FFT-এর প্রয়োগ — বাস্তবে স্পেকট্রাল অ্যানালাইসিস

১ · একটি বাস্তবসম্মত সিন্থেটিক টেস্ট সিগন্যাল

এখন পর্যন্ত (L27-L28) আমরা পরিষ্কার, নয়েজবিহীন সিগন্যালে FFT পরীক্ষা করেছি। বাস্তবে সিগন্যাল প্রায় কখনোই এত পরিষ্কার হয় না — সেন্সর নয়েজ, ইলেকট্রনিক নয়েজ ইত্যাদি সবসময় কিছুটা এলোমেলো উপাদান যোগ করে। নিচে আমরা N = 128 স্যাম্পল, fs = 128 Hz স্যাম্পল রেটে একটি সিগন্যাল বানাচ্ছি যেখানে দুটি সত্যিকারের ফ্রিকোয়েন্সি উপাদান আছে (f₁ = 10 Hz, অ্যামপ্লিটিউড ১.০; আর f₂ = 30 Hz, অ্যামপ্লিটিউড ০.৬) — প্লাস random.gauss(0, 0.3) দিয়ে যোগ করা নয়েজ (একটি fixed seed = 42 দিয়ে, যাতে ফলাফল প্রতিবার একই হয়, M11-এ বিস্তারিত আলোচিত র‍্যান্ডম-সিগন্যাল কনভেনশন অনুসরণ করে)।

২ · FFT দিয়ে স্পেকট্রাম বের করা

নিচের কোডে L28-এর iterative_fft ফাংশনটি পুনরায় লেখা হয়েছে (এই পাঠকে স্বয়ংসম্পূর্ণ রাখতে), তারপর সিগন্যাল বানিয়ে FFT চালিয়ে সিঙ্গল-সাইডেড ম্যাগনিটিউড স্পেকট্রাম (|X[k]|/N × 2, যাতে ম্যাগনিটিউড সরাসরি প্রকৃত অ্যামপ্লিটিউডের সাথে তুলনীয় হয়) বের করা হয়েছে:

import cmath, math, random

def bit_reverse_indices(N):
    bits = N.bit_length() - 1
    order = []
    for i in range(N):
        rev = 0
        v = i
        for _ in range(bits):
            rev = (rev << 1) | (v & 1)
            v >>= 1
        order.append(rev)
    return order

def iterative_fft(x):
    N = len(x)
    order = bit_reverse_indices(N)
    X = [x[order[i]] for i in range(N)]
    size = 2
    while size <= N:
        half = size // 2
        twiddles = [cmath.exp(-2j * math.pi * j / size) for j in range(half)]
        for start in range(0, N, size):
            for j in range(half):
                w = twiddles[j]
                even_part = X[start + j]
                odd_part = X[start + j + half] * w
                X[start + j] = even_part + odd_part
                X[start + j + half] = even_part - odd_part
        size *= 2
    return X

random.seed(42)
N = 128
fs = 128.0
f1, a1 = 10.0, 1.0
f2, a2 = 30.0, 0.6
noise_sigma = 0.3

x = [a1 * math.sin(2 * math.pi * f1 * n / fs) + a2 * math.sin(2 * math.pi * f2 * n / fs)
     + random.gauss(0, noise_sigma) for n in range(N)]

X = iterative_fft(x)
mag = [abs(X[k]) / N * 2 for k in range(N // 2)]

print(f"{'বিন k':>6} | {'ফ্রিকোয়েন্সি (Hz)':>16} | {'ম্যাগনিটিউড':>10}")
for k in range(0, N // 2):
    freq = k * fs / N
    if k < 3 or (7 <= k <= 13) or (27 <= k <= 33) or k in (40, 50, 60):
        print(f"{k:>6} | {freq:>16.2f} | {mag[k]:>10.4f}")

৩ · জেনুইন পিক-ফাইন্ডিং

চোখে দেখে "ওই দুটো বিন বড়" বলাটা মানুষের জন্য সহজ, কিন্তু একটি বাস্তব সিস্টেমকে এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে করতে হয়। নিচের কোড একটি সহজ কিন্তু বৈধ পিক-ফাইন্ডিং নিয়ম প্রয়োগ করে: একটি বিন তখনই "পিক" যদি তার ম্যাগনিটিউড তার দুই পাশের প্রতিবেশীর চেয়ে বেশি হয় (লোকাল ম্যাক্সিমা) এবং একটি থ্রেশহোল্ড (0.15, নয়েজ-বিনগুলোর সর্বোচ্চ মান ~০.০৮-এর প্রায় দ্বিগুণ, যাতে নয়েজকে ভুলবশত পিক না ধরা হয়) ছাড়িয়ে যায়:

threshold = 0.15
peaks = []
for k in range(1, N // 2 - 1):
    if mag[k] > mag[k - 1] and mag[k] > mag[k + 1] and mag[k] > threshold:
        peaks.append((k, k * fs / N, mag[k]))

print("শনাক্ত হওয়া পিক (bin, freq Hz, magnitude):")
for p in peaks:
    print(p)

top2 = sorted(peaks, key=lambda p: -p[2])[:2]
top2_by_freq = sorted(top2, key=lambda p: p[1])
recovered = [f for _, f, _ in top2_by_freq]

print()
print(f"প্রকৃত ফ্রিকোয়েন্সি: {f1} Hz, {f2} Hz")
print(f"ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন fs/N = {fs/N} Hz")
print(f"পুনরুদ্ধার করা ফ্রিকোয়েন্সি: {recovered}")
print(f"ত্রুটি: {[abs(recovered[i] - [f1, f2][i]) for i in range(len(recovered))]}")

৪ · সীমাবদ্ধতা ও বাস্তব প্রয়োগ

এই ডেমোর নির্ভুলতা (শূন্য ত্রুটি) আংশিকভাবে সৌভাগ্যবশত — কারণ ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন যথাযথভাবে বেছে নেওয়া হয়েছিল। বাস্তব প্রয়োগে ফ্রিকোয়েন্সি সবসময় বিন-কেন্দ্রের ওপর পড়বে না, তাই M5/L25-এর zero-padding (বিন ঘনত্ব বাড়ায়, কিন্তু সত্যিকারের রেজোলিউশন বাড়ায় না) আর L24-এর windowing (স্পেকট্রাল লিকেজ কমায়) একসাথে ব্যবহার করা হয় নির্ভুলতা বাড়াতে। এই ধরনের FFT-ভিত্তিক পিক-ফাইন্ডিং বাস্তবে অনেক জায়গায় ব্যবহৃত হয় — মিউজিক টিউনার (একটি বাজানো সুরের পিচ শনাক্ত করা), স্পেকট্রাম অ্যানালাইজার, অডিও ইকুয়ালাইজার (কোন ফ্রিকোয়েন্সি বেশি/কম আছে তা দেখে সমন্বয় করা), এমনকি কম্পন-বিশ্লেষণ (যন্ত্রের কোনো অংশ ভুল ফ্রিকোয়েন্সিতে কাঁপছে কিনা তা শনাক্ত করা)। M10-এ আমরা এই একই কৌশল আরও এগিয়ে নিয়ে যাব — STFT (L45) দিয়ে সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত স্পেকট্রাম দেখা, আর পাওয়ার স্পেকট্রাল ডেনসিটি (L44) দিয়ে নয়েজ ফ্লোরের উপরে সিগন্যাল কতটা স্পষ্ট তা পরিমাপ করা।