এক্সটার্নাল রেট অফ রিটার্ন (ERR/MIRR)

১ · IRR-এর রিইনভেস্টমেন্ট সমস্যা

IRR-এর সংজ্ঞা (L20) গাণিতিকভাবে সঠিক, কিন্তু এর একটি অন্তর্নিহিত অনুমান আছে — যখন একটি প্রজেক্ট থেকে মধ্যবর্তী বছরে ধনাত্মক ক্যাশ ফ্লো আসে, IRR হিসাব ধরে নেয় সেই টাকাটা আবার একই IRR হারে পুনর্বিনিয়োগ হচ্ছে যতক্ষণ না প্রজেক্ট শেষ হয়। যদি IRR নিজেই অস্বাভাবিক বেশি হয় (যেমন ৪০%), তাহলে বাস্তবে সেই টাকা এত বেশি হারে পুনর্বিনিয়োগ করার সুযোগ সাধারণত থাকে না — কোম্পানির প্রকৃত পুনর্বিনিয়োগ সুযোগ হয়তো MARR বা তার কাছাকাছি একটি হারেই সীমাবদ্ধ। এই অবাস্তব অনুমানই একাধিক IRR (L21) সমস্যাকেও আরও জটিল করে তোলে।

২ · ERR/MIRR সূত্র

ERR হিসাব করতে দুটো ধাপ লাগে — সব ধনাত্মক ক্যাশ ফ্লোকে এক্সটার্নাল রেট $e$-এ কম্পাউন্ড করে বছর $n$-এ ভবিষ্যৎ মূল্যে ($FV_{pos}$) আনা হয়, আর সব ঋণাত্মক ক্যাশ ফ্লোকে একটি ফাইন্যান্সিং রেটে (প্রায়ই MARR-এর সমান ধরা হয়) বছর ০-তে বর্তমান মূল্যে ($PV_{neg}$, ধনাত্মক পরিমাণ হিসেবে) ছাড় দেওয়া হয়। তারপর —

$$ERR = \left(\frac{FV_{pos}}{PV_{neg}}\right)^{1/n} - 1$$

এটি মূলত একটি সিঙ্গেল-পেমেন্ট সমতা — শুরুর $PV_{neg}$ কে $n$ বছরে $FV_{pos}$-এ রূপান্তরিত করতে দরকারি বার্ষিক হার বের করা — যা M2-এর $F=P(1+i)^n$ সূত্র থেকে সরাসরি সমাধান করা যায় ($i = (F/P)^{1/n}-1$), তাই কোনো রুট-ফাইন্ডিং লাগে না।

৩ · Python-এ ERR গণনা ও IRR-এর সাথে তুলনা

একটি মিশ্র-চিহ্নের ক্যাশ ফ্লো — বছর ০-এ $15,000 বিনিয়োগ, বছর ১-২-এ যথাক্রমে $5,000 ও $4,000 আয়, বছর ৩-এ $3,000 বাড়তি খরচ, বছর ৪-৫-এ $8,000 ও $9,000 আয় — নিচের কোডে এক্সটার্নাল রেট ও ফাইন্যান্সিং রেট দুটোই ৮% ধরে ERR বের করা হয়েছে, এবং তুলনার জন্য L20-এর একই বাইসেকশন find_irr() দিয়ে সাধারণ IRR-ও বের করা হয়েছে।

# ERR/MIRR -- পজিটিভ ফ্লো FV-তে, নেগেটিভ ফ্লো PV-তে, তারপর একটি জ্যামিতিক গড়

def npv(cashflows, i):
    return sum(cf / (1 + i) ** t for t, cf in cashflows)

def find_irr(cashflows, lo=-0.5, hi=1.0, tol=1e-7, max_iter=200):
    f_lo = npv(cashflows, lo)
    f_hi = npv(cashflows, hi)
    if f_lo * f_hi > 0:
        raise ValueError("bracket-এ NPV চিহ্ন বদলাচ্ছে না")
    for _ in range(max_iter):
        mid = (lo + hi) / 2
        f_mid = npv(cashflows, mid)
        if abs(f_mid) < tol or (hi - lo) / 2 < tol:
            return mid
        if f_lo * f_mid < 0:
            hi = mid
        else:
            lo = mid
            f_lo = f_mid
    return (lo + hi) / 2

# (বছর, ক্যাশ ফ্লো) -- মিশ্র-চিহ্নের সিরিজ
cashflows = [(0, -15000), (1, 5000), (2, 4000), (3, -3000), (4, 8000), (5, 9000)]
n = 5
e = 0.08         # এক্সটার্নাল রিইনভেস্টমেন্ট রেট (পজিটিভ ফ্লোর জন্য)
fin_rate = 0.08  # ফাইন্যান্সিং রেট (নেগেটিভ ফ্লোর জন্য)

FV_pos = sum(cf * (1 + e) ** (n - t) for t, cf in cashflows if cf > 0)
PV_neg = sum(-cf / (1 + fin_rate) ** t for t, cf in cashflows if cf < 0)

ERR = (FV_pos / PV_neg) ** (1 / n) - 1

print("ক্যাশ ফ্লো (বছর, পরিমাণ):", cashflows)
print(f"পজিটিভ ফ্লোগুলো বছর {n}-এ কম্পাউন্ড করা FV_pos = ${FV_pos:,.2f}")
print(f"নেগেটিভ ফ্লোগুলো বছর ০-এ ছাড় দেওয়া PV_neg = ${PV_neg:,.2f}")
print(f"ERR = (FV_pos / PV_neg)^(1/{n}) - 1 = {ERR*100:.4f}%")
print()

irr_ordinary = find_irr(cashflows)
print(f"তুলনার জন্য সাধারণ IRR (বাইসেকশন) = {irr_ordinary*100:.4f}%   (NPV চেক = ${npv(cashflows, irr_ordinary):,.6f})")
print(f"পার্থক্য (IRR - ERR) = {(irr_ordinary - ERR)*100:.4f} শতাংশ পয়েন্ট -- রিইনভেস্টমেন্ট অনুমানের প্রভাব দেখায়")