অয়লার মেথডের এরর অ্যানালাইসিস

১ · লোকাল ট্রাংকেশন এরর — এক ধাপের ভুল

L27-এ আমরা দেখেছি অয়লার মেথড প্রকৃত সমাধান বক্র y(x)-কে একটি সরলরেখা (ট্যানজেন্ট লাইন) দিয়ে আনুমানিক করে। প্রকৃত সমাধানের টেলর সিরিজ সম্প্রসারণ লিখলে বোঝা যায় ঠিক কতটা তথ্য এই আনুমানিকতায় বাদ পড়ে:

অয়লার মেথড শুধু প্রথম দুটি পদ রাখে (y(x_n) + h·y'(x_n), যেখানে y'(x_n) = f(x_n, y_n)) — বাকি সবকিছু ট্রাংকেট (কেটে ফেলা) করে দেয়। যে পদটি সবচেয়ে বড় ও প্রথম বাদ পড়ে সেটি হলো h²/2 · y''(x_n) — তাই এক ধাপের লোকাল ট্রাংকেশন এরর হলো O(h²) (স্থির y''-এর মাত্রার সমানুপাতিক)।

২ · গ্লোবাল এরর — সব ধাপের যোগফল

একটি নির্দিষ্ট ইন্টারভাল [x₀, x_end] কভার করতে ধাপ সংখ্যা n = (x_end - x₀) / h — অর্থাৎ h ছোট করলে ধাপ সংখ্যা 1/h অনুপাতে বাড়ে। যদি প্রতিটি ধাপে O(h²) এরর যোগ হয়, এবং প্রায় 1/h-সংখ্যক ধাপ থাকে, তাহলে (আনুমানিকভাবে, ধরে নিয়ে এররগুলো একই দিকে জমা হয়) মোট গ্লোবাল এরর:

এই কারণেই অয়লার মেথডকে প্রথম-ক্রম (first-order) মেথড বলা হয় — গ্লোবাল এরর h-এর সাথে (আনুমানিকভাবে) সরলরৈখিকভাবে সমানুপাতিক। এই যুক্তিটি একটি ফরমাল প্রমাণ নয় (সেটি Lipschitz কন্ডিশন ও একটি বাউন্ডিং আর্গুমেন্ট লাগে, যা এই কোর্সের পরিধির বাইরে) — কিন্তু এটি সঠিক মাত্রার (order) ইঙ্গিত দেয়, এবং নিচে আমরা সরাসরি কম্পিউটেড ডেটা দিয়ে এটি যাচাই করব।

৩ · সত্যিকারের যাচাই — ছয়টি step size-এ কম্পিউটেড এরর

L27-এর মতো একই টেস্ট IVP (dy/dx = -y, y(0) = 1, y(x) = e⁻ˣ) ব্যবহার করে, নিচের কোড সেলে h-কে বারবার অর্ধেক করে (0.4 → 0.2 → 0.1 → ...) প্রতিবার চূড়ান্ত বিন্দু (x = 2) এ প্রকৃত এরর গণনা করা হয়েছে, এবং পরপর দুটি এররের অনুপাত প্রিন্ট করা হয়েছে।

import math

def f(x, y):
    return -y

def exact(x):
    return math.exp(-x)

def euler(h, x0=0.0, y0=1.0, xend=2.0):
    x, y = x0, y0
    n = round((xend - x0) / h)
    for i in range(n):
        y = y + h * f(x, y)
        x = x + h
    return y

hs = [0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.0125]
print(f"{'h':>8} | {'y_euler(2)':>12} | {'|error|':>12} | {'ratio prev/curr':>16}")
prev_err = None
for h in hs:
    yf = euler(h)
    err = abs(yf - exact(2.0))
    ratio = (prev_err / err) if prev_err is not None else float('nan')
    ratio_str = f"{ratio:.3f}" if prev_err is not None else "  --  "
    print(f"{h:>8} | {yf:>12.6f} | {err:>12.6f} | {ratio_str:>16}")
    prev_err = err