জিরো-প্যাডিং ও ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন

১ · জিরো-প্যাডিং কী

জিরো-প্যাডিংZero-PaddingDFT নেওয়ার আগে একটি সিগন্যালের শেষে কৃত্রিম শূন্য মান যোগ করে তার দৈর্ঘ্য বাড়ানো — স্পেকট্রামে বেশি বিন দেয়, কিন্তু নতুন তথ্য যোগ করে না। মানে সহজ — একটি $N$-স্যাম্পলের সিগন্যালের শেষে কিছু শূন্য যোগ করে এটিকে $N_\text{pad}$ দৈর্ঘ্যে (যেমন $N_\text{pad} = 2N$ বা $4N$) বাড়ানো, তারপর সেই দীর্ঘ সিগন্যালের উপর DFT নেওয়া। যেহেতু বিন রেজোলিউশন $f_s/N_\text{pad}$, বড় $N_\text{pad}$ মানে ছোট বিন-ব্যবধান — অর্থাৎ স্পেকট্রামে বেশি, ঘনতর পয়েন্ট।

কিন্তু এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ, প্রায়ই ভুল বোঝা বিষয় আছে — জিরো-প্যাডিং সিগন্যালে কোনো নতুন তথ্য যোগ করে না (শূন্য মানে "কোনো তথ্য নেই")। তাই যদিও স্পেকট্রামে বেশি পয়েন্ট দেখা যায়, সেই অতিরিক্ত পয়েন্টগুলো আসলে একই অন্তর্নিহিত (কম-রেজোলিউশনের) DTFT বক্ররেখার উপর শুধু বেশি নমুনা — নতুন কোনো বিস্তারিত তথ্য প্রকাশ করে না।

২ · একটি সত্যিকারের ব্যর্থতা — জিরো-প্যাডিং দিয়ে রেজোলিউশন বাড়ে না

নিচের কোডে দুটো কাছাকাছি ফ্রিকোয়েন্সি — $6$ Hz ও $7$ Hz (মাত্র $1$ Hz ব্যবধান) — মিশিয়ে একটি সিগন্যাল তৈরি করা হয়েছে, $f_s=32$ Hz-এ মাত্র $N=16$টি প্রকৃত স্যাম্পল নিয়ে (সময়কাল $T=16/32=0.5$ সেকেন্ড, তাই মোটামুটি রেজোলিউশন $1/T=2$ Hz — যা $1$ Hz ব্যবধানের চেয়ে বেশি, তাই তাত্ত্বিকভাবেই আলাদা করা কঠিন)।

import cmath, math

fs = 32.0
f1, f2 = 6.0, 7.0  # মাত্র ১ Hz ব্যবধানে দুটো কাছাকাছি ফ্রিকোয়েন্সি

def dft(x):
    N = len(x)
    return [sum(x[n] * cmath.exp(-2j * math.pi * k * n / N) for n in range(N)) for k in range(N)]

def signal(N):
    return [math.sin(2*math.pi*f1*n/fs) + math.sin(2*math.pi*f2*n/fs) for n in range(N)]

def zero_pad(x, N_pad):
    return x + [0.0] * (N_pad - len(x))

N_short = 16
x_short = signal(N_short)
print(f"শুধু {N_short}টি প্রকৃত স্যাম্পল, সময়কাল={N_short/fs}s")

for N_pad in [16, 32, 64, 128]:
    xp = zero_pad(x_short, N_pad)
    Xp = dft(xp)
    magp = [abs(v) for v in Xp]
    print(f"\nজিরো-প্যাড N={N_pad} (বিন ব্যবধান {fs/N_pad:.3f} Hz), এখনও {N_short}টি প্রকৃত স্যাম্পল:")
    lo, hi = int(4*N_pad/fs), int(10*N_pad/fs)
    for k in range(lo, hi+1, max(1, (hi-lo)//8)):
        print(f"  freq={k*fs/N_pad:6.2f} Hz  |X[k]|={magp[k]:7.3f}")

৩ · প্রকৃত সমাধান — বেশি প্রকৃত স্যাম্পল

এবার একই দুটো ফ্রিকোয়েন্সি ($6$ Hz, $7$ Hz) নিয়ে, কিন্তু জিরো যোগ না করে সত্যিই $N=64$টি প্রকৃত স্যাম্পল নেওয়া যাক (সময়কাল $64/32=2.0$ সেকেন্ড, রেজোলিউশন $1/T=0.5$ Hz — যা $1$ Hz ব্যবধানের চেয়ে ভালো/সূক্ষ্ম)।

# উপরের কোষের fs, dft(), signal() ব্যবহার করে --
N_long = 64
x_long = signal(N_long)
print(f"এবার {N_long}টি প্রকৃত স্যাম্পল, সময়কাল={N_long/fs}s, বিন ব্যবধান {fs/N_long} Hz")

X_long = dft(x_long)
mag_long = [abs(v) for v in X_long]

lo, hi = int(4*N_long/fs), int(10*N_long/fs)
print(f"{'freq (Hz)':>9} | {'|X[k]|':>8}")
for k in range(lo, hi+1):
    print(f"{k*fs/N_long:9.2f} | {mag_long[k]:8.3f}")