IIR ফিল্টার ইমপ্লিমেন্টেশন — ডাইরেক্ট ফর্ম I ও II

১ · একই ফিল্টার, দুই স্ট্রাকচার

একটি সাধারণ ২য়-অর্ডার IIR ফিল্টারের ডিফারেন্স ইকুয়েশন:

$$y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] - a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2]$$

এই একই সমীকরণ গণনা করার একাধিক উপায় আছে — কোয়েফিশিয়েন্ট বা ফলাফল বদলায় না, শুধু কীভাবে মধ্যবর্তী মানগুলো সংরক্ষণ করা হয় তা বদলায়। এই বিভিন্ন বিন্যাসকে বলা হয় স্ট্রাকচারStructure (realization)একই ট্রান্সফার ফাংশনের একাধিক সমতুল্য বাস্তবায়ন-বিন্যাস, যেগুলোর গাণিতিক আউটপুট অভিন্ন কিন্তু মেমোরি/কম্পিউটেশন ব্যবহারের ধরন ভিন্ন। বা realization। M4/L18-এর ট্রান্সফার ফাংশন একই থাকলেও, বাস্তব হার্ডওয়্যার বা কোডে এটি বাস্তবায়নের ধরন কর্মক্ষমতা (মেমোরি, নির্ভুলতা) প্রভাবিত করতে পারে।

২ · Direct Form I

Direct Form I সরাসরি উপরের সমীকরণ অনুসরণ করে — ইনপুট ইতিহাস ($x[n-1], x[n-2]$) এবং আউটপুট ইতিহাস ($y[n-1], y[n-2]$) সম্পূর্ণ আলাদাভাবে সংরক্ষণ করা হয়। মোট $4$টি মেমোরি রেজিস্টার লাগে (একটি ২য়-অর্ডার ফিল্টারে)।

৩ · Direct Form II

Direct Form II একটি একক মধ্যবর্তী রাশি $w[n]$ ব্যবহার করে — প্রথমে ফিডব্যাক অংশ প্রয়োগ করে $w[n]$ পাওয়া যায়, তারপর ফিডফরওয়ার্ড অংশ প্রয়োগ করে $y[n]$:

$$w[n] = x[n] - a_1 w[n-1] - a_2 w[n-2]$$ $$y[n] = b_0 w[n] + b_1 w[n-1] + b_2 w[n-2]$$

এখানে শুধু $w[n-1], w[n-2]$ — মোট $2$টি মেমোরি রেজিস্টার — সংরক্ষণ করলেই চলে, কারণ $x$ এবং $y$-এর জন্য আলাদা ডিলে-লাইনের দরকার নেই; দুটোই একই $w$-ডিলে-লাইন থেকে গণনা হয়। একটি $N$-অর্ডার ফিল্টারের জন্য সাধারণ নিয়ম: Direct Form I-এ $2N$টি রেজিস্টার লাগে, Direct Form II-এ মাত্র $N$টি — ঠিক অর্ধেক।

নিচের কোড সেলে একটি স্থিতিশীল ২য়-অর্ডার IIR ফিল্টার (কোয়েফিশিয়েন্ট $b_0=0.2, b_1=0.3, b_2=0.1$, $a_1=-0.6, a_2=0.25$) দুটি স্ট্রাকচারেই সম্পূর্ণ স্বতন্ত্রভাবে বাস্তবায়ন করে একই টেস্ট সিগন্যালে প্রয়োগ করা হয়েছে। প্রথমে পোল কম্পিউট করে স্থিতিশীলতা যাচাই করা হয়েছে (L13, L18-এর পদ্ধতি অনুসরণ করে):

import math, cmath

b0, b1, b2 = 0.2, 0.3, 0.1
a1, a2 = -0.6, 0.25

# পোল যাচাই: z^2 + a1*z + a2 = 0
disc = a1 ** 2 - 4 * a2
if disc >= 0:
    r1 = (-a1 + math.sqrt(disc)) / 2
    r2 = (-a1 - math.sqrt(disc)) / 2
else:
    r1 = (-a1 + cmath.sqrt(disc)) / 2
    r2 = (-a1 - cmath.sqrt(disc)) / 2
print(f"পোল: {r1}, {r2}   |r1|={abs(r1):.4f}  |r2|={abs(r2):.4f}")

N = 30
x = [math.sin(2 * math.pi * 5 * n / 50) + 0.3 * math.sin(2 * math.pi * 15 * n / 50)
     for n in range(N)]

# --- Direct Form I: আলাদা x ও y ডিলে-লাইন ---
y1 = [0.0] * N
for n in range(N):
    xn1 = x[n - 1] if n - 1 >= 0 else 0.0
    xn2 = x[n - 2] if n - 2 >= 0 else 0.0
    yn1 = y1[n - 1] if n - 1 >= 0 else 0.0
    yn2 = y1[n - 2] if n - 2 >= 0 else 0.0
    y1[n] = b0 * x[n] + b1 * xn1 + b2 * xn2 - a1 * yn1 - a2 * yn2

# --- Direct Form II: একক শেয়ারড ডিলে-লাইন w ---
y2 = [0.0] * N
w_hist = [0.0, 0.0]   # w[n-1], w[n-2]
for n in range(N):
    wn = x[n] - a1 * w_hist[0] - a2 * w_hist[1]
    y2[n] = b0 * wn + b1 * w_hist[0] + b2 * w_hist[1]
    w_hist[1] = w_hist[0]
    w_hist[0] = wn

print()
print(f"{'n':>3} | {'DF-I y[n]':>10} | {'DF-II y[n]':>10} | {'diff':>10}")
max_diff = 0.0
for n in range(N):
    diff = abs(y1[n] - y2[n])
    max_diff = max(max_diff, diff)
    print(f"{n:>3} | {y1[n]:>10.6f} | {y2[n]:>10.6f} | {diff:>10.2e}")

print()
print("DF-I ও DF-II আউটপুটের মধ্যে সর্বোচ্চ পার্থক্য:", max_diff)