বাইলিনিয়ার ট্রান্সফর্ম — অ্যানালগ-টু-ডিজিটাল ফিল্টার কনভার্সন

১ · সাবস্টিটিউশন সূত্র

বাইলিনিয়ার ট্রান্সফর্মBilinear transformএকটি সুপরিচিত গাণিতিক ম্যাপিং যা s-ডোমেইনের ইমাজিনারি অক্ষকে z-ডোমেইনের একক বৃত্তে ম্যাপ করে, ফলে একটি স্থিতিশীল অ্যানালগ ফিল্টার সবসময় একটি স্থিতিশীল ডিজিটাল ফিল্টারে রূপান্তরিত হয়। হলো একটি অ্যানালগ ট্রান্সফার ফাংশন $H(s)$-কে ডিজিটাল $H(z)$-এ রূপান্তরের সবচেয়ে বহুল-ব্যবহৃত, প্রমাণিত পদ্ধতি। এর সাবস্টিটিউশন সূত্র:

$$s = \frac{2}{T}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

এখানে $T$ হলো স্যাম্পলিং পিরিয়ড। এই ম্যাপিংয়ের একটি সুপ্রতিষ্ঠিত, গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো — এটি সম্পূর্ণ $s$-প্লেনের বাম অর্ধকে (স্থিতিশীল অঞ্চল) $z$-প্লেনের একক বৃত্তের ভেতরে ম্যাপ করে — মানে একটি স্থিতিশীল অ্যানালগ প্রোটোটাইপ (L36-L37, যার সব পোল বাম অর্ধ-প্লেনে) বাইলিনিয়ার ট্রান্সফর্মের পর সবসময় স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি স্থিতিশীল ডিজিটাল ফিল্টারে (সব পোল একক বৃত্তের ভেতরে, L13-এর BIBO শর্ত) পরিণত হয়।

২ · হাতে-কলমে ডেরিভেশন — $H(s) = 1/(s+1)$

একটি সহজ প্রথম-অর্ডার অ্যানালগ লো-পাস ফিল্টার নেওয়া যাক: $H(s) = \dfrac{1}{s+1}$। উপরের সাবস্টিটিউশন সরাসরি বসিয়ে ডিজিটাল $H(z)$ ডেরাইভ করা যাক। ধরা যাক $K = 2/T$:

$$H(z) = \frac{1}{\dfrac{2}{T}\cdot\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} + 1} = \frac{1+z^{-1}}{K(1-z^{-1}) + (1+z^{-1})} = \frac{1+z^{-1}}{(K+1) + (1-K)z^{-1}}$$

$(K+1)$ দিয়ে লব ও হর উভয়কে ভাগ করলে প্রমিত রূপ পাওয়া যায়:

$$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1}}{1 + a_1 z^{-1}}, \qquad b_0 = b_1 = \frac{1}{K+1}, \quad a_1 = \frac{1-K}{K+1}$$

যা সরাসরি একটি ডিফারেন্স ইকুয়েশনে রূপান্তরিত হয়: $y[n] = b_0\,x[n] + b_1\,x[n-1] - a_1\,y[n-1]$। নিচের কোড সেলে $T=1$ (তাই $K=2$) নিয়ে এই কোয়েফিশিয়েন্ট সত্যিকারের কম্পিউট করা হয়েছে।

import cmath, math

T = 1.0
K = 2 / T   # = 2.0

# হাতে-কলমে ডেরাইভ করা কোয়েফিশিয়েন্ট
b0 = 1 / (K + 1)
b1 = 1 / (K + 1)
a1 = (1 - K) / (K + 1)

print(f"K = 2/T = {K}")
print(f"b0 = {b0:.6f},  b1 = {b1:.6f},  a1 = {a1:.6f}")
print(f"ডিফারেন্স ইকুয়েশন: y[n] = {b0:.4f}*x[n] + {b1:.4f}*x[n-1] + {-a1:.4f}*y[n-1]")

৩ · যাচাই — এবং ফ্রিকোয়েন্সি-ওয়ার্পিং

এখন যাচাই করা যাক এই রূপান্তর কতটা "সঠিক" — অ্যানালগ $H(s)$ কে $s=j\omega$-তে (সরাসরি 1j*omega বসিয়ে) আর ডিজিটাল $H(z)$ কে সংশ্লিষ্ট ডিজিটাল ফ্রিকোয়েন্সিতে ($z = e^{j\omega T}$, cmath.exp দিয়ে) মূল্যায়ন করে পাশাপাশি রাখা যাক:

def H_analog(omega):
    s = 1j * omega
    return 1 / (s + 1)

def H_digital(omega, T):
    z = cmath.exp(1j * omega * T)
    num = b0 + b1 * z ** -1
    den = 1 + a1 * z ** -1
    return num / den

print(f"{'omega':>8} | {'|H_analog|':>10} | {'|H_digital|':>11} | {'পার্থক্য':>10}")
for omega in [0.01, 0.1, 0.3, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0]:
    Ha = abs(H_analog(omega))
    Hd = abs(H_digital(omega, T))
    print(f"{omega:>8.4f} | {Ha:>10.6f} | {Hd:>11.6f} | {abs(Ha - Hd):>10.6f}")

সবশেষে, ডেরাইভ করা ডিফারেন্স ইকুয়েশনটি একটি সরাসরি সিমুলেশনে (স্যাম্পল-বাই-স্যাম্পল) প্রয়োগ করে দেখা যাক এর স্টেডি-স্টেট আউটপুট $H(z)$ সূত্রের পূর্বাভাসের সাথে মেলে কিনা — একটি genuine ক্রস-চেক:

omega_test = 0.3
N = 200
x = [math.cos(omega_test * n) for n in range(N)]

y = [0.0] * N
for n in range(N):
    xn1 = x[n - 1] if n - 1 >= 0 else 0.0
    yn1 = y[n - 1] if n - 1 >= 0 else 0.0
    y[n] = b0 * x[n] + b1 * xn1 - a1 * yn1

steady = y[100:]                       # ট্রানজিয়েন্ট বাদ দিয়ে স্টেডি-স্টেট অংশ
amp_est = (max(steady) - min(steady)) / 2

print(f"H_digital সূত্র থেকে পূর্বাভাসিত |H(omega=0.3)| = {abs(H_digital(omega_test, T)):.6f}")
print(f"সরাসরি সিমুলেশন থেকে স্টেডি-স্টেট আউটপুট অ্যামপ্লিটিউড = {amp_est:.6f}")