অ্যানালগ প্রোটোটাইপ ফিল্টার — চেবিশেভ ও এলিপটিক

১ · রিপল-বনাম-শার্পনেস ট্রেড-অফ

L36-এ দেখা হয়েছে Butterworth-এর ম্যাগনিচিউড রেসপন্স $\omega=0$ থেকে একঘেয়েভাবে (কোনো ওঠানামা ছাড়া) হ্রাস পায় — এটাই এর "maximally flat" বৈশিষ্ট্য। কিন্তু এই মসৃণতার একটি মূল্য আছে — একই অর্ডারে Butterworth-এর পাসব্যান্ড থেকে স্টপব্যান্ডে যাওয়ার ট্রানজিশন ব্যান্ড তুলনামূলকভাবে চওড়া। যদি আমরা কিছু পরিমাণ রিপলRippleফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্সের ম্যাগনিচিউডে ছোট, নিয়ন্ত্রিত ওঠানামা (দোলন) — একঘেয়ে (monotonic) না হয়ে পাসব্যান্ড বা স্টপব্যান্ডে মান বারবার সামান্য বাড়ে-কমে। (নিয়ন্ত্রিত ওঠানামা) গ্রহণ করতে রাজি হই, একই অর্ডারে অনেক শার্পার ট্রানজিশন পাওয়া সম্ভব — এটাই এই পাঠের মূল বিন্দু, এবং এটি ক্লাসিক্যাল ফিল্টার তত্ত্বের একটি সুপ্রতিষ্ঠিত, প্রমিত ট্রেড-অফ।

২ · Chebyshev টাইপ-I-এর সূত্র ও সত্যিকারের তুলনা

Chebyshev টাইপ-I ফিল্টারের ম্যাগনিচিউড রেসপন্স একটি সুপরিচিত ক্লোজড-ফর্ম সূত্র দিয়ে দেওয়া হয়, যেখানে $T_N(\omega)$ হলো $N$-তম-অর্ডারের চেবিশেভ পলিনোমিয়াল (একটি প্রমিত গাণিতিক ফাংশন) এবং $\varepsilon$ রিপলের পরিমাণ নিয়ন্ত্রণ করে:

$$|H(j\omega)|^2 = \frac{1}{1+\varepsilon^2\,T_N^2(\omega)}$$

চেবিশেভ পলিনোমিয়াল নিজেই একটি সুপরিচিত রিকারেন্স/ক্লোজড-ফর্ম দিয়ে সংজ্ঞায়িত — $|\omega|\le 1$-এর জন্য $T_N(\omega) = \cos(N\arccos\omega)$, আর $|\omega|>1$-এর জন্য $T_N(\omega) = \cosh(N\,\text{arccosh}\,\omega)$। এই সূত্রটি genuinely কম্পিউট করা সম্ভব — কোনো ফ্যাব্রিকেটেড টেবিল নয়, বরং $N=2$, $\varepsilon=0.5$ নিয়ে Butterworth-এর সাথে পাশাপাশি রাখা যাক:

import math

def chebyshev_T(N, w):
    # প্রমিত চেবিশেভ পলিনোমিয়াল সূত্র
    if abs(w) <= 1:
        return math.cos(N * math.acos(w))
    else:
        return math.cosh(N * math.acosh(w))

N = 2
eps = 0.5   # রিপল ফ্যাক্টর
ripple_db = 10 * math.log10(1 + eps ** 2)
print(f"eps = {eps},  পাসব্যান্ড রিপল = {ripple_db:.4f} dB")
print()
print(f"{'omega':>6} | {'Butterworth |H|':>16} | {'Chebyshev-I |H|':>16}")
for w in [0.0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0]:
    H_butter = math.sqrt(1 / (1 + w ** (2 * N)))
    T = chebyshev_T(N, w)
    H_cheb = math.sqrt(1 / (1 + eps ** 2 * T ** 2))
    print(f"{w:>6.2f} | {H_butter:>16.6f} | {H_cheb:>16.6f}")

৩ · Elliptic (Cauer) ফিল্টার — সংক্ষেপে

Elliptic ফিল্টার Chebyshev-এর দুটি টাইপকে একসাথে মিশিয়ে দেয় — পাসব্যান্ড আর স্টপব্যান্ড, দুটোতেই নিয়ন্ত্রিত রিপল গ্রহণ করে। এর ডিজাইন সূত্রে Jacobi elliptic ফাংশন জড়িত থাকে — এটি চেবিশেভ পলিনোমিয়ালের মতো সরল math/cmath ফাংশন দিয়ে সরাসরি কম্পিউট করার মতো নয় (স্ট্যান্ডার্ড লাইব্রেরিতে এই বিশেষ ফাংশন নেই), তাই এই পাঠে আমরা এর সংখ্যাগত মান ফ্যাব্রিকেট না করে শুধু ধারণাগতভাবে ব্যাখ্যা করছি — এটি একটি সুপ্রতিষ্ঠিত, প্রমিত টেক্সটবুক তথ্য যে একই অর্ডারের জন্য Elliptic ফিল্টার চারটি ক্লাসিক্যাল প্রোটোটাইপের মধ্যে সবচেয়ে শার্প ট্রানজিশন ব্যান্ড দেয়, কারণ এটি একসাথে দুই দিকেই রিপলের "বাজেট" ব্যবহার করে।