পাঠ ৪৯ · ৫৭-এর মধ্যে · মডিউল ১১
Home / Courses / Engineering Economics / এক্সপেক্টেড ভ্যালু ও প্রোবাবিলিস্টিক অ্যানালাইসিস

এক্সপেক্টেড ভ্যালু ও প্রোবাবিলিস্টিক অ্যানালাইসিস

Expected value & probabilistic analysis
৯ মিনিট পড়া মধ্যম · Intermediate Python কোডসহ সম্পূর্ণ বাংলায়

এই পাঠে যা শিখবেন

  • এক্সপেক্টেড ভ্যালুর ফরমাল সংজ্ঞা এবং "সম্ভাব্যতার সমষ্টি ১.০" শর্তের গুরুত্ব
  • Python দিয়ে expected_value(outcomes, probabilities) ফাংশন — assert-সহ সম্ভাব্যতা যাচাই
  • একটি তিন-দৃশ্যকল্প প্রজেক্টের EV ও স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন একসাথে গণনা করে রিস্ক-রিটার্ন প্রোফাইল তৈরি
  • কেন শুধু EV দেখে সিদ্ধান্ত নেওয়া অসম্পূর্ণ — একই EV-এর দুটি প্রজেক্টের ঝুঁকি ভিন্ন হতে পারে

১ · এক্সপেক্টেড ভ্যালু কী

এক্সপেক্টেড ভ্যালুExpected Value (EV)সম্ভাব্য সব ফলাফলের সম্ভাব্যতা-ভারিত গড়, mutually exclusive ও exhaustive দৃশ্যকল্পের উপর। হলো একাধিক অনিশ্চিত ফলাফলকে একটি একক প্রতিনিধিত্বমূলক সংখ্যায় সংক্ষিপ্ত করার পদ্ধতি —

$EV = \sum_{i} p_i \times \text{outcome}_i, \quad \text{যেখানে} \sum_i p_i = 1$

শর্তটি গুরুত্বপূর্ণ — দৃশ্যকল্পগুলো অবশ্যই mutually exclusive (একই সাথে দুটো ঘটতে পারবে না) এবং exhaustive (সব সম্ভাবনা কভার করে, তাই সমষ্টি ঠিক ১.০) হতে হবে। L48-এ দেখা ডিসিশন ট্রির চান্স নোডে ঠিক এই একই সূত্র ব্যবহার হয়েছিল — এই পাঠ তাকে ফরমালি প্রতিষ্ঠিত করছে এবং রিস্ক পরিমাপ (স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন) যোগ করছে।

এক্সপেক্টেড ভ্যালু
$EV = \sum p_i \cdot \text{outcome}_i$ — কেন্দ্রীয় প্রবণতা, "গড়ে কী আশা করা যায়"।
স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন
$\sqrt{\sum p_i (\text{outcome}_i-EV)^2}$ — বিচ্ছুরণ, "ফলাফল কতটা অনিশ্চিত"।
সম্ভাব্যতা-যাচাই
$\sum p_i = 1$ না হলে গণনা ভুল দৃশ্যকল্প-সেট থেকে হচ্ছে — কোডে অবশ্যই assert করা উচিত।

২ · কোড সেল — তিন-দৃশ্যকল্প ডিমান্ড উদাহরণ

ধরা যাক একটি প্রজেক্টের তিনটি চাহিদা-দৃশ্যকল্প আছে — পেসিমিস্টিক ($PW=-\$8{,}000$, সম্ভাব্যতা ০.২৫), মোস্ট-লাইকলি ($PW=\$22{,}000$, সম্ভাব্যতা ০.৫০), এবং অপ্টিমিস্টিক ($PW=\$60{,}000$, সম্ভাব্যতা ০.২৫)। নিচের কোড সেলে সম্ভাব্যতার সমষ্টি যাচাই করে EV ও স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন গণনা করা হচ্ছে।

Python
def expected_value(outcomes, probabilities):
    assert abs(sum(probabilities) - 1.0) < 1e-9, "সম্ভাব্যতার সমষ্টি অবশ্যই ১.০ হতে হবে"
    return sum(p * o for p, o in zip(probabilities, outcomes))

def std_dev(outcomes, probabilities, ev):
    var = sum(p * (o - ev) ** 2 for p, o in zip(probabilities, outcomes))
    return var ** 0.5

outcomes = [-8000, 22000, 60000]        # পেসিমিস্টিক, মোস্ট-লাইকলি, অপ্টিমিস্টিক PW
probabilities = [0.25, 0.50, 0.25]

print(f"সম্ভাব্যতার সমষ্টি = {sum(probabilities):.2f}")

ev = expected_value(outcomes, probabilities)
sd = std_dev(outcomes, probabilities, ev)

print(f"এক্সপেক্টেড ভ্যালু EV = ${ev:,.2f}")
print(f"স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন = ${sd:,.2f}")
print()

labels = ["পেসিমিস্টিক", "মোস্ট-লাইকলি", "অপ্টিমিস্টিক"]
print(f"{'দৃশ্যকল্প':<14} | {'সম্ভাব্যতা':>10} | {'PW':>14}")
print("-" * 44)
for label, p, o in zip(labels, probabilities, outcomes):
    print(f"{label:<14} | {p:>9.0%} | ${o:>12,.2f}")

    


    

      হাতে-কলমে যাচাই — $EV = 0.25 \times (-8000) + 0.50 \times 22000 + 0.25 \times 60000 = -2000 + 11000 +
      15000 = \$24{,}000$। ভ্যারিয়েন্স $= 0.25(-32000)^2 + 0.50(-2000)^2 + 0.25(36000)^2 = 256{,}000{,}000 +
      2{,}000{,}000 + 324{,}000{,}000 = 582{,}000{,}000$, তাই স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন
      $= \sqrt{582{,}000{,}000} \approx \$24{,}124.68$। লক্ষ্য করুন std dev প্রায় EV-এর সমান বড় — এই প্রজেক্টের
      ফলাফল খুবই অনিশ্চিত, কারণ অপ্টিমিস্টিক ও পেসিমিস্টিক দৃশ্যকল্প দুটোই মোস্ট-লাইকলি থেকে অনেক দূরে।
    


    

      মূল কথা · Key takeaway
      

        এক্সপেক্টেড ভ্যালু একাধিক অনিশ্চিত ফলাফলকে একটি একক সিদ্ধান্ত-সহায়ক সংখ্যায় সংক্ষিপ্ত করে, কিন্তু সবসময়
        সম্ভাব্যতার সমষ্টি ১.০ কিনা তা যাচাই করা আবশ্যক — নইলে ভুল দৃশ্যকল্প-সেট থেকে ভুল সিদ্ধান্ত আসতে পারে।
        স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন EV-এর সঙ্গী হিসেবে সবসময় রিপোর্ট করা উচিত, কারণ এটিই বলে দেয় ফলাফল কতটা
        অনিশ্চিত। যখন একই সময়ে একাধিক ভেরিয়েবল অনিশ্চিত থাকে (শুধু একটি নয়), তখন এই তিন/পাঁচ-
        দৃশ্যকল্প পদ্ধতির বদলে মন্টে কার্লো সিমুলেশন (L50) ব্যবহার করা হয়।
      

    


  


  

    
    
  


  

    
 ভাবনার প্রশ্ন

    
প্রতিটি প্রশ্ন নিজে কিছুক্ষণ ভাবুন — তারপর "→ উত্তর" চাপুন।


    

      
        প্র ০১
        কোড সেলের assert লাইনটি কেন গুরুত্বপূর্ণ — এটি না থাকলে কী সমস্যা হতে পারে?
      
      

        

          যদি সম্ভাব্যতাগুলোর সমষ্টি ১.০ না হয় (যেমন ভুলবশত একটি দৃশ্যকল্প বাদ পড়ে গেলে বা টাইপো হলে), EV গণনা
          নীরবে ভুল ফলাফল দেবে — কোনো এরর ছাড়াই। assert লাইনটি এই ভুলকে গণনা শুরুর আগেই ধরে ফেলে,
          যাতে ভুল সম্ভাব্যতা-সেট দিয়ে সিদ্ধান্ত না নেওয়া হয়।
        

      

    


    

      
        প্র ০২
        দুটো প্রজেক্টের EV একই হলেও একটির std dev বেশি হতে পারে কীভাবে — একটি উদাহরণ ভাবুন।
      
      

        

          ধরা যাক প্রজেক্ট X-এর ফলাফল ৫০% সম্ভাবনায় $\$20{,}000$ ও ৫০% সম্ভাবনায় $\$20{,}000$ (একদম নিশ্চিত) —
          EV$=\$20{,}000$, std dev$=0$। প্রজেক্ট Y-এর ফলাফল ৫০% সম্ভাবনায় $\$50{,}000$ ও ৫০% সম্ভাবনায়
          $-\$10{,}000$ — EV একই $\$20{,}000$, কিন্তু std dev অনেক বেশি। দুটোর EV সমান হলেও Y অনেক বেশি
          ঝুঁকিপূর্ণ — শুধু EV দেখলে এই পার্থক্য ধরা পড়ে না।
        

      

    


    

      
        প্র ০৩
        যদি "মোস্ট-লাইকলি" দৃশ্যকল্পের সম্ভাব্যতা ০.৫০ থেকে বাড়িয়ে ০.৭০ করা হয় (এবং বাকি দুটো কমিয়ে
        ০.১৫ করে সমান রাখা হয়), EV কি বাড়বে না কমবে?
      
      

        

          মোস্ট-লাইকলি দৃশ্যকল্পের PW ($\$22{,}000$) EV-এর কাছাকাছিই আছে, তাই তার সম্ভাব্যতা বাড়ালে EV খুব বেশি
          বদলাবে না — তবে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন উল্লেখযোগ্যভাবে কমবে, কারণ চরম দৃশ্যকল্পগুলোর (পেসিমিস্টিক,
          অপ্টিমিস্টিক) ওজন কমে গেছে। এটি দেখায় সম্ভাব্যতার বণ্টন EV-এর চেয়ে ঝুঁকির উপর বেশি প্রভাব ফেলতে পারে।
        

      

    

  


  

    
 অনুশীলন

    
    
      
  1. 
        চিন্তা করুন: একজন প্রকল্প ব্যবস্থাপক শুধু "মোস্ট-লাইকলি" দৃশ্যকল্পের ($\$22{,}000$) উপর
        ভিত্তি করে সিদ্ধান্ত নিতে চান, EV ($\$24{,}000$) না দেখে। এই পদ্ধতির সমস্যা কী?
        
    
          
          
    
            
    
              শুধু "মোস্ট-লাইকলি" দৃশ্যকল্প দেখলে অপ্টিমিস্টিক ও পেসিমিস্টিক দৃশ্যকল্পের সম্ভাব্যতা ও প্রভাব
              সম্পূর্ণ উপেক্ষিত হয়ে যায়। EV এই তিনটি দৃশ্যকল্পের সম্ভাব্যতা-ভারিত প্রভাব একসাথে ধরে, যা দীর্ঘমেয়াদে
              বহুবার একই ধরনের সিদ্ধান্ত নিলে গড়ে সবচেয়ে সঠিক প্রত্যাশিত ফলাফল দেয় — একটিমাত্র দৃশ্যকল্প নয়।
            
    
          
    
        
    
      
    2. 
      
  2. 
        পরীক্ষা করুন: উপরের কোড সেলে outcomes-এর অপ্টিমিস্টিক মান
        60000-কে 100000-এ বদলে Run চেপে দেখুন — নতুন EV ও std dev কত হয়?
        
    
          
          
    
            
    
              নতুন $EV = 0.25 \times (-8000) + 0.50 \times 22000 + 0.25 \times 100000 = -2000+11000+25000=
              \$34{,}000$ — আগের $\$24{,}000$ থেকে বেড়ে যায়। std dev-ও উল্লেখযোগ্যভাবে বাড়বে, কারণ অপ্টিমিস্টিক
              ফলাফল এখন EV থেকে আরও দূরে — অর্থাৎ বেশি সম্ভাব্য রিটার্নের সাথে বেশি অনিশ্চয়তাও এসেছে।
            
    
          
    
        
    
      
    3. 
    

  


  

    
 আরও পড়ুন · ABCL TECH-এ আপনার পরবর্তী পদক্ষেপ

    
  







  
  
     এই পাঠে ভুল পেয়েছেন? জানান
  





  
    
 আগের পাঠ

    
রিস্কের অধীনে ডিসিশন ট্রি