ডিজিটাল ফিল্টার কী — FIR বনাম IIR

১ · ডিজিটাল ফিল্টার আসলে কী

M3-এ (L12) আমরা দেখেছি একটি ডিফারেন্স ইকুয়েশনএকটি সমীকরণ যা আউটপুট সিগন্যালের প্রতিটি নমুনা কীভাবে ইনপুট (এবং সম্ভবত অতীত আউটপুট) নমুনা থেকে গণনা করা হয় তা বর্ণনা করে। কীভাবে একটি সিস্টেমের আচরণ সম্পূর্ণভাবে বর্ণনা করে। একটি ডিজিটাল ফিল্টার মূলত এমনই একটি LTI সিস্টেম (M1/L04-এ সংজ্ঞায়িত), যা ইচ্ছাকৃতভাবে ডিজাইন করা হয়েছে যাতে ফ্রিকোয়েন্সি-ডোমেইনে (M5-M6-এ বিস্তারিত) নির্দিষ্ট আচরণ দেখায় — যেমন নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি রেখে উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি কমানো (লো-পাস), বা উল্টোটা (হাই-পাস)। সব ডিজিটাল ফিল্টারকে দুটি বড় শ্রেণীতে ভাগ করা যায় — এদের ইমপালস রেসপন্সের (M3/L12-এ সংজ্ঞায়িত, একক ইমপালস ইনপুট দিলে যে আউটপুট পাওয়া যায়) আচরণ অনুযায়ী।

২ · FIR — Finite Impulse Response

একটি FIR ফিল্টারের আউটপুট শুধুমাত্র বর্তমান ও সসীম সংখ্যক অতীত ইনপুট নমুনার ওয়েটেড যোগফল:

$$y[n] = \sum_{k=0}^{M-1} h[k]\,x[n-k]$$

এখানে h[0], h[1], ..., h[M-1] কে ফিল্টার ট্যাপ বা কোয়েফিসিয়েন্ট বলা হয়, আর M হলো ফিল্টারের অর্ডার/দৈর্ঘ্য। লক্ষ্য করুন — এই সমীকরণটি ঠিক M3/L10-এর কনভোলিউশন সমষ্টির মতোই দেখতে, কারণ একটি FIR ফিল্টার প্রয়োগ করা মানেই ইনপুট সিগন্যালকে ফিল্টারের ইমপালস রেসপন্সের সাথে কনভোলভ করা — এই সংযোগটি L31-এ ব্যবহার করা হবে। যেহেতু এখানে কোনো ফিডব্যাক (আউটপুটের উপর নির্ভরতা) নেই, তাই একটি একক ইমপালস ইনপুট দিলে আউটপুট ঠিক M নমুনা পরে শূন্যে নেমে যায় — এই কারণেই নাম "ফাইনাইট (সসীম) ইমপালস রেসপন্স"।

৩ · IIR — Infinite Impulse Response

একটি IIR ফিল্টার আউটপুটকে নিজের অতীত মানের উপরও নির্ভরশীল করে — অর্থাৎ এতে ফিডব্যাক থাকে:

$$y[n] = \sum_{k=0}^{P} b_k\,x[n-k] \;-\; \sum_{k=1}^{Q} a_k\,y[n-k]$$

দ্বিতীয় যোগফলটিই (অতীত আউটপুট y[n-k]-এর উপর নির্ভরতা) IIR ফিল্টারকে FIR থেকে আলাদা করে। এই রিকার্সিভ (self-referencing) কাঠামোর কারণে, একটি একক ইমপালস দিলেও আউটপুট তাত্ত্বিকভাবে কখনো ঠিক শূন্য হয় না — এটি চিরকাল (হ্রাসমান হারে, যদি সিস্টেম স্ট্যাবল হয়) চলতে থাকে। M4/L18-এ শেখা পোল-জিরো বিশ্লেষণ এখানে সরাসরি কাজে আসে — একটি IIR ফিল্টার BIBO স্ট্যাবল হবে কেবল যদি তার সবগুলো পোলের মান (abs(pole)) ইউনিট সার্কেলের ভেতরে থাকে (M4/L13, L18-এ প্রমাণসহ)। একটি FIR ফিল্টারের কোনো ফিডব্যাক না থাকায় তার কোনো পোলই নেই (শুধু জিরো) — তাই এটি সবসময় স্বয়ংক্রিয়ভাবে BIBO স্ট্যাবল, এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারিক সুবিধা যা M8-এ IIR-এর সাথে তুলনা করার সময় বারবার আসবে।

৪ · কোড দিয়ে যাচাই — দুই ধরনের ইমপালস রেসপন্স

নিচে একটি ৫-ট্যাপ মুভিং-এভারেজ FIR ফিল্টার (h[k] = 0.2 প্রতিটি ট্যাপে, k=0..4) এবং একটি সাধারণ প্রথম-অর্ডার IIR ফিল্টার (y[n] = 0.5·y[n-1] + x[n]) — দুটোতেই একটি একক ইমপালস ইনপুট দিয়ে তাদের প্রকৃত কম্পিউটেড ইমপালস রেসপন্স দেখা যাক।

import math

# ---- FIR: 5-ট্যাপ মুভিং-এভারেজ ফিল্টার ----
h_fir = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]   # 5 taps, প্রতিটি 1/5

def convolve(x, h):
    ny = len(x) + len(h) - 1
    y = [0.0] * ny
    for n in range(ny):
        s = 0.0
        for k in range(len(h)):
            if 0 <= n - k < len(x):
                s += h[k] * x[n - k]
        y[n] = s
    return y

impulse = [1.0] + [0.0] * 14   # একক ইমপালস, 15 নমুনা লম্বা
fir_response = convolve(impulse, h_fir)

# ---- IIR: y[n] = 0.5*y[n-1] + x[n] ----
a = 0.5
N = 15
x_iir = [1.0] + [0.0] * (N - 1)
y_iir = [0.0] * N
for n in range(N):
    y_prev = y_iir[n - 1] if n > 0 else 0.0
    y_iir[n] = a * y_prev + x_iir[n]

print(f"{'n':>3} | {'FIR h[n]':>10} | {'IIR y[n]':>14}")
for n in range(15):
    print(f"{n:>3} | {fir_response[n]:>10.6f} | {y_iir[n]:>14.10f}")

nonzero_fir = sum(1 for v in fir_response if abs(v) > 1e-15)
print()
print(f"FIR-এর নন-জিরো ট্যাপ সংখ্যা: {nonzero_fir}  (মোট দৈর্ঘ্য {len(fir_response)})")
print(f"IIR-এর n=14-এ মান: {y_iir[14]}  (ঠিক শূন্য? {y_iir[14] == 0.0})")