100000, 1000000]:
    summed = sum(0.1 for _ in range(N))
    direct = 0.1 * N
    diff = summed - direct
    print(f"N={N:>8d}  loop-sum={summed:.15f}  0.1*N={direct:.15f}  diff={diff:.3e}")

২ · ট্রাংকেশন এরর — একটি অসীম সিরিজ কেটে নেওয়া

ট্রাংকেশন এররট্রাংকেশন এরর (Truncation error)একটি গাণিতিকভাবে অসীম প্রক্রিয়া (যেমন একটি অসীম সিরিজ বা একটি লিমিট) সসীম সংখ্যক ধাপে "কেটে" আনুমানিক করার ফলে সৃষ্ট ভুল — ফ্লোটিং-পয়েন্ট প্রতিনিধিত্বের সাথে এর কোনো সম্পর্ক নেই, এটি অ্যালগরিদমেরই একটি সহজাত সীমাবদ্ধতা। রাউন্ড-অফ এরর থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন একটি সমস্যা — এটি ফ্লোটিং-পয়েন্ট প্রতিনিধিত্বের কারণে হয় না, বরং অ্যালগরিদম নিজেই একটি অসীম গাণিতিক প্রক্রিয়াকে সসীম ধাপে থামিয়ে দেয় বলে হয়। ক্লাসিক উদাহরণ: $e^x$-এর টেলর সিরিজ:

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

এই সিরিজ গাণিতিকভাবে অসীম পদ পর্যন্ত চললে ঠিক $e^x$-এর সমান, কিন্তু বাস্তবে আমরা একে একটি নির্দিষ্ট অর্ডারে কেটে নিতে বাধ্য। নিচের কোড সেলে $x = 1$-এর জন্য এই সিরিজ বিভিন্ন অর্ডারে কেটে নিয়ে, প্রতিটি অর্ডারে math.exp(1)-এর প্রকৃত মানের বিপরীতে সত্যিকারের এরর মাপা হয়েছে।

import math

x = 1.0
true_val = math.exp(x)
print(f"math.exp({x}) = {true_val:.10f}   (রেফারেন্স মান)")
print()
print(f"{'অর্ডার':>6} | {'টেলর আনুমানিক মান':>18} | {'প্রকৃত এরর':>14}")

term = 1.0     # n = 0 পদ: x^0 / 0! = 1
approx = 0.0
for n in range(0, 11):
    approx += term
    err = abs(true_val - approx)
    print(f"{n:6d} | {approx:18.10f} | {err:14.3e}")
    term *= x / (n + 1)   # পরবর্তী পদ = আগের পদ * x / (n+1)

৩ · একটি দ্বিতীয় উদাহরণ — sin(x)-এর টেলর সিরিজ

একই ধারণা $\sin(x)$-এর টেলর সিরিজেও প্রযোজ্য: $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$। নিচের কোড সেলে $x = 1.2$ রেডিয়ানের জন্য এই সিরিজ ভিন্ন সংখ্যক পদে কেটে নিয়ে math.sin(1.2)-এর বিপরীতে এরর মাপা হয়েছে।

import math

x2 = 1.2
true_sin = math.sin(x2)
print(f"math.sin({x2}) = {true_sin:.10f}   (রেফারেন্স মান)")
print()
print(f"{'পদসংখ্যা k':>10} | {'টেলর আনুমানিক মান':>18} | {'প্রকৃত এরর':>14}")

approx = 0.0
for k in range(0, 8):
    power = 2 * k + 1
    term = ((-1) ** k) * (x2 ** power) / math.factorial(power)
    approx += term
    err = abs(true_sin - approx)
    print(f"{k:10d} | {approx:18.10f} | {err:14.3e}")

৪ · এরর প্রোপাগেশন ও Catastrophic Cancellation

যখন একটি হিসাবের ফলাফল পরবর্তী হিসাবের ইনপুট হয়, প্রথম হিসাবের এরর দ্বিতীয় হিসাবে বহন (propagate) হয়ে যায়। সবচেয়ে বিপজ্জনক ক্ষেত্র হলো যখন দুটি কাছাকাছি মানের সংখ্যা একে অপরের থেকে বিয়োগ করা হয় — ফলাফলের সিগনিফিক্যান্ট অঙ্কের সংখ্যা নাটকীয়ভাবে কমে যায়, কারণ দুই সংখ্যার প্রথম কয়েকটি মিলে যাওয়া অঙ্ক বাদ পড়ে যায় এবং শুধু তাদের রাউন্ড-অফ ভুলটুকুই "ভেসে ওঠে"। এটিই L02-এর a - b = 5.551115123125783e-17 উদাহরণের পেছনের একই ঘটনা — a ও b প্রায় সমান হওয়ায় তাদের বিয়োগফলে শুধু রাউন্ড-অফ ভুলটুকুই অবশিষ্ট থাকে। L04-এ আমরা দেখব কীভাবে এই ধরনের সংবেদনশীলতা একটি সম্পূর্ণ অ্যালগরিদমকে অস্থিতিশীল (unstable) করে তুলতে পারে।