পলিনোমিয়াল ইন্টারপোলেশন — লাগ্রাঞ্জ ফর্ম

১ · ইন্টারপোলেশন সমস্যা

ধরুন আমাদের কাছে n+1টি ডেটা পয়েন্ট আছে: (x₀,y₀), (x₁,y₁), ..., (xₙ,yₙ) — যেমন কোনো পরীক্ষার মাপা রিডিং, অথবা একটি জটিল ফাংশনের কয়েকটি নমুনা মান। ইন্টারপোলেশনInterpolationজানা ডেটা পয়েন্টগুলোর মধ্য দিয়ে ঠিক যাওয়া এমন একটি ফাংশন (সাধারণত পলিনোমিয়াল) তৈরি করা, যা দিয়ে ডেটা পয়েন্টগুলোর মধ্যবর্তী বা কাছাকাছি যেকোনো বিন্দুতে মান আনুমানিক করা যায়। সমস্যাটি হলো — এমন একটি ফাংশন P(x) খুঁজে বের করা যা প্রতিটি xᵢ-তে ঠিক yᵢ মান দেয় (P(xᵢ) = yᵢ), এবং তারপর সেই P(x) দিয়ে নতুন কোনো x-এ মান আনুমানিক করা।

এটি M2-এর রুট-ফাইন্ডিং (যেখানে f(x) = 0 সমাধান করা হয়) বা M3-এর লিনিয়ার সিস্টেম সমাধান (যেখানে অজানা ভেরিয়েবল বের করা হয়) থেকে আলাদা একটি সমস্যা — এখানে আমরা একটি নতুন ফাংশন তৈরি করছি যা জানা ডেটার সাথে মিলে যায়। একটি মূল উপপাদ্য বলে — n+1টি ভিন্ন x-মানের ডেটা পয়েন্টের মধ্য দিয়ে ঠিক একটি ডিগ্রি-n (বা তার কম) পলিনোমিয়াল যায়। লাগ্রাঞ্জ ফর্ম এবং নিউটনের ডিভাইডেড-ডিফারেন্স ফর্ম (L17) — দুটোই এই একই পলিনোমিয়াল লেখার দুটি ভিন্ন উপায় মাত্র।

২ · লাগ্রাঞ্জ বেসিস পলিনোমিয়াল

লাগ্রাঞ্জ ফর্মের মূল কৌশল হলো — প্রতিটি ডেটা পয়েন্ট i-এর জন্য একটি বিশেষ "বেসিস পলিনোমিয়াল" Lᵢ(x) তৈরি করা যা xᵢ-তে ঠিক ১ এবং বাকি সব xⱼ (j≠i)-তে ঠিক ০ মান দেয়:

তারপর পুরো ইন্টারপোলেটিং পলিনোমিয়াল হলো এই বেসিসগুলোর একটি ওয়েটেড যোগফল, যেখানে ওয়েট হলো yᵢ:

লক্ষ্য করুন — যখন x = xₖ বসানো হয়, তখন Lₖ(xₖ) = 1 কিন্তু বাকি সব Lᵢ(xₖ) = 0 (i≠k), তাই P(xₖ) = yₖ — ঠিক যা আমরা চাই। এই ধর্মটাই নিশ্চিত করে পলিনোমিয়ালটি প্রতিটি ডেটা পয়েন্টের মধ্য দিয়ে ঠিক যায়।

৩ · একটি সত্যিকারের ডেমো — sin(x) ইন্টারপোলেট করা

নিচের কোড সেলে math.sin(x)-কে x = 0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 — এই ৫টি বিন্দুতে স্যাম্পল করে একটি ডিগ্রি-৪ লাগ্রাঞ্জ পলিনোমিয়াল তৈরি করা হয়েছে। তারপর এই পলিনোমিয়াল দিয়ে x = 1.2 (যা স্যাম্পল পয়েন্টগুলোর মাঝেই আছে, কিন্তু নিজে কোনো স্যাম্পল পয়েন্ট নয়) বিন্দুতে মান আনুমানিক করে প্রকৃত math.sin(1.2)-এর সাথে তুলনা করা হয়েছে।

import math

xs = [0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0]
ys = [math.sin(x) for x in xs]

def lagrange_interpolate(xs, ys, x):
    total = 0.0
    n = len(xs)
    for i in range(n):
        term = ys[i]
        for j in range(n):
            if j != i:
                term *= (x - xs[j]) / (xs[i] - xs[j])
        total += term
    return total

print("স্যাম্পল পয়েন্ট:")
for x, y in zip(xs, ys):
    print(f"  x={x}  sin(x)={y:.6f}")

x_new = 1.2
p_val = lagrange_interpolate(xs, ys, x_new)
true_val = math.sin(x_new)
err = abs(p_val - true_val)
print()
print(f"x_new = {x_new}")
print(f"লাগ্রাঞ্জ ইন্টারপোলেটেড P({x_new}) = {p_val:.8f}")
print(f"প্রকৃত math.sin({x_new})           = {true_val:.8f}")
print(f"পরম এরর                            = {err:.8f}")

x_new2 = 1.9
p_val2 = lagrange_interpolate(xs, ys, x_new2)
true_val2 = math.sin(x_new2)
err2 = abs(p_val2 - true_val2)
print()
print(f"x_new2 = {x_new2}")
print(f"লাগ্রাঞ্জ ইন্টারপোলেটেড P({x_new2}) = {p_val2:.8f}")
print(f"প্রকৃত math.sin({x_new2})           = {true_val2:.8f}")
print(f"পরম এরর                            = {err2:.8f}")