ইমপ্রুভড অয়লার / হয়েনের মেথড

১ · সমস্যা — অয়লার শুধু শুরুর ঢাল ব্যবহার করে

L28-এ আমরা দেখেছি অয়লার মেথডের এরর O(h) কারণ এটি পুরো ধাপ জুড়ে শুধু শুরুর বিন্দুর ঢাল (f(x_n, y_n)) ব্যবহার করে, যখন প্রকৃত বক্রের ঢাল ধাপের ভেতর ক্রমাগত বদলাতে থাকে। একটি সহজ উন্নতি হলো — ধাপের দুই প্রান্তের ঢালের গড় ব্যবহার করা, যাতে বক্রতা আংশিকভাবে ধরা পড়ে। সমস্যা হলো, ধাপের শেষ বিন্দুর প্রকৃত ঢাল জানতে হলে সেই বিন্দুর y-মান আগে থেকেই জানা দরকার — যা এখনো গণনা করা হয়নি। এই সমস্যার সমাধান করে হয়েনের মেথড।

২ · হয়েনের মেথড — প্রেডিক্টর-করেক্টর

হয়েনের মেথড দুই ধাপে কাজ করে:

প্রথমে সাধারণ অয়লার মেথড দিয়ে একটি প্রাথমিক অনুমান ỹ_{n+1} বানানো হয় (predictor), তারপর সেই আনুমানিক বিন্দুতে ঢাল গণনা করে শুরুর ঢালের সাথে গড় করে চূড়ান্ত আপডেট (corrector) করা হয়। এটি প্রতি ধাপে f-কে দুইবার মূল্যায়ন করে (অয়লারের একবারের বদলে) — সামান্য বেশি হিসাব, কিন্তু দেখা যাক তার বিনিময়ে কত বেশি নির্ভুলতা পাওয়া যায়।

৩ · সত্যিকারের তুলনা — একই টেস্ট IVP-তে অয়লার বনাম হয়েন

L27–L28-এর একই টেস্ট IVP (dy/dx = -y, y(0) = 1, y(x) = e⁻ˣ) ব্যবহার করে, নিচের কোড সেলে অয়লার ও হয়েন দুটি মেথডই একই h-মানগুলোতে চালিয়ে x = 2-এ চূড়ান্ত এরর সরাসরি পাশাপাশি তুলনা করা হয়েছে।

import math

def f(x, y):
    return -y

def exact(x):
    return math.exp(-x)

def euler(h, x0=0.0, y0=1.0, xend=2.0):
    x, y = x0, y0
    n = round((xend - x0) / h)
    for i in range(n):
        y = y + h * f(x, y)
        x = x + h
    return y

def heun(h, x0=0.0, y0=1.0, xend=2.0):
    x, y = x0, y0
    n = round((xend - x0) / h)
    for i in range(n):
        k1 = f(x, y)
        y_pred = y + h * k1          # predictor (অয়লার ধাপ)
        k2 = f(x + h, y_pred)        # অনুমিত বিন্দুর ঢাল
        y = y + (h / 2) * (k1 + k2)  # corrector (গড় ঢাল)
        x = x + h
    return y

ex = exact(2.0)
hs = [0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.0125]
print(f"{'h':>8} | {'err_euler':>12} | {'err_heun':>12} | {'euler/heun':>10}")
for h in hs:
    ee = abs(euler(h) - ex)
    eh = abs(heun(h) - ex)
    print(f"{h:>8} | {ee:>12.6f} | {eh:>12.6f} | {ee / eh:>10.2f}")

৪ · দ্বিতীয়-ক্রম কনভারজেন্স যাচাই — h অর্ধেক করলে এরর চতুর্থাংশ

L28-এর মতোই, এখানে হয়েনের নিজস্ব এরর ধারাবাহিকভাবে h অর্ধেক করে পরীক্ষা করা হয়েছে, এবং পরপর দুটি এররের অনুপাত প্রিন্ট করা হয়েছে — এবার প্রত্যাশা ২ নয়, বরং ৪ (কারণ O(h²)-এ h অর্ধেক মানে এরর (1/2)² = 1/4)।

print(f"{'h':>8} | {'err_heun':>14} | {'ratio prev/curr':>16}")
prev_err = None
for h in hs:
    err = abs(heun(h) - ex)
    ratio = (prev_err / err) if prev_err is not None else None
    ratio_str = f"{ratio:.3f}" if ratio is not None else "  --  "
    print(f"{h:>8} | {err:>14.8f} | {ratio_str:>16}")
    prev_err = err