ডট প্রোডাক্ট ও কোসাইন সিমিলারিটি

১ · ডট প্রোডাক্টের সংজ্ঞা — বীজগাণিতিক রূপ

একই মাত্রার দুটি ভেক্টর $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$-এর ডট প্রোডাক্ট (স্ক্যালার প্রোডাক্টও বলা হয়) সংজ্ঞায়িত হয় প্রতিটি জোড়া উপাদান গুণ করে, তারপর সব গুণফল যোগ করে:

লক্ষ্য করুন — ইনপুট দুটো ভেক্টর, কিন্তু আউটপুট একটি একক স্কেলার (সংখ্যা)। যেমন $\mathbf{u}=(1,2,3)$ এবং $\mathbf{v}=(4,-1,2)$ হলে:

পাঠ ০২-এ আমরা দেখেছি $\mathbf{w}^T\mathbf{x}$ ঠিক এই একই গণনা বোঝায় — ম্যাট্রিক্স নোটেশনে একটি রো ভেক্টর ($\mathbf{w}^T$) ও একটি কলাম ভেক্টরের ($\mathbf{x}$) গুণফল। এই কারণেই একটি নিউরনের গণনা $z=\mathbf{w}^T\mathbf{x}+b$ (পাঠ ০১-এ দেখা) আসলে একটি ডট প্রোডাক্ট, তারপর একটি স্কেলার বায়াস যোগ।

২ · জ্যামিতিক অর্থ — $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos\theta$

ডট প্রোডাক্টের শুধু একটা বীজগাণিতিক সূত্র নয় — এর একটা গভীর জ্যামিতিক অর্থও আছে। যদি $\theta$ হয় $\mathbf{u}$ ও $\mathbf{v}$-এর মধ্যকার কোণ, তাহলে:

এখানে $\|\mathbf{u}\|$ ও $\|\mathbf{v}\|$ হলো ভেক্টরদুটির দৈর্ঘ্য (নর্ম — সম্পূর্ণ কভার হবে পাঠ ০৫-এ)। এই সূত্রটি কসাইন সূত্র (Law of Cosines) থেকে আসে: ত্রিভুজের তিন বাহু $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ ও $\mathbf{u}-\mathbf{v}$ বিবেচনা করে $\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^2$ দুইভাবে বিস্তৃত করলে (বীজগাণিতিকভাবে এবং কসাইন সূত্র দিয়ে) এই সমীকরণ বেরিয়ে আসে। এখান থেকে বোঝা যায়:

• $\theta=0°$ (একই দিক) হলে $\cos\theta=1$ — ডট প্রোডাক্ট সর্বোচ্চ ধনাত্মক (দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান)।
• $\theta=90°$ (লম্ব) হলে $\cos\theta=0$ — ডট প্রোডাক্ট শূন্য।
• $\theta=180°$ (বিপরীত দিক) হলে $\cos\theta=-1$ — ডট প্রোডাক্ট সর্বোচ্চ ঋণাত্মক।

অর্থাৎ ডট প্রোডাক্টের চিহ্ন (sign) সরাসরি বলে দেয় দুটি ভেক্টর মোটামুটি একই দিকে, বিপরীত দিকে, নাকি লম্বভাবে অবস্থান করছে।

৩ · অর্থোগোনালিটি (Orthogonality)

উপরের সূত্র থেকে সরাসরি একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল আসে: দুটি অ-শূন্য ভেক্টর অর্থোগোনাল (পরস্পর লম্ব) হয় ঠিক তখনই যখন তাদের ডট প্রোডাক্ট শূন্য হয় — কারণ $\cos 90°=0$।

পাঠ ০৩-এর স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ভেক্টরগুলো এর একটি ভালো উদাহরণ: $\mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2 = (1)(0)+(0)(1)=0$, তাই $\mathbf{e}_1$ ও $\mathbf{e}_2$ পরস্পর অর্থোগোনাল — যা জ্যামিতিকভাবেও স্বাভাবিক, কারণ এরা যথাক্রমে $x$ ও $y$ অক্ষ বরাবর, যা পরস্পরের সাথে ৯০° কোণে থাকে।

৪ · কোসাইন সিমিলারিটি

উপরের জ্যামিতিক সূত্র থেকে $\cos\theta$-কে বিচ্ছিন্ন করলে পাওয়া যায় কোসাইন সিমিলারিটি:

এটি দুটি ভেক্টরের মধ্যকার কোণের কোসাইন — যার মান সবসময় $[-1, 1]$-এর মধ্যে থাকে। $1$ মানে হুবহু একই দিক (সর্বোচ্চ মিল), $0$ মানে অর্থোগোনাল (সম্পর্কহীন), $-1$ মানে সম্পূর্ণ বিপরীত দিক।

কেন এটি শুধু ডট প্রোডাক্টের চেয়ে বেশি উপযোগী? কারণ ডট প্রোডাক্ট $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$-এর মান দৈর্ঘ্যের উপরও নির্ভরশীল — দুটো ভেক্টর ঠিক একই দিকে থাকলেও, একটি লম্বা হলে ডট প্রোডাক্ট বড় দেখাবে। কিন্তু ভাগ করে $\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ দিয়ে নরমালাইজ করলে দৈর্ঘ্যের প্রভাব বাতিল হয়ে যায় — শুধু "দিকের মিল" থেকে যায়। এই কারণেই NLP-তে দুটি শব্দ বা ডকুমেন্টের embedding ভেক্টর তুলনা করতে সবসময় কোসাইন সিমিলারিটি ব্যবহার করা হয়, কাঁচা ডট প্রোডাক্ট নয় — একটি ছোট বাক্য ও একটি লম্বা ডকুমেন্টের embedding-এর "মাত্রা" ভিন্ন হতে পারে, কিন্তু তাদের বিষয়বস্তু কাছাকাছি হলে কোসাইন সিমিলারিটি এখনও উচ্চ থাকবে।

৫ · কোড দিয়ে দেখুন — NumPy-তে ডট প্রোডাক্ট ও কোসাইন সিমিলারিটি

নিচে দুটি সাধারণ ভেক্টর নিয়ে ডট প্রোডাক্ট ও কোসাইন সিমিলারিটি হিসাব করে দেখানো হলো — লক্ষ্য করুন একই দিকের কাছাকাছি দুটি ভেক্টরের কোসাইন সিমিলারিটি ১-এর কাছাকাছি হয়।

import numpy as np

def cosine_similarity(u, v):
    dot = np.dot(u, v)
    norm_u = np.linalg.norm(u)
    norm_v = np.linalg.norm(v)
    return dot / (norm_u * norm_v)

u = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
v = np.array([4.0, -1.0, 2.0])

print("u . v =", np.dot(u, v))                 # ডট প্রোডাক্ট -> 8.0
print("cosine similarity(u, v) =", cosine_similarity(u, v))

# একই দিকের কাছাকাছি দুটি ভেক্টর -> সিমিলারিটি ১-এর কাছাকাছি
a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
b = np.array([2.0, 4.0, 6.1])   # প্রায় a-এর স্কেলার গুণ
print("cosine similarity(a, b) =", cosine_similarity(a, b))

# অর্থোগোনাল ভেক্টর -> সিমিলারিটি ০
print("cosine similarity(e1, e2) =",
      cosine_similarity(np.array([1.0, 0.0]), np.array([0.0, 1.0])))