সিম্পসনস রুল

১ · প্যারাবোলা দিয়ে আনুমানিক করা

L23-এ ট্র্যাপিজয়ডাল রুল প্রতিটি সাব-ইন্টারভালে f(x)-কে একটি সরলরেখা (ডিগ্রি-১ পলিনোমিয়াল) দিয়ে আনুমানিক করেছিল। সিম্পসনস রুলের ধারণা — একটি ধাপ এগিয়ে, প্রতি জোড়া সাব-ইন্টারভালে (তিনটি পয়েন্ট ব্যবহার করে) একটি প্যারাবোলা (ডিগ্রি-২ পলিনোমিয়াল) ফিট করা, কারণ একটি প্যারাবোলা সাধারণত একটি সরলরেখার চেয়ে ফাংশনের প্রকৃত আকৃতির অনেক কাছাকাছি যায়।

একক জোড়া সাব-ইন্টারভালে (পয়েন্ট x₀, x₁, x₂, প্রস্থ h প্রতিটির) সিম্পসনস রুলের ফর্মুলা:

কম্পোজিট (একাধিক জোড়া সাব-ইন্টারভাল) সিম্পসনস রুলে এই প্যাটার্নটি পুরো ইন্টারভাল জুড়ে বিস্তৃত হয় — বিজোড় ইনডেক্সের পয়েন্টগুলো (জোড়ার মাঝের পয়েন্ট) গুণক ৪ পায়, জোড় ইনডেক্সের ভেতরের পয়েন্টগুলো (দুই জোড়ার সংযোগস্থল) গুণক ২ পায়, আর প্রথম ও শেষ পয়েন্ট গুণক ১:

২ · সত্যিকারের ডেমো — একই n-এ ট্র্যাপিজয়ডাল বনাম সিম্পসনস

L23-এর একই ইন্টিগ্রাল (∫₀^π sin(x) dx = 2) ব্যবহার করে, এবার ট্র্যাপিজয়ডাল ও সিম্পসনস রুল পাশাপাশি একই n-এ চালিয়ে দেখা যাক কোনটি কতটা নির্ভুল:

import math

def f(x):
    return math.sin(x)

a, b = 0.0, math.pi
true_val = 2.0

def trapezoidal(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    total = 0.5 * (f(a) + f(b))
    for i in range(1, n):
        total += f(a + i * h)
    return total * h

def simpson(f, a, b, n):
    if n % 2 != 0:
        raise ValueError("সিম্পসনস রুলে n অবশ্যই জোড় হতে হবে")
    h = (b - a) / n
    total = f(a) + f(b)
    for i in range(1, n):
        x = a + i * h
        total += (4 if i % 2 != 0 else 2) * f(x)
    return total * h / 3

print(f"true integral of sin(x) from 0 to pi = {true_val}")
print()
print(f"{'n':>4} {'trapezoidal':>14} {'trap_err':>12} | {'simpson':>14} {'simp_err':>12} | {'simp_ratio':>10}")

prev_err = None
for n in [4, 8, 16, 32, 64]:
    trap = trapezoidal(f, a, b, n)
    simp = simpson(f, a, b, n)
    trap_err = abs(trap - true_val)
    simp_err = abs(simp - true_val)
    ratio = (prev_err / simp_err) if prev_err else float('nan')
    print(f"{n:>4} {trap:>14.10f} {trap_err:>12.3e} | {simp:>14.10f} {simp_err:>12.3e} | {ratio:>10.3f}")
    prev_err = simp_err

৩ · কেন এত বড় উন্নতি এত সামান্য পরিবর্তনে

সিম্পসনস রুল শুধু "একটু বেশি" নির্ভুল নয়, বরং একটি ভিন্ন শ্রেণির কনভারজেন্স অর্জন করে — এবং এর একটি চমকপ্রদ কারণ আছে। যদিও প্যারাবোলা একটি ডিগ্রি-২ পলিনোমিয়াল, সিম্পসনস রুলের এরর ফর্মুলা বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় এটি আসলে ডিগ্রি-৩ পলিনোমিয়াল পর্যন্ত নিখুঁতভাবে (শূন্য এরর) ইন্টিগ্রেট করে — একটি প্যারাবোলা-ফিটিং মেথড প্রত্যাশার চেয়ে এক ডিগ্রি বেশি নির্ভুল, প্রতিসাম্যের (symmetry) কারণে বিজোড়-অর্ডার এরর টার্ম বাতিল হয়ে যাওয়ায়। এটাই নিউটন-কোটস পরিবারের একটি সুন্দর, প্রায়ই আশ্চর্যজনক বৈশিষ্ট্য।