IVP ও অয়লার মেথড

১ · Initial Value Problem (IVP) কী

M5 পর্যন্ত আমরা যেসব সমস্যা দেখেছি — রুট খোঁজা, লিনিয়ার সিস্টেম সমাধান, ইন্টিগ্রাল গণনা — সবগুলোতে লক্ষ্য ছিল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা বা কয়েকটি সংখ্যা বের করা। এখন থেকে আমরা এমন সমস্যা সমাধান করব যেখানে লক্ষ্য একটি সম্পূর্ণ ফাংশন — একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণডিফারেনশিয়াল সমীকরণএমন একটি সমীকরণ যেখানে একটি ফাংশন তার নিজের ডেরিভেটিভের (পরিবর্তনের হার) সাথে সম্পর্কযুক্ত — যেমন dy/dx = f(x, y)। "ডেরিভেটিভ" ও এর অর্থ সম্পর্কে বিস্তারিত ../math-for-ai/-এ আছে। (differential equation) সমাধান করে। একটি Initial Value Problem হলো একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, যার সাথে একটি নির্দিষ্ট শুরুর বিন্দু দেওয়া আছে:

অর্থাৎ: আমরা জানি y কোথা থেকে শুরু করে (y₀, বিন্দু x₀-তে), এবং প্রতিটি বিন্দুতে y কত দ্রুত ও কোন দিকে বদলাচ্ছে তা f(x, y) দিয়ে জানা আছে — কিন্তু y(x)-এর প্রকৃত সূত্রটি অজানা, এবং সেটাই খুঁজে বের করতে হবে (বা অন্তত, নির্দিষ্ট বিন্দুতে এর মান আনুমানিক করতে হবে)। বাস্তব-বিশ্বে এই ধরনের সমস্যা সর্বত্র — জনসংখ্যা বৃদ্ধি, তেজস্ক্রিয় ক্ষয়, স্প্রিং-এর দোলন, তাপ ছড়ানো, রোগের সংক্রমণ মডেল — এদের প্রায় সবগুলোই "কোনো কিছুর পরিবর্তনের হার অন্য কিছুর উপর নির্ভরশীল" আকারে লেখা হয়, এবং বেশিরভাগেরই কোনো সহজ বীজগাণিতিক ক্লোজড-ফর্ম সমাধান নেই।

২ · অয়লার মেথড — সবচেয়ে সরল সলভার

অয়লার মেথডের ধারণা সহজ: যদি আমরা জানি বর্তমান বিন্দু (x_n, y_n)-তে বক্রের ঢাল (স্লোপ) ঠিক কত (f(x_n, y_n)), তাহলে একটি ছোট দূরত্ব h এগোলে বক্রটি প্রায় সেই ট্যানজেন্ট রেখা বরাবরই থাকবে — যতক্ষণ h যথেষ্ট ছোট। এটাই একটি সাধারণ রৈখিক আনুমানিকতা (linear/tangent-line approximation), যেমনটা আমরা M5-এ ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা থেকে দেখেছি। এখান থেকে সরাসরি আপডেট সূত্র বের হয়:

প্রতিটি ধাপে: বর্তমান স্লোপ গণনা করো, সেই স্লোপ দিয়ে h দূরত্ব এগোও, নতুন বিন্দুতে পৌঁছাও — তারপর আবার একই কাজ করো। এটি অত্যন্ত সরল কিন্তু (আমরা L28-এ দেখব) তুলনামূলকভাবে কম নির্ভুল, কারণ প্রতিটি ধাপে বক্রের প্রকৃত বক্রতা (curvature) সম্পূর্ণ উপেক্ষা করা হয় — শুধু শুরুর বিন্দুর ঢালই ব্যবহার করা হয়, পুরো ধাপ জুড়ে।

৩ · সত্যিকারের ডেমো — টেস্ট সমীকরণ dy/dx = -y

এই মডিউল জুড়ে (L27–L30) আমরা একটি নির্দিষ্ট টেস্ট IVP ব্যবহার করব যার একটি জানা, ক্লোজড-ফর্ম সমাধান আছে — যাতে প্রতিটি মেথডের প্রকৃত এরর সরাসরি গণনা করে দেখানো যায়:

নিচের কোড সেলে অয়লার মেথড হাতে-লেখা একটি লুপ হিসেবে বাস্তবায়ন করা হয়েছে, h = 0.5 ব্যবহার করে x = 0 থেকে x = 2 পর্যন্ত, এবং প্রতিটি ধাপে প্রকৃত ক্লোজড-ফর্ম মান (math.exp(-x)) এর সাথে তুলনা করে প্রকৃত এরর প্রিন্ট করা হয়েছে।

import math

def f(x, y):
    return -y            # dy/dx = -y

def exact(x):
    return math.exp(-x)  # জানা ক্লোজড-ফর্ম সমাধান

def euler(h, x0=0.0, y0=1.0, xend=2.0):
    xs, ys = [x0], [y0]
    x, y = x0, y0
    n = round((xend - x0) / h)
    for i in range(n):
        y = y + h * f(x, y)
        x = x + h
        xs.append(x)
        ys.append(y)
    return xs, ys

print("h = 0.5 দিয়ে dy/dx = -y, y(0) = 1 সমাধান:")
print(f"{'x':>6} | {'y_euler':>10} | {'y_exact':>10} | {'|error|':>10}")
xs, ys = euler(0.5)
for x, y in zip(xs, ys):
    err = abs(y - exact(x))
    print(f"{x:>6.2f} | {y:>10.6f} | {exact(x):>10.6f} | {err:>10.6f}")

৪ · ছোট step size ব্যবহার করলে কী হয়

স্বাভাবিকভাবেই মনে হতে পারে — h ছোট করলে কি এরর কমবে? নিচের কোড সেলে h = 0.5 ও h = 0.1 তুলনা করা হয়েছে, শুধু চূড়ান্ত বিন্দু (x = 2) এর মান দেখিয়ে।

print("চূড়ান্ত বিন্দু x = 2 এ Euler বনাম exact:")
print(f"{'h':>6} | {'y_euler(2)':>12} | {'exact(2)':>10} | {'|error|':>10}")
for h in [0.5, 0.1]:
    xs, ys = euler(h)
    yf = ys[-1]
    ex = exact(2.0)
    print(f"{h:>6} | {yf:>12.6f} | {ex:>10.6f} | {abs(yf - ex):>10.6f}")