রিলেশন — সংজ্ঞা ও বৈশিষ্ট্য

১ · রিলেশনের সংজ্ঞা

$A$ থেকে $B$-তে একটি বাইনারি রিলেশন (Binary Relation)Binary Relationদুটি সেট $A$ ও $B$-এর কার্তেসিয়ান প্রোডাক্ট $A \times B$-এর যেকোনো সাবসেট। প্রতিটি জোড়া $(a,b) \in R$ বোঝায় "$a$, $b$-এর সাথে সম্পর্কিত"। $R$ হলো $A \times B$-এর একটি সাবসেট — অর্থাৎ $R \subseteq A \times B$। যদি $(a,b) \in R$ হয়, লেখা হয় $a \mathrel{R} b$। যখন $A = B$, তখন $R$-কে বলা হয় $A$-এর উপর একটি রিলেশন।

২ · চারটি মূল বৈশিষ্ট্য

একটি সেট $A$-এর উপর সংজ্ঞায়িত রিলেশন $R$-এর চারটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে —

৩ · উদাহরণ — পরিচিত রিলেশন বিশ্লেষণ

পূর্ণসংখ্যার উপর "$\leq$" রিলেশন বিবেচনা করুন। এটি reflexive ($a \leq a$ সবসময় সত্য), antisymmetric ($a \leq b$ ও $b \leq a$ একসাথে সত্য হলে অবশ্যই $a=b$), এবং transitive ($a \leq b$ ও $b \leq c$ হলে $a \leq c$)। কিন্তু এটি symmetric নয় — $2 \leq 3$ সত্য হলেও $3 \leq 2$ মিথ্যা। reflexive+antisymmetric+transitive একসাথে থাকলে সেটিকে বলা হয় পার্শিয়াল অর্ডার — L10-এ এর পূর্ণাঙ্গ আলোচনা।

"$=$" রিলেশন reflexive ($a=a$), symmetric ($a=b \Rightarrow b=a$), ও transitive ($a=b, b=c \Rightarrow a=c$) — তিনটিই সিদ্ধ করে, তাই এটি একটি ইকুইভ্যালেন্স রিলেশন — L09-এ বিস্তারিত।

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার উপর "divides" রিলেশন ($a \mid b$, অর্থাৎ $a$, $b$-কে নিঃশেষে ভাগ করে) reflexive ($a \mid a$), antisymmetric ($a \mid b$ ও $b \mid a$ হলে $a=b$, যেহেতু উভয়ে ধনাত্মক), এবং transitive ($a \mid b, b \mid c \Rightarrow a \mid c$) — অর্থাৎ এটিও একটি পার্শিয়াল অর্ডার (L10-তে এই রিলেশন দিয়েই Hasse ডায়াগ্রামের উদাহরণ দেখব)।

৪ · রিলেশন উপস্থাপনের তিনটি পদ্ধতি

একটি রিলেশন তিনভাবে উপস্থাপন করা যায় — অর্ডারড পেয়ারের সেট (যেমন $\{(1,1),(1,2),(2,1)\}$), ০/১ ম্যাট্রিক্স (সারি ও কলাম $A$-এর উপাদান, ঘরে ১ থাকলে সেই জোড়া রিলেশনে আছে), অথবা ডিরেক্টেড গ্রাফ (প্রতিটি উপাদান একটি নোড, $(a,b) \in R$ হলে $a$ থেকে $b$-তে একটি তীর) — M4-এ গ্রাফ থিওরিতে এই উপস্থাপনা পুরোপুরি কাজে লাগবে।

A = {1, 2}
R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)}

def is_reflexive(R, A):
    return all((a, a) in R for a in A)

def is_symmetric(R):
    return all((b, a) in R for (a, b) in R)

def is_transitive(R):
    for (a, b) in R:
        for (c, d) in R:
            if b == c and (a, d) not in R:
                return False
    return True

print("Reflexive:", is_reflexive(R, A))
print("Symmetric:", is_symmetric(R))
print("Transitive:", is_transitive(R))