হাফ অ্যাডার ও ফুল অ্যাডার

১ · হাফ অ্যাডার — L01-এর প্রিভিউ থেকে ফর্মালাইজেশন

L01-এ একটি সংক্ষিপ্ত প্রিভিউ হিসেবে হাফ অ্যাডারHalf Adderদুটি একক বিট যোগ করে Sum ও Carry দেয়, কিন্তু আগের বিট-পজিশন থেকে carry-in নিতে পারে না। দেখানো হয়েছিল। এখন এটি ফর্মালি সংজ্ঞায়িত করা যাক — হাফ অ্যাডার দুটি একক বিট A ও B যোগ করে দুটি আউটপুট দেয়ঃ

• Sum = A XOR B — যোগফলের একক-বিট অংশ
• Carry = A AND B — পরের পজিশনে বহন করে নিয়ে যাওয়ার অংশ

একে "half" (অর্ধেক) বলা হয় কারণ এটি আগের কোনো বিট-পজিশন থেকে আসা carry-in গ্রহণ করতে পারে না — শুধুমাত্র দুটি ইনপুট নেয়, তিনটি নয়। একক বিট-পজিশনের জন্য এটি ঠিকঠাক কাজ করে, কিন্তু বহু-বিট সংখ্যা যোগ করতে গেলে প্রতিটি পজিশনে আগের পজিশনের carry যোগ করাও দরকার — এই সীমাবদ্ধতাই পরের ধাপের প্রেরণা।

২ · ফুল অ্যাডার — তিন-ইনপুট যোগফল

ফুল অ্যাডারFull Adderতিনটি বিট (A, B, Carry-in) যোগ করে Sum ও Carry-out দেয় — বহু-বিট অ্যাডিশনের মৌলিক বিল্ডিং ব্লক। তিনটি ইনপুট নেয়ঃ A, B, এবং আগের পজিশন থেকে আসা Carry-in (Cin)। আউটপুট দুটি — Sum ও Carry-out (Cout)। নির্ভুল সূত্র —

$$Sum = A \oplus B \oplus C_{in}$$ $$C_{out} = (A \cdot B) + (C_{in} \cdot (A \oplus B))$$

Cout-এর সূত্রটি একটি সহজ অন্তর্দৃষ্টির সমতুল্য — এটি আসলে একটি "মেজরিটি (majority) ফাংশন": তিনটি ইনপুটের (A, B, Cin) মধ্যে অন্তত দুটি যদি ১ হয়, তবেই Cout = 1। উদাহরণস্বরূপ A=1, B=1, Cin=0 হলে — দুটি ইনপুট ১, তাই Cout=1, যদিও Cin নিজে ০।

৩ · দুটি হাফ অ্যাডার + একটি OR গেট দিয়ে ফুল অ্যাডার

একটি চমৎকার কম্পোজিশন কৌশল — সম্পূর্ণ নতুন সার্কিট না বানিয়ে, আগের হাফ অ্যাডারকেই দুইবার পুনর্ব্যবহার করে ফুল অ্যাডার বানানো যায় —

1. হাফ অ্যাডার ১: A ও B যোগ করে একটি মধ্যবর্তী (intermediate) sum₁ ও carry₁ দেয়
2. হাফ অ্যাডার ২: sum₁ ও Cin যোগ করে চূড়ান্ত Sum ও carry₂ দেয়
3. চূড়ান্ত Cout = carry₁ OR carry₂ — দুটি হাফ অ্যাডারের carry-আউটপুট একসাথে OR করে

নিচের কোড সেলে full_adder-এর দুটি স্বতন্ত্র বাস্তবায়ন থাকবে — একটি সরাসরি উপরের সূত্র (majority ফর্মুলা) দিয়ে, আরেকটি দুটি হাফ অ্যাডার কম্পোজ করে — এবং সব ৮টি ইনপুট কম্বিনেশনে দুটোর ফলাফল হুবহু মিলে কিনা যাচাই করা হবে।

def XOR(a, b):
    return a ^ b

def AND(a, b):
    return a & b

def OR(a, b):
    return a | b

def half_adder(a, b):
    """L01-এ প্রিভিউ করা হয়েছিল -- (sum, carry) রিটার্ন করে"""
    s = XOR(a, b)
    c = AND(a, b)
    return s, c

def full_adder_direct(a, b, cin):
    """সরাসরি সূত্র -- মেজরিটি-ফাংশন স্টাইল Cout"""
    s = XOR(XOR(a, b), cin)
    cout = OR(AND(a, b), AND(cin, XOR(a, b)))
    return s, cout

def full_adder_composed(a, b, cin):
    """কম্পোজিশন -- দুটি হাফ অ্যাডার + একটি OR গেট"""
    s1, c1 = half_adder(a, b)
    s2, c2 = half_adder(s1, cin)
    cout = OR(c1, c2)
    return s2, cout

print("a b cin | direct(Sum,Cout) | composed(Sum,Cout) | মিলেছে?")
print("-" * 55)
all_match = True
for a in (0, 1):
    for b in (0, 1):
        for cin in (0, 1):
            direct = full_adder_direct(a, b, cin)
            composed = full_adder_composed(a, b, cin)
            match = direct == composed
            all_match = all_match and match
            print(f"{a} {b}  {cin}  |     {direct}      |      {composed}       | {match}")

print()
print("সব ৮টি ইনপুট কম্বিনেশনে দুই পদ্ধতির ফলাফল অভিন্ন:", all_match)