প্রমাণ পদ্ধতি — সরাসরি, বিপরীতগামী, বিরোধিতা

১ · সরাসরি প্রমাণ (Direct Proof)

Direct ProofDirect Proofhypothesis সত্য ধরে নিয়ে, সংজ্ঞা ও পূর্বপ্রমাণিত ফলাফল ব্যবহার করে ধাপে ধাপে সরাসরি conclusion-এ পৌঁছানোর প্রমাণ পদ্ধতি। সবচেয়ে সরল কাঠামো — $p\to q$ প্রমাণ করতে, p সত্য ধরে নিয়ে বৈধ ধাপে ধাপে q বের করা হয়।

Worked example: "যদি n জোড়, তাহলে $n^2$ জোড়।"

প্রমাণ: ধরি n জোড়। তাহলে সংজ্ঞা অনুযায়ী কোনো পূর্ণসংখ্যা k আছে যেন $n=2k$। তাহলে $n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)$। যেহেতু $2k^2$ একটি পূর্ণসংখ্যা, $n^2$ ২-এর গুণিতক — অর্থাৎ $n^2$ জোড়। $\blacksquare$

২ · বিপরীতগামী প্রমাণ (Proof by Contrapositive)

L04-এ আমরা দেখেছি $p\to q \equiv \neg q \to \neg p$। তাই কখনো কখনো মূল বিবৃতির বদলে এর ContrapositiveContrapositive$p\to q$-এর সমতুল্য রূপ $\neg q \to \neg p$ — কখনো কখনো মূল বিবৃতির চেয়ে প্রমাণ করা সহজ। প্রমাণ করাই সহজ হয়।

Worked example: "যদি $n^2$ বিজোড়, তাহলে n বিজোড়।"

সরাসরি প্রমাণ করা কঠিন ($n^2$ বিজোড় থেকে শুরু করে n সম্পর্কে কিছু বলা সহজ নয়)। তাই আমরা contrapositive প্রমাণ করি: "যদি n জোড়, তাহলে $n^2$ জোড়" — যা আমরা উপরেই প্রমাণ করেছি! যেহেতু $p\to q \equiv \neg q \to \neg p$, এই contrapositive প্রমাণ করাই মূল বিবৃতি প্রমাণের জন্য যথেষ্ট। $\blacksquare$

৩ · বিরোধিতার মাধ্যমে প্রমাণ (Proof by Contradiction)

Proof by ContradictionProof by Contradictionযা প্রমাণ করতে চাই তার নেগেশন সত্য ধরে নিয়ে, সেখান থেকে একটি অসম্ভব/স্ববিরোধী ফলাফল বের করে দেখানো যে মূল ধারণাটি ভুল ছিল — অতএব আসল দাবিটি সত্য। -তে conclusion-এর উল্টো ধরে নিয়ে hypothesis-এর সাথে মিলিয়ে একটি অসম্ভব ফলাফল (বিরোধিতা) বের করা হয়।

ক্লাসিক উদাহরণ: $\sqrt{2}$ অমূলদ (irrational) সংখ্যা।

ধরি, বিপরীতভাবে, $\sqrt{2}$ মূলদ (rational)। তাহলে এটিকে সর্বনিম্ন আকারে (lowest terms) লেখা যায় $\sqrt{2} = a/b$, যেখানে $\gcd(a,b)=1$।

উভয় পাশ বর্গ করে: $2 = a^2/b^2 \Rightarrow a^2 = 2b^2$। তাহলে $a^2$ জোড় — এবং আমরা উপরেই দেখিয়েছি n জোড় হলেই $n^2$ জোড় (এবং contrapositive-এ, $n^2$ জোড় হলে n-ও জোড় হতে হয়)। তাই a জোড় — লিখি $a=2c$।

তাহলে $2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2 \Rightarrow b^2 = 2c^2$। একই যুক্তিতে $b^2$ জোড়, তাই b-ও জোড়।

৪ · কেস বিভাজনের মাধ্যমে প্রমাণ (Proof by Cases)

এই পদ্ধতিতে সম্ভাবনাকে Exhaustive CasesExhaustive Casesএমন কেসের সমষ্টি যা সব সম্ভাবনাকে কভার করে — কোনো ফাঁক থাকে না, এবং একসাথে পুরো ডোমেইন জুড়ে থাকে। -এ ভাগ করে প্রতিটি আলাদাভাবে প্রমাণ করা হয়।

Worked example: "যেকোনো পূর্ণসংখ্যা n-এর জন্য, $n(n+1)$ সবসময় জোড়।"

প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা হয় জোড় নয়তো বিজোড় — এই দুটি কেস সব সম্ভাবনা কভার করে (exhaustive), তাই আমরা দুটো কেসই প্রমাণ করব —

• কেস ১ (n জোড়): $n=2k$। তাহলে $n(n+1) = 2k(2k+1) = 2 \times \big(k(2k+1)\big)$ — যা ২-এর গুণিতক, তাই জোড়।
• কেস ২ (n বিজোড়): $n=2k+1$, তাই $n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$। তাহলে $n(n+1) = (2k+1) \times 2(k+1) = 2 \times \big((2k+1)(k+1)\big)$ — যা ২-এর গুণিতক, তাই জোড়।

উভয় কেসেই $n(n+1)$ জোড় প্রমাণিত হলো — এবং যেহেতু এই দুই কেস সব পূর্ণসংখ্যা কভার করে, দাবিটি সব n-এর জন্য সত্য। $\blacksquare$

for n in range(-10, 10):
    product = n * (n + 1)
    assert product % 2 == 0, f"ব্যতিক্রম পাওয়া গেছে n={n}"

print("n(n+1) সবসময় জোড় — n = -10 থেকে 9 পর্যন্ত যাচাই সম্পন্ন")