কনভোলিউশন — মূল অপারেশন

১ · কনভোলিউশন কী — একটি মুভিং ওয়েটেড সাম

M1-এ শেখা হয়েছিল একটি LTI সিস্টেমLinear Time-Invariant সিস্টেম — এমন একটি সিস্টেম যা লিনিয়ারিটি ও টাইম-ইনভ্যারিয়েন্স দুটো শর্তই পূরণ করে (L04-এ বিস্তারিত)। সম্পূর্ণভাবে তার ইমপালস রেসপন্সসিস্টেমে একটি একক ইউনিট-ইমপালস ইনপুট দিলে যে আউটপুট পাওয়া যায় — এই একটি সিকোয়েন্স দিয়েই একটি LTI সিস্টেমের সম্পূর্ণ আচরণ বর্ণনা করা সম্ভব। h[n] দিয়ে বর্ণনা করা যায়। প্রশ্ন হলো — যদি আমরা জানি একটি সিস্টেম একক ইমপালসে কীভাবে সাড়া দেয়, তাহলে সেই সিস্টেম যেকোনো ইনপুট সিগন্যাল x[n]-এ কীভাবে সাড়া দেবে তা কীভাবে বের করব? উত্তর হলো কনভোলিউশন:

এই সূত্রটিকে সবচেয়ে সহজভাবে বোঝা যায় একটি মুভিং ওয়েটেড সাম হিসেবে — প্রতিটি আউটপুট স্যাম্পল y[n] হলো ইনপুটের কিছু স্যাম্পলের একটি ওয়েটেড গড়, যেখানে ওয়েট আসে h থেকে, এবং কোন স্যাম্পলগুলো নেওয়া হচ্ছে তা পরিবর্তিত হয় n-এর সাথে সাথে (তাই "মুভিং")।

২ · প্রথম হাতে-গণনা করা উদাহরণ

ধরা যাক একটি খুবই সাধারণ ২-ট্যাপ স্মুথিং ফিল্টার — এর ইমপালস রেসপন্স h = [0.5, 0.5], অর্থাৎ প্রতিটি আউটপুট স্যাম্পল হলো বর্তমান ও তার ঠিক আগের ইনপুট স্যাম্পলের গড়। ইনপুট সিগন্যাল x = [1, 3, 2, 5, 4]। হাতে হিসেব করলে, y[0] = x[0]\cdot h[0] = 1 \times 0.5 = 0.5, আর y[1] = x[0]\cdot h[1] + x[1]\cdot h[0] = 1\times 0.5 + 3\times 0.5 = 2.0 — অর্থাৎ প্রতিটি পজিশনে h-এর দুটো ওয়েট ইনপুটের ওভারল্যাপিং স্যাম্পলগুলোর সাথে গুণ হয়ে যোগ হচ্ছে। নিচের কোড সেলে এই পুরো প্রক্রিয়াটি একটি নেস্টেড লুপ দিয়ে জেনুইনভাবে গণনা করা হয়েছে।

h = [0.5, 0.5]        # ইমপালস রেসপন্স -- বর্তমান ও আগের স্যাম্পলের গড় (২-ট্যাপ স্মুথিং ফিল্টার)
x = [1, 3, 2, 5, 4]   # ইনপুট সিগন্যাল

N = len(x) + len(h) - 1     # আউটপুটের দৈর্ঘ্য (L10-এ বিস্তারিত প্রমাণ)
y = [0.0] * N
for n in range(N):
    total = 0.0
    for k in range(len(x)):
        if 0 <= n - k < len(h):     # শুধু বৈধ (overlapping) k-এর জন্য যোগ করা হয়
            total += x[k] * h[n - k]
    y[n] = total

print("x =", x)
print("h =", h)
print()
print(f"{'n':>3} | {'y[n]':>6}")
for n in range(N):
    print(f"{n:>3} | {y[n]:>6.2f}")

৩ · কেন এটি DSP-এর "মূল অপারেশন"

পরবর্তী পাঠে (L10) আমরা কনভোলিউশনের ফলাফলের দৈর্ঘ্য কেন সবসময় len(x) + len(h) - 1 হয় তা প্রমাণ করব, এবং একটি সম্পূর্ণ, পুনঃব্যবহারযোগ্য convolve() ফাংশন লিখে আরেকটি উদাহরণে হাতে-গণনার সাথে মিলিয়ে যাচাই করব।