সেট থিওরি — মূল ধারণা ও অপারেশন

১ · সেট নোটেশন ও মূল ধারণা

একটি সেট (Set)Setভিন্ন ভিন্ন (distinct), অর্ডারবিহীন উপাদানের একটি সংগ্রহ। একই উপাদান দুইবার গণনা হয় না, এবং উপাদানগুলোর কোনো নির্দিষ্ট ক্রম নেই। লেখা যায় দুইভাবে — roster নোটেশন: $A = \{1, 2, 3\}$, অথবা set-builder নোটেশন: $A = \{x \mid P(x)\}$ (অর্থাৎ "সব $x$ যা শর্ত $P(x)$ সিদ্ধ করে")। যদি $a$ সেট $A$-এর একটি উপাদান হয়, লেখা হয় $a \in A$ ("$a$ belongs to $A$"), নাহলে $a \notin A$।

$A$ কে $B$-এর সাবসেট ($A \subseteq B$) বলা হয় যদি $A$-এর প্রতিটি উপাদান $B$-তেও থাকে। যদি এর সাথে $A \neq B$ হয়, তাহলে $A$ হলো $B$-এর proper subset ($A \subset B$)। খালি সেট $\emptyset$ প্রতিটি সেটের সাবসেট (কেন — নিচের ভাবনার প্রশ্নে দেখুন)। একটি সসীম সেট $A$-এর কার্ডিনালিটি $|A|$ মানে এর উপাদানসংখ্যা।

২ · পাওয়ার সেট — সব সাবসেটের সেট

একটি সেট $A$-এর পাওয়ার সেট (Power Set)Power Set$A$-এর সম্ভাব্য সব সাবসেটের (নিজে $A$ ও $\emptyset$ সহ) সেট, লেখা হয় $\mathcal{P}(A)$। $\mathcal{P}(A)$ হলো $A$-এর সম্ভাব্য সব সাবসেটের সেট। উদাহরণ: $A = \{1, 2\}$ হলে $\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}$ — মোট ৪টি উপাদান।

সাধারণভাবে $|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$। কারণ একটি সাবসেট তৈরি করতে প্রতিটি উপাদানের জন্য ঠিক দুইটি স্বাধীন সিদ্ধান্ত নিতে হয় — "এই উপাদানটি সাবসেটে রাখব, নাকি রাখব না"। $|A|$টি উপাদানের প্রতিটির জন্য ২টি করে সম্ভাবনা, তাই মোট $2 \times 2 \times \cdots \times 2 = 2^{|A|}$টি ভিন্ন সাবসেট। $A=\{1,2\}$-এর জন্য $2^2 = 4$ ✓।

৩ · সেট অপারেশন

দুটি সেট $A$ ও $B$ নিয়ে পাঁচটি মৌলিক অপারেশন সংজ্ঞায়িত করা যায় —

উদাহরণ: $A = \{1,2,3,4\}$, $B = \{3,4,5,6\}$ হলে — $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$, $A \cap B = \{3,4\}$, $A - B = \{1,2\}$, $B - A = \{5,6\}$, এবং $A \triangle B = \{1,2,5,6\}$।

A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}

print("A ∪ B (ইউনিয়ন):", A | B)
print("A ∩ B (ইন্টারসেকশন):", A & B)
print("A - B (ডিফারেন্স):", A - B)
print("B - A (ডিফারেন্স):", B - A)
print("A △ B (সিমেট্রিক ডিফারেন্স):", A ^ B)

# পাওয়ার সেট — {1,2,3}-এর সব সাবসেট
import itertools
s = [1, 2, 3]
power_set = list(itertools.chain.from_iterable(
    itertools.combinations(s, r) for r in range(len(s) + 1)
))
print("\nP({1,2,3}) =", power_set)
print("মোট সাবসেট:", len(power_set), "= 2^3 =", 2**3)

৪ · কার্তেসিয়ান প্রোডাক্ট

দুটি সেট $A$ ও $B$-এর কার্তেসিয়ান প্রোডাক্ট (Cartesian Product)Cartesian Productদুটি সেটের প্রতিটি সম্ভাব্য অর্ডারড পেয়ারের সেট। এটাই পরের পাঠে "রিলেশন"-এর সংজ্ঞার ভিত্তি হবে। $A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$ — অর্থাৎ প্রথম উপাদান $A$ থেকে, দ্বিতীয় উপাদান $B$ থেকে নিয়ে তৈরি সব অর্ডারড পেয়ার। যেমন $A=\{1,2\}$, $B=\{x,y\}$ হলে $A \times B = \{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)\}$। যেহেতু প্রতিটি জোড়া স্বাধীন একটি নির্বাচন, তাই $|A \times B| = |A| \cdot |B|$ — এখানে $2 \times 2 = 4$ ✓।