নিউটন-রাফসন মেথড

১ · নিউটন-রাফসনের ধারণা — ট্যানজেন্ট লাইন ব্যবহার করা

L06-এ আমরা দেখেছি ফিক্সড-পয়েন্ট ইটারেশনের সাফল্য নির্ভর করে g(x)-এর ঢালের উপর — রুটের কাছে g'(x) যত ছোট, তত দ্রুত কনভারজেন্স। নিউটন-রাফসন মেথডNewton-Raphson methodপ্রতি ধাপে বর্তমান বিন্দুতে ফাংশনের ট্যানজেন্ট লাইন টেনে, সেই লাইনটি কোথায় x-অক্ষ ছেদ করে তাকে পরবর্তী অনুমান হিসেবে নেওয়ার মেথড — সূত্র: x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)। মূলত এই ধারণাটিকে চরম পর্যায়ে নিয়ে যায়: এটি এমন একটি g(x) বেছে নেয় যাতে রুটের কাছে g'(x) ≈ 0 হয় — অর্থাৎ প্রায় ইনস্ট্যান্ট কনভারজেন্স।

জ্যামিতিকভাবে ধারণাটি সরল: বর্তমান অনুমান x_n-এ ফাংশনের ট্যানজেন্ট (স্পর্শক) লাইন আঁকো, তারপর সেই সরলরেখাটি কোথায় x-অক্ষ অতিক্রম করে সেটাই পরবর্তী অনুমান x_{n+1} ধরো। যেহেতু একটি ভালো-আচরণ ফাংশন রুটের কাছে প্রায় তার ট্যানজেন্ট লাইনের মতোই আচরণ করে, এই "লাইন দিয়ে অনুমান" পদ্ধতি খুব দ্রুত প্রকৃত রুটের কাছে পৌঁছে যায়।

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

২ · কোয়াড্রেটিক কনভারজেন্স — একই সমীকরণে

L05 ও L06-এর মতো একই সমীকরণ f(x) = x³ - x - 2 ব্যবহার করা যাক, যার f'(x) = 3x² - 1। শুরুর অনুমান x₀ = 1.2 থেকে নিউটন-রাফসন প্রয়োগ করলে:

reference_root = 1.5213797068045678

def f(x):
    return x**3 - x - 2

def fprime(x):
    return 3 * x**2 - 1

x = 1.2
print(f"{'ইটার':>4} {'x':>16} {'f(x)':>14} {'এরর':>16}")
errors = []
for i in range(1, 8):
    fx = f(x)
    fpx = fprime(x)
    x_new = x - fx / fpx
    err = abs(x_new - reference_root)
    errors.append(err)
    print(f"{i:4d} {x_new:16.10f} {fx:+14.8f} {err:16.12f}")
    x = x_new

print()
print("=== কোয়াড্রেটিক কনভারজেন্স যাচাই: err[i] বনাম err[i-1]^2 ===")
for i in range(1, 4):
    prev, cur = errors[i-1], errors[i]
    print(f"err[{i}] = {cur:.3e}   err[{i-1}]^2 = {prev**2:.3e}   অনুপাত = {cur/(prev**2):.4f}")

৩ · একটি প্রকৃত ব্যর্থতা — ডেরিভেটিভ শূন্যের কাছাকাছি

নিউটন-রাফসনের সূত্রে f'(x_n) হর (denominator)-এ থাকে — তাই f'(x_n) শূন্যের কাছাকাছি হলে ধাপটি বিশাল হয়ে যেতে পারে, রুট থেকে অনেক দূরে "লাফ" দিতে পারে। আমাদের ফাংশন f'(x) = 3x² - 1 = 0 হয় যখন x = ±1/√3 ≈ ±0.5774। শুরুর অনুমান x₀ = 0.58 নিলে (এই বিন্দুর খুব কাছে) কী ঘটে দেখা যাক — কোডে একটি ম্যাগনিটিউড-ক্যাপ ও একটি সর্বোচ্চ-ইটারেশন-সংখ্যা রাখা হয়েছে যাতে সেলটি নিরাপদে থামে।

import math

def f(x):
    return x**3 - x - 2

def fprime(x):
    return 3 * x**2 - 1

x = 0.58  # f'(x) প্রায় শূন্য, এই বিন্দুর কাছে
print(f"শুরুর বিন্দু x0 = {x}, যেখানে f'(x0) = {fprime(x):.6f} (প্রায় শূন্য)")
print()
print(f"{'ইটার':>4} {'x':>18} {'f(x)':>16} {'fprime(x)':>14}")

MAX_ITER = 8
CAP = 1e15
for i in range(1, MAX_ITER + 1):
    fx = f(x)
    fpx = fprime(x)
    if abs(fpx) < 1e-10:
        print(f"{i:4d}  ডেরিভেটিভ ~০ ({fpx:.2e}) -- নিউটন ধাপ অসংজ্ঞায়িত, থামানো হলো")
        break
    x_new = x - fx / fpx
    print(f"{i:4d} {x_new:18.6f} {fx:+16.8f} {fpx:14.8f}")
    if not math.isfinite(x_new) or abs(x_new) > CAP:
        print("      ... মান cap ছাড়িয়ে গেছে বা অসীম, মেথড ব্যর্থ হয়েছে, থামানো হলো")
        break
    x = x_new