বুলিয়ান অ্যালজেব্রা আর ডি মরগানের উপপাদ্য

১ · সত্য-মিথ্যার অঙ্ক — বুলিয়ান অ্যালজেব্রা কী আর কেন

স্কুলের বীজগণিতে x-এর মান হতে পারে ৫, −৩, ২.৭ — যেকোনো সংখ্যা। এবার এমন এক বীজগণিত কল্পনা করুন, যেখানে চলকের মান মাত্র দুটি হতে পারে: 0 অথবা 1. 0 মানে “মিথ্যা”, “না”, “বন্ধ”; 1 মানে “সত্য”, “হ্যাঁ”, “চালু”। এই ছোট্ট জগতের অঙ্কই বুলিয়ান অ্যালজেব্রা (Boolean algebra) — ইংরেজ গণিতবিদ George Boole-এর নামে।

প্রতিদিন আপনি না জেনেই এই অঙ্ক কষছেন। “বৃষ্টি না হলে এবং রিকশা পেলে বাজারে যাব।” “bKash অথবা Nagad — যেকোনোটিতে টাকা পাঠালেই চলবে।” “পাসওয়ার্ড ভুল হলে ঢুকতে দেবে না।” প্রতিটি বাক্যে কিছু শর্ত আছে, প্রতিটি শর্ত হয় সত্য নয় মিথ্যা, আর শর্তগুলো জোড়া লাগছে তিনটি শব্দে — এবং (AND), অথবা (OR), না (NOT).

পর্ব ১৬-তে দেখেছেন, কম্পিউটারের ভেতরে সবকিছু binary — প্রতিটি bit হয় 0 নয় 1. বুলিয়ান অ্যালজেব্রা হলো সেই bit-গুলো নিয়ে সিদ্ধান্ত নেওয়ার গণিত। CPU-র ভেতরের ALU যখন দুটি সংখ্যা যোগ করে, বা আপনার ফোন যখন ঠিক করে আঙুলের ছাপ মিলেছে কি না — সবই শেষ পর্যন্ত কোটি কোটি AND, OR আর NOT-এর হিসাব।

এই পর্বে আমরা থাকব কাগজ-কলমের গণিতে: সূত্র, প্রমাণ, সরলীকরণ। এই রাশিগুলো দিয়ে বাস্তব সার্কিট (গেটের প্রতীক, NAND-NOR দিয়ে সব গেট বানানো) কীভাবে তৈরি হয়, তা দেখবেন পর্ব ২০-এ; আর যোগ করার সার্কিট (adder) বা মাল্টিপ্লেক্সার পর্ব ২১-এ। HSC ICT-র তৃতীয় অধ্যায়ের (সংখ্যা পদ্ধতি ও ডিজিটাল ডিভাইস) বুলিয়ান অংশের সব পদ্ধতি এখানে পরীক্ষার খাতার ধাঁচে দেখানো হয়েছে।

২ · তিনটি মৌলিক অপারেশন — AND, OR আর NOT

যে চলক শুধু 0 বা 1 হতে পারে, তাকে বলে বুলিয়ান চলক (Boolean variable) — লেখা হয় A, B, C বা X, Y দিয়ে। আর 0 ও 1 হলো দুটি ধ্রুবক (constant). এবার তিনটি অপারেশন একে একে দেখি। প্রতিটির জন্য একটি truth table (সত্যক সারণি) থাকবে — সম্ভাব্য সব ইনপুট আর প্রতিটির ফল সাজানো একটি তালিকা।

AND — “দুটোই লাগবে” (যৌক্তিক গুণ)

HSC ব্যবহারিক বিষয়ের কথা ভাবুন: পাস করতে হলে তত্ত্বীয় অংশে পাস এবং ব্যবহারিক অংশেও পাস — দুটোই লাগবে। ধরুন A = তত্ত্বীয়তে পাস, B = ব্যবহারিকে পাস, F = বিষয়ে পাস। তাহলে F = A·B (পড়ুন “A AND B” বা “A ডট B”). AND সাধারণ গুণের মতোই আচরণ করে: 0 দিয়ে গুণ করলে সব 0.

OR — “যেকোনো একটি হলেই চলবে” (যৌক্তিক যোগ)

একটি সেমিনার হলে ঢুকতে লাগবে স্টুডেন্ট আইডি কার্ড অথবা অতিথি পাস। যেকোনো একটি থাকলেই ঢোকা যাবে, দুটো থাকলেও সমস্যা নেই। A = আইডি আছে, B = অতিথি পাস আছে, F = ঢুকতে পারবেন: F = A + B (পড়ুন “A OR B”). OR-এর ফল 0 হয় শুধু তখনই, যখন সব ইনপুট 0.

NOT — “উল্টে দিন” (পূরক বা complement)

মোবাইলের “Do Not Disturb” চালু থাকলে রিংটোন বাজবে না। A = DND চালু, F = রিং বাজবে: F = A′ (পড়ুন “A প্রাইম”, “A বার” বা “NOT A”). NOT-এর ইনপুট একটিই, আর সে শুধু মান উল্টায়: 0 → 1, 1 → 0.

মনে রাখার সহজ কৌশল: AND-এ একটি 0-ই যথেষ্ট ফল 0 করতে, OR-এ একটি 1-ই যথেষ্ট ফল 1 করতে। তিন বা তার বেশি ইনপুটেও নিয়ম একই — A·B·C = 1 শুধু তিনটিই 1 হলে; A + B + C = 0 শুধু তিনটিই 0 হলে।

৩ · লেখার নিয়ম, অগ্রাধিকার আর truth table বানানো

চিহ্ন — একই জিনিসের কয়েক রকম লেখা

পাঠ্যবই আর হাতে লেখায় সাধারণত মাথায় দাগ (বার) দেওয়া হয়; টাইপ করার সুবিধার জন্য এই পর্বে আমরা প্রাইম (′) ব্যবহার করব — দুটোর অর্থ একই। খেয়াল রাখুন, দাগ কতখানি জুড়ে আছে তা খুব জরুরি: A·B (দুটি আলাদা দাগ) আর A·B (পুরোটার ওপর একটি দাগ) সম্পূর্ণ আলাদা রাশি — ডি মরগানের উপপাদ্য ঠিক এই পার্থক্য নিয়েই।

অগ্রাধিকার — কোনটি আগে

সাধারণ অঙ্কে যেমন গুণ আগে, যোগ পরে, বুলিয়ানেও তেমনি একটি ক্রম আছে:

তাই A + B·C′ মানে A + (B·(C′)) — প্রথমে C উল্টে নিন, তারপর B-এর সাথে AND, শেষে A-এর সাথে OR. যদি আগে A আর B-কে OR করতে চান, বন্ধনী লাগবে: (A + B)·C′. সন্দেহ হলে বন্ধনী দিন — অতিরিক্ত বন্ধনী কখনো ভুল নয়।

truth table বানানোর নিয়ম

প্রতিটি চলক দুটি মান নিতে পারে, তাই n-টি চলকে সমন্বয় হয় 2 × 2 × … (n বার) = 2ⁿ-টি। ২ চলকে ৪ সারি, ৩ চলকে ৮ সারি, ৪ চলকে ১৬ সারি। সারিগুলো লেখার নির্ভুল কৌশল: সারিগুলোকে 0 থেকে 2ⁿ − 1 পর্যন্ত বাইনারিতে গুনুন (পর্ব ১৬)। তিন চলকে: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. প্রথম কলামে চারটি 0 তারপর চারটি 1, দ্বিতীয়তে দুটি-দুটি, শেষটিতে একটি-একটি — কোনো সমন্বয় বাদ পড়বে না, দুবারও আসবে না।

উদাহরণ: F = A + B′C-এর truth table. অগ্রাধিকার মেনে মাঝের কলাম (B′, তারপর B′C) আগে বানিয়ে নিন — পরীক্ষার খাতায় এভাবে মাঝের কলাম দেখালে ভুল কম হয়, নম্বরও পুরো পাওয়া যায়:

লক্ষ করুন: A = 1 হলেই (নিচের চার সারি) F = 1, যা-ই হোক B আর C. OR-এ একটি 1-ই যথেষ্ট। এই ধরনের পর্যবেক্ষণ থেকেই সরলীকরণের সূত্রগুলো এসেছে।

৪ · বুলিয়ান সূত্র — যে নিয়মে রাশি ছোট হয়

সাধারণ বীজগণিতে a + 0 = a বা a × 1 = a — এমন কিছু সূত্র আছে যা সব মানের জন্য সত্য। বুলিয়ানেও এমন সূত্র আছে, আর মজার ব্যাপার, কয়েকটি সাধারণ বীজগণিতের সাথে মেলে না। প্রায় প্রতিটি সূত্র জোড়ায় জোড়ায় আসে — একটি OR-রূপ, একটি AND-রূপ। প্রতিটির পেছনের যুক্তি পাশে দেওয়া হলো; মুখস্থ না করে যুক্তিটা বুঝুন।

সাধারণ বীজগণিতের সাথে তফাতগুলো খেয়াল করুন: সেখানে a + a = 2a, এখানে A + A = A. সেখানে a + 1 = 1 কখনো নয়, এখানে A + 1 = 1 সবসময়। আর একটি চমক অপেক্ষা করছে বণ্টন সূত্রে।

চমক: A + BC = (A + B)(A + C)

প্রথম রূপটি — A(B + C) = AB + AC — স্কুলের অঙ্কেই শিখেছেন। কিন্তু বুলিয়ানে উল্টো দিকেও বণ্টন চলে: OR-কে AND-এর ওপর ছড়ানো যায়। সাধারণ সংখ্যায় 2 + 3×4 = 14, অথচ (2+3)×(2+4) = 30 — মেলে না। বুলিয়ানে মেলে কেন? বীজগাণিতিক প্রমাণ দেখুন:

ডান পক্ষ = (A + B)(A + C)
         = A·A + A·C + B·A + B·C      [সাধারণ বণ্টন]
         = A + AC + AB + BC           [A·A = A, সমমান]
         = A(1 + C + B) + BC          [A সাধারণ উৎপাদক]
         = A·1 + BC                   [1 + যা-কিছু = 1]
         = A + BC = বাম পক্ষ  ✔        [অভেদ]

রহস্যটা লুকিয়ে আছে A·A = A আর 1 + X = 1 সূত্রে — সাধারণ সংখ্যায় এ দুটি সত্য নয়, তাই সেখানে দ্বিতীয় বণ্টন চলে না।

শোষণ সূত্রের প্রমাণ — সবচেয়ে কাজের সূত্র

শোষণ সূত্র (absorption) সরলীকরণে সবচেয়ে বেশি লাগে। প্রমাণ মাত্র তিন লাইনের:

A + AB = A·1 + A·B     [অভেদ: A = A·1]
       = A(1 + B)      [বণ্টন]
       = A·1 = A  ✔     [1 + B = 1]

A(A + B) = AA + AB = A + AB = A  ✔

দৈনন্দিন ভাষায়: “বৃষ্টি হলে ছাতা নেব, অথবা বৃষ্টি হলে এবং রোদ থাকলে ছাতা নেব” — দ্বিতীয় অংশটি বাড়তি; প্রথম শর্তই সব বলে দেয়। এর ঘনিষ্ঠ আত্মীয় আরেকটি সূত্রও খুব কাজের: A + A′B = A + B (প্রমাণ: দ্বিতীয় বণ্টন সূত্রে A + A′B = (A + A′)(A + B) = 1·(A + B) = A + B).

৫ · ডি মরগানের উপপাদ্য — দুই রকম প্রমাণ

বুলিয়ান অ্যালজেব্রার সবচেয়ে বিখ্যাত দুটি সূত্র ব্রিটিশ গণিতবিদ Augustus De Morgan-এর নামে — ডি মরগানের উপপাদ্য:

ভাষায় বললে: “A অথবা B — কোনোটিই নয়” মানে “A নয় এবং B নয়”। আর “A এবং B দুটোই সত্য — তা নয়” মানে “A নয় অথবা B নয়”। সেমিনার হলের উদাহরণে: “আইডি অথবা পাস — কিছুই নেই” = “আইডি নেই এবং পাসও নেই”। মনে রাখার ছড়া: দাগ ভাঙুন, চিহ্ন বদলান — পুরো রাশির ওপরের লম্বা দাগ ভেঙে প্রতিটি চলকের ওপর আলাদা দাগ দিন, আর + হয়ে যাবে ·, · হয়ে যাবে +.

প্রমাণ ১: truth table দিয়ে

দুটি রাশি সমান প্রমাণ করার সবচেয়ে নিশ্চিত উপায়: সব ইনপুটের জন্য দুই পক্ষের মান বের করে দেখানো যে প্রতিটি সারিতে মিলে যায়। HSC-তে এভাবেই প্রমাণ লিখতে হয়। নিচে কলাম ধরে ধরে টেবিলটি ভরাট করুন (এখানে প্রতিটি লাইন truth table-এর একটি কলাম; চারটি মান ক্রমে AB = 00, 01, 10, 11-এর জন্য):

প্রমাণ ২: Venn diagram দিয়ে

Venn diagram-এ আয়তক্ষেত্রটি হলো সব সম্ভাবনা, বৃত্ত A-এর ভেতর মানে A = 1, বাইরে মানে A = 0. OR মানে দুই বৃত্তের মিলিত জায়গা (union), AND মানে দুই বৃত্তের সাধারণ অংশ (intersection), NOT মানে বৃত্তের বাইরের সব জায়গা।

দ্বিতীয় উপপাদ্যও একইভাবে দেখা যায়: (A·B)′ মানে দুই বৃত্তের সাধারণ অংশ (মাঝের লেন্সের মতো জায়গা) বাদে বাকি সব। আর A′ + B′ মানে “A-এর বাইরে অথবা B-এর বাইরে” — নীল বা হলুদ যেকোনো একটি রং যেখানে আছে। মাঝের লেন্সে কোনো রং পড়ে না (সেটি দুই বৃত্তেরই ভেতরে), বাকি সব জায়গায় অন্তত একটি রং — হুবহু একই জায়গা।

দুইয়ের বেশি চলকে, আর দ্বৈত নীতি

ডি মরগান যেকোনো সংখ্যক চলকে খাটে: (A + B + C)′ = A′B′C′ আর (ABC)′ = A′ + B′ + C′. জটিল রাশিতে ধাপে ধাপে প্রয়োগ করুন। উদাহরণ: (AB + C)′ = (AB)′·C′ = (A′ + B′)C′.

সূত্রের তালিকায় দেখেছেন, প্রতিটি সূত্রের একটি “জোড়া” আছে। এর পেছনে আছে দ্বৈত নীতি (duality principle): যেকোনো সত্য বুলিয়ান সূত্রে + আর · অদলবদল করুন, আর 0 আর 1 অদলবদল করুন (চলক আর তাদের প্রাইম যেমন আছে তেমন রেখে) — নতুন সূত্রটিও সত্য হবে। যেমন A + 0 = A-এর dual হলো A·1 = A; A + BC = (A + B)(A + C)-এর dual হলো A(B + C) = AB + AC. ফলে একটি সূত্র প্রমাণ করলে তার জোড়াটি বিনা খরচে পাওয়া যায়।

৬ · ধাপে ধাপে সরলীকরণ — পরীক্ষার খাতার মতো করে

একটি বুলিয়ান রাশি যত লম্বা, সার্কিটে তত বেশি গেট লাগে। সরলীকরণের লক্ষ্য: একই truth table রেখে পদ আর চলকের সংখ্যা কমানো। খাতায় লেখার নিয়ম: প্রতিটি লাইনে একটি সূত্র প্রয়োগ করুন, আর ডান পাশে বন্ধনীতে সূত্রের নাম লিখুন। প্রথমে একটি ক্লাসিক উদাহরণ ধাপে ধাপে:

1F = AB + AB′ + A′B2  = AB + AB′ + AB + A′B3  = A(B + B′) + B(A + A′)4  = A·1 + B·15  = A + B

একই প্রশ্নের আরেকটি পথ: AB + AB′ = A(B + B′) = A, তারপর A + A′B = A + B (আগের অংশে দেখা সূত্র)। দুই পথে একই উত্তর — বুলিয়ান সরলীকরণে প্রায়ই একাধিক সঠিক পথ থাকে। এবার পাঠ্যবইয়ের ধাঁচের আরও কয়েকটি সমাধান করা উদাহরণ:

উদাহরণ ১:  সরল করুন  F = A′B′C + A′BC + AB′C
  F = A′C(B′ + B) + AB′C        [বণ্টন]
    = A′C·1 + AB′C               [পূরক]
    = C(A′ + AB′)                [বণ্টন, অভেদ]
    = C(A′ + B′)                 [X′ + XY = X′ + Y]
    = A′C + B′C

উদাহরণ ২:  সরল করুন  F = (A + B)(A + B′)
  F = A + BB′                    [দ্বিতীয় বণ্টন]
    = A + 0 = A                  [পূরক, অভেদ]

উদাহরণ ৩:  সরল করুন  F = ((A + B)′ + C)′   — ডি মরগান দুবার
  F = (A + B)″ · C′              [ডি মরগান: (X + Y)′ = X′Y′]
    = (A + B)C′                  [দ্বি-পূরক]
    = AC′ + BC′                  [বণ্টন]

উদাহরণ ৪:  প্রমাণ করুন  AB + A′C + BC = AB + A′C
  বাম = AB + A′C + BC(A + A′)    [পূরক: A + A′ = 1]
      = AB + A′C + ABC + A′BC
      = AB(1 + C) + A′C(1 + B)   [বণ্টন]
      = AB + A′C = ডান  ✔          [1 + X = 1]

উদাহরণ ৪-এর পদ্ধতিটি লক্ষ করুন: কখনো রাশিকে ছোট করার আগে ইচ্ছা করে বড় করতে হয় — এখানে BC-কে (A + A′) দিয়ে গুণ করা হয়েছে, যাতে নতুন পদগুলো অন্য পদে শোষিত হয়। এই সূত্রটির নাম consensus theorem; BC পদটি “অপ্রয়োজনীয়”, কারণ তার সব 1 আগেই AB বা A′C দিয়ে ঢাকা।

নিজের সরলীকরণ নিজে যাচাই করুন

প্রতিটি সরলীকরণের পর একটি প্রশ্ন থাকে: আমি কি কোথাও ভুল সূত্র লাগিয়েছি? নিশ্চিত হওয়ার একমাত্র উপায় truth table. নিচের ছোট টুলটি চারটি রাশি-জোড়া সব ইনপুটে হিসাব করে দেখায় তারা সমতুল্য (equivalent) কি না। JavaScript-এ && = AND, || = OR, ! = NOT. চালান চাপুন:

// প্রতিটি জোড়া: বাম রাশি আর ডান রাশি — সব ইনপুটে কি একই ফল দেয়?
const checks = [
  ["!(A||B) vs !A&&!B", (A, B) => !(A || B), (A, B) => !A && !B],
  ["!(A&&B) vs !A||!B", (A, B) => !(A && B), (A, B) => !A || !B],
  ["AB+AB'+A'B vs A+B", (A, B) => A && B || A && !B || !A && B, (A, B) => A || B],
  ["!(A||B) vs !A||!B", (A, B) => !(A || B), (A, B) => !A || !B]
];

for (const [label, f, g] of checks) {
  let rows = "", same = true;
  for (const [A, B] of [[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]]) {
    const x = f(A, B) ? 1 : 0;   // বাম রাশির ফল
    const y = g(A, B) ? 1 : 0;   // ডান রাশির ফল
    rows += ` ${A}${B}→${x}${y}`;
    if (x !== y) same = false;
  }
  console.log(label, "|", rows.trim(), "|", same ? "সমতুল্য ✔" : "সমতুল্য নয় ✘");
}

৭ · truth table থেকে রাশি — minterm, maxterm, SOP আর POS

এতক্ষণ রাশি থেকে truth table বানিয়েছি। বাস্তবে প্রায়ই উল্টো প্রশ্ন আসে: “আমি চাই এই এই ইনপুটে আলো জ্বলুক” — অর্থাৎ truth table জানা, রাশি অজানা। এর একটি যান্ত্রিক, কখনো-ব্যর্থ-না-হওয়া পদ্ধতি আছে।

উদাহরণ: তিন সদস্যের একটি কমিটি (A, B, C) ভোট দেয়। অন্তত দুজন “হ্যাঁ” (1) বললে প্রস্তাব পাস (F = 1). একে বলে majority (সংখ্যাগরিষ্ঠ) ফাংশন। প্রথমে truth table, তারপর রাশি:

• Minterm: সব চলক নিয়ে AND দিয়ে গড়া এমন পদ, যা truth table-এর ঠিক একটি সারিতে 1 হয়। নিয়ম: সারিতে চলক 1 হলে চলকটি যেমন আছে, 0 হলে তার প্রাইম। সারি 011 → A′BC. সারির দশমিক নম্বর দিয়ে একে m3 লেখা হয়।
• Maxterm: সব চলক নিয়ে OR দিয়ে গড়া এমন পদ, যা ঠিক একটি সারিতে 0 হয়। নিয়ম উল্টো: সারিতে চলক 0 হলে যেমন আছে, 1 হলে প্রাইম। সারি 000 → (A + B + C) = M0; সারি 100 → (A′ + B + C) = M4.

এই দুই মানক রূপের নাম SOP (Sum of Products — গুণফলের যোগফল) আর POS (Product of Sums — যোগফলের গুণফল)। যখন প্রতিটি পদে সব চলক থাকে, তাকে বলে canonical (প্রামাণ্য) রূপ; একটি truth table-এর canonical SOP একটিই, তাই দুটি রাশি সমান কি না দেখার আরেক উপায় — দুটির canonical রূপ মিলিয়ে দেখা।

৮ · আরও গভীরে: Karnaugh map — ছবিতে সরলীকরণ

সূত্র দিয়ে সরলীকরণে একটি সমস্যা: কোন সূত্র কখন লাগাবেন, সেটা অভিজ্ঞতা আর একটু ভাগ্যের ব্যাপার। ১৯৫৩ সালে Bell Labs-এর প্রকৌশলী Maurice Karnaugh একটি ছবিভিত্তিক পদ্ধতি দেন — Karnaugh map বা K-map. বুদ্ধিটা হলো truth table-কে এমন একটি ছকে সাজানো, যেখানে পাশাপাশি দুটি খোপের ইনপুট মাত্র একটি চলকে আলাদা। তখন পাশাপাশি দুটি 1 মানে X·Y + X·Y′ = X — সেই বদলানো চলকটি বাদ পড়ে যায়।

এজন্য কলামের শিরোনাম সাধারণ ক্রমে (00, 01, 10, 11) নয়, Gray code ক্রমে লেখা হয়: 00, 01, 11, 10 — পরপর দুটিতে একটি মাত্র bit বদলায়। আর ছকের ডান কিনারা বাম কিনারার “পাশে” ধরা হয় (10 থেকে 00-তেও একটি bit বদলায়), যেন ছকটি একটি নলের মতো গোল। নিচে কমিটির ভোটের ফাংশনটিই K-map-এ সরল করি:

K-map মানুষের চোখের জন্য দারুণ, কিন্তু ৫–৬ চলকের পর ছক আঁকা আর দল চেনা কঠিন হয়ে যায়। বড় সমস্যার জন্য আছে সারণিভিত্তিক Quine–McCluskey পদ্ধতি, যা কম্পিউটারে চালানো যায় — ভাবনার প্রশ্ন ৫-এ সেই গল্প। আর আজকের চিপ-নকশার সফটওয়্যার আরও উন্নত কৌশলে লাখ লাখ গেটের সার্কিট নিজেই সরল করে।

৯ · দৈনন্দিন কম্পিউটিংয়ে বুলিয়ান লজিক

বুলিয়ান অ্যালজেব্রা শুধু সার্কিট-নকশাকারীর বিষয় নয়। অফিসের কাজ থেকে প্রোগ্রামিং — প্রতিদিন এর দেখা পাবেন।

সার্চে — Google আর লাইব্রেরি ক্যাটালগ

লাইব্রেরির অনলাইন ক্যাটালগ আর গবেষণা-প্রবন্ধের ডেটাবেসে সরাসরি AND, OR, NOT লিখে খোঁজা যায়: "climate change" AND Bangladesh NOT India. Google-এ নিয়ম একটু আলাদা (পর্ব ১৩-এ দেখা search operator): শব্দগুলোর মাঝের ফাঁকা জায়গাই AND; OR লিখতে হয় বড় হাতের অক্ষরে; আর NOT-এর বদলে মাইনাস চিহ্ন। যেমন ধান চাষ (বন্যা OR খরা) -ভারত — বুলিয়ানে লিখলে P·(Q + R)·S′. আর ডি মরগানও কাজে লাগে: “না বন্যা, না খরা” খুঁজতে -বন্যা -খরা লেখা মানেই (Q + R)′ = Q′·R′.

Spreadsheet-এ — IF(AND())

পর্ব ১০-এ দেখা IF function-এর ভেতরে AND, OR, NOT বসানো যায়। শুরুর সেই পাসের উদাহরণ Excel বা Google Sheets-এ (B কলামে তত্ত্বীয়, C কলামে ব্যবহারিক নম্বর, পাস নম্বর ৩৩ ধরে):

=IF(AND(B2>=33, C2>=33), "পাস", "ফেল")
=IF(OR(D2="আইডি", D2="অতিথি পাস"), "ঢুকতে পারবেন", "দুঃখিত")
=IF(NOT(E2="DND"), "রিং বাজবে", "নীরব")

আর ডি মরগান দিয়ে একই সূত্র অন্যভাবে: “ফেল” মানে NOT(পাস) = NOT(AND(B, C)) = OR(NOT B, NOT C) — অর্থাৎ =IF(OR(B2<33, C2<33), "ফেল", "পাস"), একই ফল।

প্রোগ্রামিংয়ে — শর্ত

প্রতিটি প্রোগ্রামিং ভাষার if শর্ত আসলে একটি বুলিয়ান রাশি। C-তে (পর্ব ৩৯-এ শর্ত লিখবেন) if (age >= 18 && hasNID) মানে AND. প্রোগ্রামাররা প্রায়ই ডি মরগান লাগান একটি জটিল শর্তকে পড়তে সহজ করতে: !(x < 0 || x > 100) আর x >= 0 && x <= 100 একই কথা — “x ০ থেকে ১০০-এর মধ্যে”। দ্বিতীয়টি পড়া সহজ। একটি বাড়তি তথ্য: C আর JavaScript-এ &&-এর বাম পাশ 0 (মিথ্যা) পেলে ডান পাশ আর হিসাবই করে না, কারণ 0·যা-কিছু = 0 — একে বলে short-circuit evaluation.

সার্কিটে — সব কিছুর মূলে

আর অবশ্যই চিপ-নকশা। প্রতিটি বুলিয়ান রাশি সরাসরি একটি সার্কিট: প্রতিটি · একটি AND গেট, প্রতিটি + একটি OR গেট, প্রতিটি ′ একটি NOT গেট। গেটগুলো আবার তৈরি হয় transistor দিয়ে, যারা আসলে বিদ্যুৎ-চালিত সুইচ — একসময় এই কাজ করত relay. AB + AB′ + A′B-কে A + B করা মানে ছয়টি গেটের জায়গায় একটি — কোটি কপি বানানো চিপে এই সাশ্রয় বিশাল। গেটের প্রতীক, NAND-NOR আর universal gate দেখবেন পর্ব ২০-এ।

১০ · AI-এর যুগে — সরলীকরণ করাবেন, যাচাই করবেন নিজে

AI চ্যাটবটকে একটি বুলিয়ান রাশি দিলে সে মুহূর্তে ধাপে ধাপে সরলীকরণ লিখে দেয় — দেখতে একদম পাঠ্যবইয়ের মতো। সমস্যা হলো, মাঝের কোনো ধাপে সে কখনো কখনো এমন “সূত্র” লাগায় যা আসলে নেই, অথচ আত্মবিশ্বাসের সাথে নাম লিখে দেয়। শেষ উত্তর ভুল হলেও উপস্থাপনা নিখুঁত থাকে বলে চোখে পড়ে না।

AI-এর উত্তর হাতে পেলে — যাচাইয়ের চেকলিস্ট

• প্রতিটি ধাপের সূত্রটি অংশ ৪-এর তালিকায় আছে কি না মিলিয়েছি — নাম আছে কিন্তু সূত্র নেই, এমন কিছু পাইনি
• ডি মরগানের প্রতিটি প্রয়োগে + আর · বদলেছে এবং প্রতিটি চলক উল্টেছে
• মূল রাশি আর শেষ উত্তরের truth table নিজে (বা এই পর্বের টুলে) বানিয়ে প্রতিটি সারি মিলিয়েছি — AI-এর দেওয়া truth table-কেও অন্ধভাবে বিশ্বাস করিনি
• Σm-এর নম্বরগুলো truth table-এর 1-সারির সাথে মেলে, আর ΠM-এ ঠিক বাকি নম্বরগুলো আছে
• উত্তরটি সত্যিই আগের চেয়ে ছোট (কম পদ, কম চলক) — শুধু অন্য রকম দেখতে নয়