যৌক্তিক সমতুল্যতা ও ইনফারেন্স নিয়ম

১ · Logical Equivalence কী?

দুটি যৌগিক প্রোপোজিশন p এবং q Logical EquivalenceLogical Equivalence (≡)দুটি যৌগিক প্রোপোজিশন যাদের truth table হুবহু একই — প্রতিটি সম্ভাব্য ইনপুটে তাদের সত্য-মূল্য সবসময় মিলে যায়। ($p \equiv q$) হয় যদি তাদের truth table হুবহু একই হয় — প্রতিটি সম্ভাব্য ইনপুটে তাদের সত্য-মূল্য মিলে যায়। এটি একটি শক্তিশালী টুল — একটি জটিল বিবৃতিকে সমতুল্য কিন্তু সহজ একটি বিবৃতি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যায়।

২ · গুরুত্বপূর্ণ Equivalences

De Morgan's Law

$\neg(p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$
$\neg(p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$

বাংলায়: "p এবং q দুটোই না" মানে "p না, অথবা q না"। "p অথবা q, কোনোটাই না" মানে "p না, এবং q না"।

Distributive Law

$p \land (q \lor r) \equiv (p \land q) \lor (p \land r)$
$p \lor (q \land r) \equiv (p \lor q) \land (p \lor r)$

কন্ডিশনালকে Disjunction হিসেবে

$p \to q \equiv \neg p \lor q$

এটিই L02-এর vacuous truth-এর গাণিতিক ব্যাখ্যা — p মিথ্যা হলে $\neg p$ সত্য, তাই পুরো disjunction সত্য, q যাই হোক না কেন।

Contrapositive

$p \to q \equiv \neg q \to \neg p$

এই equivalence-টি L05-এ "প্রুফ বাই কন্ট্রাপজিটিভ"-এর ভিত্তি — কখনো কখনো $\neg q \to \neg p$ প্রমাণ করা $p \to q$ সরাসরি প্রমাণ করার চেয়ে সহজ।

Double Negation

$\neg \neg p \equiv p$

৩ · ইনফারেন্স নিয়ম (Inference Rules)

ইনফারেন্স নিয়ম হলো এমন প্যাটার্ন যা কিছু সত্য বিবৃতি (premise) থেকে নতুন একটি সত্য বিবৃতি (conclusion) নিশ্চিতভাবে বের করে আনে। প্রতীক $\vdash$ মানে "সুতরাং" / "অতএব"।

from itertools import product

def implies(p, q):
    # সরাসরি সংজ্ঞা থেকে p→q-এর truth table
    table = {
        (True, True): True,
        (True, False): False,
        (False, True): True,
        (False, False): True,
    }
    return table[(p, q)]

equivalent = True
for p, q in product([True, False], repeat=2):
    lhs = implies(p, q)
    rhs = (not p) or q
    same = lhs == rhs
    equivalent = equivalent and same
    print(f"p={p!s:<5} q={q!s:<5} p→q={lhs!s:<5} ¬p∨q={rhs!s:<5} মিলে?={same}")

print("সমতুল্য" if equivalent else "সমতুল্য নয়")