ডিসক্রিট কনভোলিউশন — হাতে গণনা

১ · কনভোলিউশন সাম — সাধারণ ইমপ্লিমেন্টেশন

L09-এ আমরা কনভোলিউশন সূত্র y[n] = \sum_k x[k]\,h[n-k] একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে হাতে প্রয়োগ করেছিলাম। এখন সেই একই যুক্তিকে একটি সাধারণ ফাংশনে রূপ দেওয়া যাক, যা যেকোনো দৈর্ঘ্যের দুটো সিকোয়েন্স x ও h-এর জন্য কাজ করবে। মূল আইডিয়া — প্রতিটি আউটপুট ইনডেক্স n-এর জন্য, ইনপুটের প্রতিটি সম্ভাব্য ইনডেক্স k নিয়ে চেক করা হয় যে n - k আসলেই h-এর একটি বৈধ ইনডেক্স কিনা (অর্থাৎ ফ্লিপ করা h-এর সাথে x[k]-এর "ওভারল্যাপ" আছে কিনা), থাকলে তবেই গুণ করে যোগ করা হয়।

২ · ফলাফলের দৈর্ঘ্য — কেন len(x) + len(h) - 1

ধরা যাক x-এর দৈর্ঘ্য M (ইনডেক্স 0 থেকে M-1) এবং h-এর দৈর্ঘ্য K (ইনডেক্স 0 থেকে K-1)। আউটপুট y[n]-এ অবদান থাকে শুধুমাত্র তখনই যখন k আর n-k দুটোই তাদের বৈধ সীমার মধ্যে থাকে। সবচেয়ে ছোট সম্ভাব্য n হলো 0 (যখন k=0, n-k=0), আর সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য n হলো (M-1) + (K-1) (যখন k=M-1, n-k=K-1)। তাই মোট বৈধ n-এর সংখ্যা হলো (M-1+K-1) - 0 + 1 = M + K - 1 — এটাই len(x) + len(h) - 1 নিয়মের পেছনের যুক্তি।

৩ · একটি নতুন উদাহরণ — কোড দিয়ে হাতে-গণনা যাচাই

এবার x = [1, 2, 3] আর h = [4, 5, 6] নিয়ে হাতে হিসেব করা যাক: y[1] = x[0]\cdot h[1] + x[1]\cdot h[0] = 1\times 5 + 2\times 4 = 5 + 8 = 13, এবং y[2] = x[0]\cdot h[2] + x[1]\cdot h[1] + x[2]\cdot h[0] = 1\times 6 + 2\times 5 + 3\times 4 = 6 + 10 + 12 = 28। নিচের কোড সেলে একটি সাধারণ convolve() ফাংশন লিখে এই একই মান কোড থেকে সত্যিকারভাবে গণনা করে মিলিয়ে দেখানো হয়েছে।

def convolve(x, h):
    """সাধারণ ডিসক্রিট কনভোলিউশন -- নেস্টেড লুপ দিয়ে y[n] = sum_k x[k]*h[n-k]"""
    N = len(x) + len(h) - 1
    y = [0.0] * N
    for n in range(N):
        total = 0.0
        for k in range(len(x)):
            if 0 <= n - k < len(h):
                total += x[k] * h[n - k]
        y[n] = total
    return y

x = [1, 2, 3]
h = [4, 5, 6]
y = convolve(x, h)

print("x =", x, " len(x) =", len(x))
print("h =", h, " len(h) =", len(h))
print("y = x * h =", y)
print("len(y) =", len(y), " expected len(x)+len(h)-1 =", len(x) + len(h) - 1)

print()
print(f"{'n':>3} | {'y[n]':>6}")
for n, val in enumerate(y):
    print(f"{n:>3} | {val:>6.1f}")

# হাতে-গণনার সাথে সরাসরি মিলিয়ে দেখা
manual_y1 = x[0]*h[1] + x[1]*h[0]
manual_y2 = x[0]*h[2] + x[1]*h[1] + x[2]*h[0]
print()
print("manual y[1] = x[0]*h[1] + x[1]*h[0] =", manual_y1, " code y[1] =", y[1])
print("manual y[2] = x[0]*h[2] + x[1]*h[1] + x[2]*h[0] =", manual_y2, " code y[2] =", y[2])