কমিউনিকেশনে DSP — মডুলেশনের ভিত্তি

১ · কেন মডুলেশন দরকার

একটি মানুষের কণ্ঠস্বর বা অডিও সিগন্যালের বেশিরভাগ শক্তি তুলনামূলক নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সিতে থাকে (কয়েকশ Hz থেকে কয়েক kHz)। কিন্তু এই নিম্ন-ফ্রিকোয়েন্সি সিগন্যাল সরাসরি বেতার তরঙ্গ হিসেবে দক্ষতার সাথে পাঠানো কঠিন — ব্যবহারিক আকারের অ্যান্টেনা তৈরি করতে এবং একই মাধ্যমে (বাতাসে) একাধিক সিগন্যালকে ওভারল্যাপ ছাড়া পাঠাতে (ফ্রিকোয়েন্সি-ডিভিশন মাল্টিপ্লেক্সিংএকাধিক সিগন্যালকে ভিন্ন ভিন্ন ক্যারিয়ার ফ্রিকোয়েন্সিতে বসিয়ে একই মাধ্যমে (যেমন বাতাসে) একসাথে পাঠানো — যেমন ভিন্ন ভিন্ন FM রেডিও স্টেশন।) দরকার হয় উচ্চতর ফ্রিকোয়েন্সি। মডুলেশন এই সমস্যার সমাধান — নিম্ন-ফ্রিকোয়েন্সি "মেসেজ" সিগন্যালকে একটি উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি "ক্যারিয়ার" তরঙ্গের কোনো একটি বৈশিষ্ট্য (প্রশস্ততা, ফ্রিকোয়েন্সি, বা ফেজ) পরিবর্তন করে "বহন" করানো হয়। এটি একটি সুপ্রতিষ্ঠিত কমিউনিকেশন-ইঞ্জিনিয়ারিং টেক্সটবুক নীতি।

২ · অ্যামপ্লিচুড মডুলেশন (AM)

সবচেয়ে সরল মডুলেশন স্কিম — অ্যামপ্লিচুড মডুলেশন (AM) — ক্যারিয়ারের প্রশস্ততাকে মেসেজ সিগন্যাল অনুযায়ী পরিবর্তন করে:

$$s(t) = \big(1 + m \cdot x(t)\big)\cos(2\pi f_c t)$$

যেখানে $x(t)$ মেসেজ সিগন্যাল, $f_c$ ক্যারিয়ার ফ্রিকোয়েন্সি, আর $m$ মডুলেশন ইনডেক্স (মেসেজের প্রভাব কতটা গভীর তা নিয়ন্ত্রণ করে)। নিচে $f_c = 100$ Hz, মেসেজ $f_m = 10$ Hz (একটি সরল কোসাইন তরঙ্গ দিয়ে সরলীকৃত), $m = 0.5$ — সম্পূর্ণ সিন্থেটিক, শিক্ষামূলক মান — দিয়ে সিগন্যাল তৈরি ও তার DFT গণনা করা হচ্ছে।

import math, cmath

fs = 500.0
N = 100
fc = 100.0     # ক্যারিয়ার ফ্রিকোয়েন্সি (Hz)
fm = 10.0      # মেসেজ (বেসব্যান্ড) ফ্রিকোয়েন্সি (Hz)
m_idx = 0.5    # মডুলেশন ইনডেক্স

# *** সম্পূর্ণ সিন্থেটিক, শিক্ষামূলক সিগন্যাল -- কোনো বাস্তব ট্রান্সমিশন নয় ***
carrier = [math.cos(2 * math.pi * fc * n / fs) for n in range(N)]
message = [math.cos(2 * math.pi * fm * n / fs) for n in range(N)]
am_signal = [(1 + m_idx * message[n]) * carrier[n] for n in range(N)]

def dft_magnitude(x):
    n_samples = len(x)
    mags = []
    for k in range(n_samples):
        s = 0 + 0j
        for n in range(n_samples):
            s += x[n] * cmath.exp(-2j * math.pi * k * n / n_samples)
        mags.append(abs(s))
    return mags

mags = dft_magnitude(am_signal)

print("প্রথম ৬টি স্যাম্পল:", [round(v, 4) for v in am_signal[:6]])
print()
print(f"fs = {fs} Hz, N = {N} স্যাম্পল, রেজোলিউশন = {fs/N} Hz/bin")
print()
print(f"{'k':>3} | {'ফ্রিকোয়েন্সি (Hz)':>18} | {'|X[k]|':>10}")
for k in range(N // 2 + 1):
    if mags[k] > 1.0:
        print(f"{k:>3} | {k*fs/N:>18.2f} | {mags[k]:>10.3f}")

৩ · DFT দিয়ে সাইডব্যান্ড দেখা

ত্রিকোণমিতিক অভেদ ব্যবহার করে $s(t)$-কে খুলে লেখা যায়:

$$s(t) = \cos(2\pi f_c t) + \frac{m}{2}\cos\big(2\pi (f_c-f_m) t\big) + \frac{m}{2}\cos\big(2\pi (f_c+f_m) t\big)$$

অর্থাৎ তত্ত্বগতভাবে ঠিক তিনটি ফ্রিকোয়েন্সিতে শক্তি থাকা উচিত — ক্যারিয়ার $f_c$ (প্রশস্ততা ১), আর দুটি সাইডব্যান্ড $f_c-f_m$ ও $f_c+f_m$ (প্রতিটির প্রশস্ততা $m/2 = 0.25$)। উপরের কোড সেলের সত্যিকারের গণনা করা DFT ঠিক এটাই দেখাচ্ছে — k=18 (৯০ Hz) ও k=22 (১১০ Hz) বিনে ম্যাগনিটিউড ১২.৫০০, আর k=20 (১০০ Hz, ক্যারিয়ার) বিনে ম্যাগনিটিউড ৫০.০০০ — অনুপাত ঠিক $50 \times 0.25 = 12.5$ মিলে যাচ্ছে।