ইমেজ প্রসেসিং-এ DSP — 2D কনভোলিউশনের ভিত্তি

১ · একটি ছবি আসলে সংখ্যার একটি ২D গ্রিড

বাস্তব একটি ডিজিটাল ছবিতে প্রতিটি পিক্সেলের একটি উজ্জ্বলতা (grayscale-এর ক্ষেত্রে একটি সংখ্যা, সাধারণত ০–২৫৫; রঙিন ছবিতে RGB-এর জন্য তিনটি সংখ্যা) থাকে, আর পুরো ছবি হাজার হাজার পিক্সেলের একটি বিশাল গ্রিড। এই পাঠে আমরা ধারণাটি বোঝার জন্য একটি অনেক ছোট, সম্পূর্ণ সিন্থেটিক ৮×৮ গ্রিড ব্যবহার করব — একটি উজ্জ্বল (মান ১) বর্গক্ষেত্র একটি অন্ধকার (মান ০) ব্যাকগ্রাউন্ডের ওপর। এটি কোনো ক্যামেরা দিয়ে তোলা বাস্তব ছবি নয় — শুধু কনসেপ্ট স্পষ্ট করার জন্য একটি হাতে-বানানো, যাচাইযোগ্য প্যাটার্ন।

# *** সম্পূর্ণ সিন্থেটিক ৮x৮ "ছবি" -- কোনো বাস্তব ফটোগ্রাফ নয় ***
img = [[0] * 8 for _ in range(8)]
for r in range(2, 6):
    for c in range(2, 6):
        img[r][c] = 1

print("সিন্থেটিক ৮×৮ 'ছবি' (১ = উজ্জ্বল বর্গক্ষেত্র, ০ = অন্ধকার ব্যাকগ্রাউন্ড):")
for row in img:
    print(" ".join(str(v) for v in row))

২ · 2D কনভোলিউশন — 1D ধারণার সম্প্রসারণ

M3/L10-এ ১D কনভোলিউশন ছিল $y[n] = \sum_{k} x[n-k] \, h[k]$ — একটি কার্নেল $h$-কে সিগন্যাল $x$-এর ওপর স্লাইড করিয়ে প্রতিটি অবস্থানে ওজনযুক্ত যোগফল নেওয়া। ২D কনভোলিউশনে ঠিক একই ধারণা, শুধু সারি ও কলাম — দুই মাত্রায়:

$$y[i,j] = \sum_{u} \sum_{v} x[i-u,\, j-v] \, h[u,v]$$

বাস্তবে ইমেজ-প্রসেসিং ও অনেক ডিপ-লার্নিং লাইব্রেরি প্রায়ই এই সূত্রটির একটি ছোট রূপভেদ ব্যবহার করে যাকে টেকনিক্যালি বলা হয় "correlation" (কার্নেল উল্টানো হয় না) — কিন্তু নিচে ব্যবহৃত এজ-ডিটেকশন কার্নেলটি সিমেট্রিক বলে এই দুইয়ের মধ্যে ফলাফলে কোনো পার্থক্য পড়ে না। আমরা "valid" কনভোলিউশন ব্যবহার করব — শুধু সেই অবস্থানগুলোতে গণনা করা হয় যেখানে কার্নেল সম্পূর্ণভাবে ছবির ভেতরে ফিট করে, ফলে $H \times W$ ইনপুট আর $k_h \times k_w$ কার্নেলের জন্য আউটপুট আকার হয় $(H - k_h + 1) \times (W - k_w + 1)$ — M3-এর "full" কনভোলিউশনের আউটপুট-দৈর্ঘ্য সূত্র $len(x)+len(h)-1$-এর মতোই, শুধু ২D-তে এখানে সীমানার বাইরে না গিয়ে সংক্ষিপ্ত (shrunk) আউটপুট বেছে নেওয়া হয়েছে।

৩ · এজ-ডিটেকশন কার্নেল দিয়ে সত্যিকারের গণনা

নিচে একটি ক্লাসিক এজ-ডিটেকশন কার্নেল (Laplacian-স্টাইল, কেন্দ্রে ৮ ও চারপাশে −১) হাতে-লেখা নেস্টেড-লুপ দিয়ে ৮×৮ ছবির ওপর প্রয়োগ করা হচ্ছে। এই কার্নেলের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য — এর সবগুলো মান যোগ করলে শূন্য হয় ($8 - 8 \times 1 = 0$), তাই সম্পূর্ণ সমতল (uniform) অঞ্চলে আউটপুট সবসময় শূন্য হবে; শুধু যেখানে পিক্সেল মান হঠাৎ বদলায় (একটি প্রান্ত/এজ) সেখানেই অ-শূন্য মান দেখা দেয়।

kernel = [
    [-1, -1, -1],
    [-1,  8, -1],
    [-1, -1, -1],
]   # ক্লাসিক এজ-ডিটেকশন (Laplacian-স্টাইল) কার্নেল

def conv2d_valid(x, k):
    H, W = len(x), len(x[0])
    kh, kw = len(k), len(k[0])
    oh, ow = H - kh + 1, W - kw + 1
    out = [[0] * ow for _ in range(oh)]
    for i in range(oh):
        for j in range(ow):
            s = 0
            for u in range(kh):
                for v in range(kw):
                    s += x[i + u][j + v] * k[u][v]
            out[i][j] = s
    return out

out = conv2d_valid(img, kernel)

print(f"কার্নেল যোগফল: {sum(sum(row) for row in kernel)}  (শূন্য -> সমতল অঞ্চলে আউটপুট শূন্য হবে)")
print(f"আউটপুট গ্রিডের আকার: {len(out)}×{len(out[0])}  "
      f"(ইনপুট 8×8, কার্নেল 3×3 -> (8-3+1)×(8-3+1))")
print()
for row in out:
    print(" ".join(f"{v:>3}" for v in row))