ম্যাচড ফিল্টারিং ও ডিটেকশনের ভিত্তি

১ · ডিটেকশন সমস্যা

কল্পনা করুন একটি রাডার সিস্টেম একটি নির্দিষ্ট আকৃতির পালস পাঠায়, আর সেই পালসের প্রতিধ্বনি (echo) — নয়েজে মিশে, সময়ে শিফট হয়ে — ফিরে আসে। প্রশ্ন হলো: রিসিভড সিগন্যালে সেই পালসটি আছে কি না, আর থাকলে কত দেরিতে (কোন ল্যাগে) ফিরে এসেছে — কারণ সেই বিলম্ব থেকেই দূরত্ব হিসাব করা যায়। এটাই সাধারণ ডিটেকশন সমস্যা: একটি জানা, ছোট টেমপ্লেট (বা "রেফারেন্স") সিগন্যাল একটি লম্বা, নয়েজি সিগন্যালের ভেতরে কোথাও লুকানো আছে কি না তা নির্ণয় করা, এবং থাকলে তার সঠিক অবস্থান (ল্যাগ) বের করা। GPS রিসিভার, সোনার, ও ডিজিটাল মোডেম (একটি প্যাকেটের শুরু খুঁজে বের করা) — সবই এই একই সমস্যার ভিন্ন রূপ সমাধান করে।

২ · ম্যাচড ফিল্টার — কোরিলেশন-ভিত্তিক সমাধান

M3/L11-এ আমরা ক্রস-কোরিলেশন শিখেছিলাম — দুটি সিগন্যালের মধ্যে সাদৃশ্য পরিমাপ করার একটি উপায়, বিভিন্ন আপেক্ষিক শিফটে। ম্যাচড ফিল্টারMatched filter — একটি জানা টেমপ্লেট সিগন্যালের সাথে ক্রস-কোরিলেশনের মাধ্যমে সেই টেমপ্লেটটি নয়েজি ডেটার মধ্যে কোথায় (সর্বোচ্চ সম্ভাবনায়) উপস্থিত তা শনাক্ত করার কৌশল। ঠিক এই ধারণাটি ব্যবহার করে — টেমপ্লেট $h[n]$ (দৈর্ঘ্য $M$) কে দীর্ঘ সিগন্যাল $y[n]$ (দৈর্ঘ্য $N$) -এর প্রতিটি সম্ভাব্য অবস্থানের (ল্যাগ) সাথে কোরিলেট করা হয়:

যেখানে টেমপ্লেটের আকৃতি সিগন্যালের সাথে সবচেয়ে ভালোভাবে "মেলে" (align হয়), সেখানে $c[\text{lag}]$-এর মান সবচেয়ে বড় হবে — কারণ সেই বিন্দুতে টেমপ্লেটের প্রতিটি মান সিগন্যালের সংশ্লিষ্ট মানের সাথে একই চিহ্নে (sign) গুণ হচ্ছে, ফলে যোগফল গঠনমূলকভাবে (constructively) জমা হচ্ছে। অন্য কোনো ল্যাগে, টেমপ্লেট আর পটভূমি-নয়েজ পরস্পর সম্পর্কহীন হওয়ায় যোগফল গড়ে শূন্যের কাছাকাছি ওঠানামা করে। এই সর্বোচ্চ মানের ল্যাগটিই "ডিটেক্টেড" অবস্থান।

৩ · একটি সত্যিকারের ডেমো

নিচের কোড সেলে একটি ছোট, জানা টেমপ্লেট (৮ স্যাম্পলের একটি triangle-আকৃতির প্যাটার্ন) তৈরি করা হয়েছে। এরপর একটি ৪০-স্যাম্পলের দীর্ঘ সিগন্যাল তৈরি করা হয়েছে — পুরোটাই প্রথমে পটভূমি গসিয়ান নয়েজ (sigma=0.3) দিয়ে ভরা, তারপর ঠিক true_shift = 15 অবস্থানে টেমপ্লেটের একটি নয়েজি কপি (আরও ছোট sigma=0.2 নয়েজসহ) যোগ করে ইনজেক্ট করা হয়েছে। ম্যাচড ফিল্টার প্রতিটি সম্ভাব্য ল্যাগে কোরিলেশন গণনা করে — আমরা দেখব সর্বোচ্চ কোরিলেশন ঠিক ল্যাগ ১৫-এই আসে কি না।

import math, random

# জানা ছোট টেমপ্লেট
template = [0.0, 0.5, 1.0, 0.5, 0.0, -0.5, -1.0, -0.5]
M = len(template)

# দীর্ঘ সিগন্যাল: সর্বত্র পটভূমি নয়েজ, এবং একটি জানা ল্যাগে
# টেমপ্লেটের একটি নয়েজি, সময়-শিফটেড কপি ইনজেক্ট করা
N = 40
true_shift = 15
random.seed(7)
bg_noise_sigma = 0.3
long_signal = [random.gauss(0.0, bg_noise_sigma) for _ in range(N)]

# true_shift অবস্থানে টেমপ্লেটের নয়েজি কপি ইনজেক্ট করা
inject_noise_sigma = 0.2
for i, t in enumerate(template):
    idx = true_shift + i
    long_signal[idx] += t + random.gauss(0.0, inject_noise_sigma)

# ম্যাচড ফিল্টার: প্রতিটি ল্যাগে টেমপ্লেটকে long_signal-এর সাথে ক্রস-কোরিলেট করা
max_lag = N - M
correlations = []
for lag in range(0, max_lag + 1):
    s = 0.0
    for k in range(M):
        s += template[k] * long_signal[lag + k]
    correlations.append(s)

peak_lag = max(range(len(correlations)), key=lambda i: correlations[i])
peak_val = correlations[peak_lag]

print(f"টেমপ্লেট দৈর্ঘ্য M={M}, সিগন্যাল দৈর্ঘ্য N={N}, প্রকৃত ইনজেক্ট করা শিফট={true_shift}")
print()
print(f"{'lag':>4} | {'correlation':>12}")
for lag, c in enumerate(correlations):
    marker = "  <-- peak" if lag == peak_lag else ""
    print(f"{lag:>4} | {c:>12.4f}{marker}")

print()
print(f"ডিটেক্টেড পিক ল্যাগ = {peak_lag}, কোরিলেশন মান = {peak_val:.4f}")
print(f"প্রকৃত শিফট = {true_shift}")
print(f"মিলেছে কি না: {peak_lag == true_shift}")

৪ · কেন ম্যাচড ফিল্টার সর্বোত্তম, এবং বাস্তব প্রয়োগ

এটি একটি প্রমাণিত (এবং সুপরিচিত টেক্সটবুক) ফলাফল যে, additive white Gaussian নয়েজের (AWGN, L49) অধীনে, ম্যাচড ফিল্টার হলো আউটপুট SNR সর্বোচ্চ করার জন্য প্রমাণিতভাবে সর্বোত্তম লিনিয়ার ফিল্টার — অন্য কোনো লিনিয়ার অপারেশন এর চেয়ে ভালো ডিটেকশন পারফরম্যান্স দিতে পারে না, যখন নয়েজ সত্যিই সাদা ও গসিয়ান। এই কারণেই ম্যাচড ফিল্টারিং এত ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়: