নাম্বার সিস্টেম — বাইনারি, অক্টাল, হেক্সাডেসিমেল

১ · পজিশনাল নাম্বার সিস্টেম কী

আমরা যে দশমিক (decimal) সংখ্যা প্রতিদিন ব্যবহার করি, তা একটি পজিশনাল নাম্বার সিস্টেমPositional Number Systemযে সংখ্যা-পদ্ধতিতে একটি অঙ্কের প্রকৃত মান শুধু অঙ্কটির উপর নয়, বরং সংখ্যার মধ্যে তার অবস্থানের (position) উপরও নির্ভর করে। — এখানে প্রতিটি অঙ্কের প্রকৃত মান নির্ভর করে দুটি জিনিসের উপর: অঙ্কটি নিজে কী, আর সংখ্যার মধ্যে তার অবস্থান (position) কোথায়। যেমন 345-এ "3" আসলে 300 বোঝায়, কারণ সে শততম অবস্থানে বসে আছে। সাধারণভাবে লেখা যায়:

$$N = \sum_{i} d_i \times b^i$$

এখানে baseসংখ্যা-পদ্ধতিতে ব্যবহৃত মোট আলাদা অঙ্কের সংখ্যা — দশমিকে ১০টি অঙ্ক (0-9) তাই base 10। (b) হলো সেই সিস্টেমে মোট কতগুলো ভিন্ন অঙ্ক আছে, আর i হলো ডানদিক থেকে গোনা অবস্থান (rightmost = 0)। দশমিকে (base 10, অঙ্ক 0-9): 345 = 3×10² + 4×10¹ + 5×10⁰ = 300+40+5 = 345 — এটাই আমরা স্বাভাবিকভাবে ভাবি, কিন্তু এই একই নিয়ম যেকোনো বেসেই প্রযোজ্য।

২ · বাইনারি — হার্ডওয়্যারের নিজস্ব ভাষা

বাইনারিBinary (Base 2)শুধু দুটি অঙ্ক (0, 1) ব্যবহার করে এমন নাম্বার সিস্টেম — হার্ডওয়্যার সরাসরি বোঝে এমন একমাত্র সিস্টেম। (base 2) শুধুমাত্র দুটি অঙ্ক ব্যবহার করে — 0 ও 1। এটাই একমাত্র নাম্বার সিস্টেম যা হার্ডওয়্যার সরাসরি বোঝে, কারণ L01-এ যেমন দেখেছি, একটি ট্রানজিস্টর স্বাভাবিকভাবেই দুই-অবস্থার সুইচ — হয় লো ভোল্টেজ (0) নয়তো হাই ভোল্টেজ (1)। প্রতিটি বাইনারি অঙ্ককে বলা হয় একটি bitBit"Binary Digit"-এর সংক্ষিপ্ত রূপ — একটি একক বাইনারি অঙ্ক (0 অথবা 1), তথ্যের সবচেয়ে ছোট একক। ("binary digit"-এর সংক্ষিপ্ত রূপ)। বাইনারিতে 1011 মানে: 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+2+1 = 11 (দশমিকে) — এই রূপান্তরের বিস্তারিত পদ্ধতি আসবে পরের পাঠে (L03)।

৩ · অক্টাল ও হেক্সাডেসিমেল — বাইনারির শর্টহ্যান্ড

কাঁচা বাইনারি পড়া মানুষের জন্য কষ্টকর — একটি সাধারণ সংখ্যাও অনেক লম্বা বিট-স্ট্রিং হয়ে যায় (যেমন দশমিক 172 বাইনারিতে 10101100)। তাই দুটি "শর্টহ্যান্ড" সিস্টেম ব্যবহার করা হয় — অক্টালOctal (Base 8)০-৭ পর্যন্ত ৮টি অঙ্ক ব্যবহার করে এমন সিস্টেম — প্রতিটি অক্টাল অঙ্ক ঠিক ৩টি বাইনারি বিটের সমান। (base 8, অঙ্ক 0-7) ও হেক্সাডেসিমেলHexadecimal (Base 16)০-৯ এর পর A-F ব্যবহার করে মোট ১৬টি অঙ্ক — প্রতিটি হেক্স অঙ্ক ঠিক ৪টি বাইনারি বিটের সমান। (base 16, অঙ্ক 0-9 তারপর A-F, যেখানে A=10, B=11, ..., F=15)। এই দুটো "শর্টহ্যান্ড" হওয়ার আসল কারণ খাঁটি গণিত: 8 = 2³ এবং 16 = 2⁴ — অর্থাৎ প্রতিটি অক্টাল অঙ্ক ঠিক ৩-বিট বাইনারি গ্রুপের সমান, আর প্রতিটি হেক্স অঙ্ক ঠিক ৪-বিট গ্রুপের (একে বলা হয় nibbleNibbleঠিক ৪টি বিটের একটি গ্রুপ — একটি হেক্স অঙ্কের ঠিক সমান।) সমান।

এই সম্পর্কের কারণে রূপান্তর কোনো অঙ্ক-ভিত্তিক গণনা ছাড়াই সরাসরি করা যায় — বাইনারি সংখ্যাকে ডান দিক থেকে ৪-বিট গ্রুপে (নিবলে) ভাগ করে প্রতিটি নিবলকে সরাসরি একটি হেক্স অঙ্কে বদলে দিলেই হলো। উদাহরণ: বাইনারি 10101100 কে দুটি নিবলে ভাগ করুন — 1010 এবং 1100। 1010 = দশমিক 10 = হেক্স A, আর 1100 = দশমিক 12 = হেক্স C। তাই 10101100 = হেক্স AC।

৪ · কেন হেক্সাডেসিমেল ব্যবহারিক স্ট্যান্ডার্ড

দশমিকের তুলনায় হেক্স এখানে এগিয়ে, কারণ দশমিকে রূপান্তর করতে হলে প্রকৃত অঙ্ক-ভিত্তিক গণনা (ভাগ-ভাগশেষ) দরকার হয় (L03-এ দেখবেন) — কিন্তু হেক্সে রূপান্তর শুধু নিবল-গ্রুপিং টেবিল দেখেই তাৎক্ষণিকভাবে করা যায়, কারণ 16 সরাসরি 2-এর একটি ঘাত।

# বেস রূপান্তর -- আমার নিজের ভাগ-ভাগশেষ পদ্ধতি বনাম Python-এর বিল্ট-ইন bin()/oct()/hex() দিয়ে ক্রস-চেক
def to_base(n, base):
    """n-কে base ভিত্তিক অঙ্কের তালিকায় রূপান্তর করে (সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অঙ্ক প্রথমে) -- ভাগ-ভাগশেষ পদ্ধতি"""
    if n == 0:
        return [0]
    digits = []
    while n > 0:
        digits.append(n % base)
        n //= base
    return digits[::-1]

def digits_to_str(digits):
    chars = "0123456789ABCDEF"
    return "".join(chars[d] for d in digits)

test_values = [10, 42, 255, 100]

print("দশমিক | আমার-বাইনারি vs bin() | আমার-অক্টাল vs oct() | আমার-হেক্স vs hex() | মিলেছে?")
print("-" * 82)
for n in test_values:
    my_bin, py_bin = digits_to_str(to_base(n, 2)), bin(n)[2:]
    my_oct, py_oct = digits_to_str(to_base(n, 8)), oct(n)[2:]
    my_hex, py_hex = digits_to_str(to_base(n, 16)), hex(n)[2:].upper()
    match = "হ্যাঁ" if (my_bin, my_oct, my_hex) == (py_bin, py_oct, py_hex) else "না!"
    print(f"{n:>4}  |  {my_bin:>10} vs {py_bin:<10} |  {my_oct:>6} vs {py_oct:<6} |  {my_hex:>4} vs {py_hex:<4} | {match}")

print()
print("নিবল (৪-বিট) গ্রুপিং ট্রিক -- বাইনারি স্ট্রিং থেকে সরাসরি হেক্স")
print("-" * 68)

def nibble_grouping_to_hex(binary_str):
    """বাম দিকে প্রয়োজনমতো শূন্য বসিয়ে ৪-বিট নিবলে ভাগ করে প্রতিটি নিবলকে হেক্স অঙ্কে বদলায়"""
    pad_len = (-len(binary_str)) % 4
    padded = "0" * pad_len + binary_str
    chars = "0123456789ABCDEF"
    return "".join(chars[int(padded[i:i + 4], 2)] for i in range(0, len(padded), 4))

for n in (42, 172, 202):
    b = bin(n)[2:]
    trick_hex = nibble_grouping_to_hex(b)
    real_hex = hex(n)[2:].upper()
    print(f"{n:>3} -> বাইনারি {b:>8} -> নিবল গ্রুপিং দিয়ে হেক্স {trick_hex:>3}  (Python hex(): {real_hex})")