সেকেন্ট মেথড ও রেগুলা ফালসি

১ · সেকেন্ট মেথড — ডেরিভেটিভ ছাড়াই নিউটনের গতি

L07-এ আমরা দেখেছি নিউটন-রাফসনের গতি আসে ডেরিভেটিভ f'(x) ব্যবহার করে, কিন্তু বাস্তবে অনেক ফাংশনের ডেরিভেটিভ বিশ্লেষণাত্মকভাবে (analytically) বের করা কঠিন বা ব্যয়বহুল হতে পারে। সেকেন্ট মেথডSecant methodনিউটন-রাফসনের ডেরিভেটিভকে দুটি সাম্প্রতিক বিন্দুর মধ্য দিয়ে টানা একটি সিকান্ট লাইনের ঢাল দিয়ে আনুমানিক করে রুট খোঁজার মেথড — প্রতি ধাপে সর্বশেষ দুটি অনুমান ব্যবহার করে। এই সমস্যা সমাধান করে — ডেরিভেটিভের বদলে সর্বশেষ দুটি বিন্দু (x_{n-1}, f(x_{n-1})) ও (x_n, f(x_n))-এর মধ্য দিয়ে একটি সরলরেখা (সিকান্ট লাইন) টেনে, তার ঢালকে ডেরিভেটিভের আনুমানিক মান হিসেবে ব্যবহার করে:

$$x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$$

লক্ষ্য করুন এই সূত্রটি নিউটন-রাফসনের সূত্রের মতোই দেখতে, শুধু f'(x_n)-এর জায়গায় (f(x_n) - f(x_{n-1})) / (x_n - x_{n-1}) — যা ঠিক ডেরিভেটিভের সংজ্ঞার একটি আনুমানিক রূপ (ফাইনাইট ডিফারেন্স, M5-এ বিস্তারিত)। সেকেন্ট মেথড শুরু করতে দুটি প্রাথমিক অনুমান প্রয়োজন (নিউটনের একটির বদলে), এবং এটি বাইসেকশনের মতো ব্র্যাকেট বজায় রাখার প্রয়োজন নেই।

২ · সরাসরি তুলনা — নিউটন-রাফসন বনাম সেকেন্ট

একই সমীকরণ f(x) = x³ - x - 2-এ, একই টলারেন্স 10⁻⁸ পর্যন্ত, নিউটন-রাফসন (x₀ = 1.2 থেকে) ও সেকেন্ট মেথড (x₀ = 1.0, x₁ = 1.2 থেকে) একসাথে চালিয়ে দেখা যাক:

def f(x):
    return x**3 - x - 2

def fprime(x):
    return 3 * x**2 - 1

TOL = 1e-8

print("=== নিউটন-রাফসন (x0=1.2) ===")
x = 1.2
nr_iters = None
for i in range(1, 20):
    fx = f(x)
    x_new = x - fx / fprime(x)
    if abs(x_new - x) < TOL:
        nr_iters = i
        x = x_new
        break
    x = x_new
print(f"নিউটন-রাফসন {TOL} টলারেন্সে পৌঁছাল {nr_iters} ইটারেশনে, x = {x:.10f}")

print()
print("=== সেকেন্ট মেথড (x0=1.0, x1=1.2) ===")
x0, x1 = 1.0, 1.2
sec_iters = None
for i in range(1, 20):
    f0, f1 = f(x0), f(x1)
    x2 = x1 - f1 * (x1 - x0) / (f1 - f0)
    if abs(x2 - x1) < TOL:
        sec_iters = i
        x1 = x2
        break
    x0, x1 = x1, x2
print(f"সেকেন্ট {TOL} টলারেন্সে পৌঁছাল {sec_iters} ইটারেশনে, x = {x1:.10f}")

print()
print(f"সারসংক্ষেপ: নিউটন-রাফসন = {nr_iters} ইটারেশন, সেকেন্ট = {sec_iters} ইটারেশন")
print(f"নিউটন-রাফসন প্রতি ধাপে ১টি ডেরিভেটিভ গণনা করে; সেকেন্ট একটিও করে না, শুধু f(x) গণনা করে")

৩ · রেগুলা ফালসি — বাইসেকশনের নিরাপত্তা + সেকেন্টের ধারণা

রেগুলা ফালসিRegula Falsi / False Position methodবাইসেকশনের মতো একটি বৈধ ব্র্যাকেট (চিহ্ন-বিপরীত ইন্টারভাল) বজায় রেখে, কিন্তু মধ্যবিন্দুর বদলে সেকেন্ট লাইনের x-অক্ষ-ছেদ বিন্দু ব্যবহার করে পরবর্তী অনুমান বেছে নেওয়ার মেথড। বাইসেকশনের নিরাপত্তা রাখতে চায় (সবসময় একটি বৈধ, চিহ্ন-বিপরীত ব্র্যাকেট বজায় রাখে) কিন্তু মাঝবিন্দুর বদলে সেকেন্ট লাইনের x-অক্ষ-ছেদ বিন্দু ব্যবহার করে — ধারণাটি হলো, যদি ফাংশন একদিকে অন্যদিকের চেয়ে অনেক বেশি "খাড়া" হয়, মধ্যবিন্দু নেওয়ার চেয়ে সেই ঢাল ব্যবহার করা আরও ভালো অনুমান দিতে পারে।

reference_root = 1.5213797068045678
TOL = 1e-8

def f(x):
    return x**3 - x - 2

a, b = 1.0, 2.0
fa, fb = f(a), f(b)
print(f"{'ইটার':>4} {'x':>16} {'f(x)':>14}")

x_prev = None
rf_iters = None
for i in range(1, 25):
    x = b - fb * (b - a) / (fb - fa)
    fx = f(x)
    print(f"{i:4d} {x:16.10f} {fx:+14.10f}")
    if x_prev is not None and abs(x - x_prev) < TOL:
        rf_iters = i
        break
    if fa * fx < 0:
        b, fb = x, fx
    else:
        a, fa = x, fx
    x_prev = x

print()
print(f"রেগুলা ফালসি {TOL} টলারেন্সে পৌঁছাল {rf_iters} ইটারেশনে, x = {x:.10f}")
print(f"রেফারেন্স মূলের বিপরীতে প্রকৃত এরর: {abs(x - reference_root):.2e}")