প্রয়োগ — ভাইব্রেশন, স্ট্যাবিলিটি ও PCA-এর সংযোগ

১ · ভাইব্রেশন মোড ও ন্যাচারাল ফ্রিকোয়েন্সি

একটি সরল মেকানিক্যাল উদাহরণ ভাবুন: দুটি সমান ভর (m = 1), দুই দেয়ালের মাঝে তিনটি সমান স্প্রিং (স্টিফনেস k = 1) দিয়ে যুক্ত — দেয়াল-ভর১-ভর২-দেয়াল। এই সিস্টেমের গতির সমীকরণ থেকে (নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র প্রতিটি ভরে প্রয়োগ করে) একটি স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়:

$$K = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$

এই সিস্টেম যখন মুক্তভাবে দোলে (কোনো বাহ্যিক বল ছাড়া), তার সমাধান একটি আইগেনভ্যালু সমস্যায় পরিণত হয়: K x = ω² x, যেখানে x হলো ভাইব্রেশনের আকৃতি (mode shape) এবং ω হলো ন্যাচারাল ফ্রিকোয়েন্সি (কৌণিক)। অর্থাৎ K-এর আইগেনভ্যালুই হলো ω², আর আইগেনভেক্টর হলো সেই ফ্রিকোয়েন্সিতে সিস্টেমটি ঠিক কীভাবে দোলে তার আকৃতি।

২ · সত্যিকারের ডেমো — দুটি ভাইব্রেশন মোড পাওয়ার মেথড দিয়ে

নিচের কোড সেলে L38-এর matvec/norm ও L39-এর gauss_solve-ভিত্তিক শিফটেড ইনভার্স পাওয়ার মেথড পুনর্ব্যবহার করে K-এর দুটি আইগেনভ্যালুই বের করা হয়েছে — প্রথমে সরল পাওয়ার মেথড দিয়ে ডমিন্যান্ট (উচ্চতর ফ্রিকোয়েন্সির) মোড, তারপর শিফট ০.৫ দিয়ে অন্য মোডটি:

import math

K = [
    [2.0, -1.0],
    [-1.0, 2.0],
]

def matvec(M, v):
    return [sum(M[i][j] * v[j] for j in range(len(v))) for i in range(len(M))]

def norm(v):
    return math.sqrt(sum(x * x for x in v))

def gauss_solve(M, b):
    n = len(M)
    aug = [row[:] + [b[i]] for i, row in enumerate(M)]
    for col in range(n):
        piv = max(range(col, n), key=lambda r: abs(aug[r][col]))
        aug[col], aug[piv] = aug[piv], aug[col]
        pivot_val = aug[col][col]
        for row in range(col + 1, n):
            factor = aug[row][col] / pivot_val
            for k in range(col, n + 1):
                aug[row][k] -= factor * aug[col][k]
    x = [0.0] * n
    for row in range(n - 1, -1, -1):
        s = aug[row][n] - sum(aug[row][k] * x[k] for k in range(row + 1, n))
        x[row] = s / aug[row][row]
    return x

# --- মোড ১: সরল পাওয়ার মেথড -- ডমিন্যান্ট (উচ্চতর) আইগেনভ্যালু ---
v = [1.0, 0.3]
prev_eig = None
for i in range(1, 9):
    w = matvec(K, v)
    v = [x / norm(w) for x in w]
    Av = matvec(K, v)
    eig = sum(v[k] * Av[k] for k in range(len(v)))
    prev_eig = eig

print(f"মোড ১ (ডমিন্যান্ট): omega^2 = {prev_eig:.6f}   omega = {math.sqrt(prev_eig):.6f}")
print(f"মোড আকৃতি (আইগেনভেক্টর): {[round(x, 6) for x in v]}")

# --- মোড ২: শিফটেড ইনভার্স পাওয়ার মেথড, শিফট = ০.৫ -- অন্য আইগেনভ্যালু ---
shift = 0.5
Ks = [[K[i][j] - (shift if i == j else 0.0) for j in range(2)] for i in range(2)]
v2 = [1.0, -0.5]
prev_eig2 = None
for i in range(1, 8):
    w = gauss_solve(Ks, v2)
    v2 = [x / norm(w) for x in w]
    Av2 = matvec(K, v2)
    eig2 = sum(v2[k] * Av2[k] for k in range(len(v2)))
    prev_eig2 = eig2

print()
print(f"মোড ২: omega^2 = {prev_eig2:.6f}   omega = {math.sqrt(prev_eig2):.6f}")
print(f"মোড আকৃতি (আইগেনভেক্টর): {[round(x, 6) for x in v2]}")

৩ · স্ট্যাবিলিটি — আইগেনভ্যালুর চিহ্ন কী বলে

M6/L32-এ দেখা গিয়েছিল একটি ODE সলভার কীভাবে "স্টিফ" সমীকরণে অস্থিতিশীল হয়ে বিস্ফোরিতভাবে বেড়ে যেতে পারে। এর পেছনের গাণিতিক কারণটাও আইগেনভ্যালু-নির্ভর: একটি লিনিয়ার ডাইনামিক্যাল সিস্টেম dx/dt = Ax-এর সমাধান সময়ের সাথে A-এর আইগেনভ্যালুর real part-এর চিহ্ন অনুযায়ী আচরণ করে —

এই কারণেই কন্ট্রোল সিস্টেম ও স্ট্রাকচারাল ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে আইগেনভ্যালু বিশ্লেষণ এত গুরুত্বপূর্ণ — একটি ব্রিজ, বিমানের ডানা, বা রোবোটিক আর্মের গতিসূত্রের ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু গণনা করে আগে থেকেই বলা যায় সিস্টেমটি নিজে থেকে স্থিতিশীল থাকবে নাকি নিয়ন্ত্রণ ছাড়া অস্থিতিশীল হয়ে উঠবে — এই কোর্সের M12/L53-এ ফিজিক্স ও ইঞ্জিনিয়ারিং সিমুলেশন প্রসঙ্গে আরও দেখা যাবে।

৪ · PCA-এর সংযোগ — মেশিন লার্নিংয়ে একই গণনা

মেশিন লার্নিংয়ে Principal Component Analysis (PCA) একটি অত্যন্ত জনপ্রিয় ডাইমেনশনালিটি- রিডাকশন কৌশল, যা ../machine-learning/ কোর্সে বিস্তারিত পড়ানো হয় — এখানে শুধু এর আইগেনভ্যালু-সংযোগটুকু দেখানো হচ্ছে, পুরো ডেরিভেশন নয়। মূল ধারণা: একটি ডেটাসেটের কোভ্যারিয়ান্স ম্যাট্রিক্স (কোন ফিচারগুলো একসাথে পরিবর্তিত হয় তা মাপে) গণনা করার পর, তার ডমিন্যান্ট আইগেনভেক্টরই সেই দিক যেখানে ডেটার ভ্যারিয়েন্স (বিস্তৃতি) সবচেয়ে বেশি — একে বলা হয় প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট। দ্বিতীয় সবচেয়ে বড় আইগেনভ্যালুর আইগেনভেক্টর দেয় দ্বিতীয় প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট, ইত্যাদি — ঠিক L40-এর QR অ্যালগরিদম যেভাবে একবারে একাধিক আইগেনভ্যালু/ভেক্টর প্রকাশ করেছিল।

L38-এর ডেমোর ম্যাট্রিক্স A = [[4,1,1],[1,3,1],[1,1,2]] সিমেট্রিক ও পজিটিভ-ডেফিনিট — ঠিক কোভ্যারিয়ান্স ম্যাট্রিক্সের মতোই বৈশিষ্ট্য (যদিও এটি বাস্তব কোনো ডেটাসেট থেকে গণনা করা নয়, শুধু একটি উদাহরণ)। এর ডমিন্যান্ট আইগেনভ্যালু ৫.২১৪৩২ ও আইগেনভেক্টর [০.৭৫৫৭৭৪, ০.৫২০৬৭৬, ০.৩৯৭১১৮] — যদি A সত্যিই কোনো তিন-ফিচার ডেটাসেটের কোভ্যারিয়ান্স ম্যাট্রিক্স হতো, এই আইগেনভেক্টরটিই হতো "প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট"-এর দিক, আর ৫.২১৪৩২ সংখ্যাটি বলে দিত সেই দিকে ডেটার ভ্যারিয়েন্স ঠিক কতটা।