ফরওয়ার্ড ও ব্যাকওয়ার্ড এরর অ্যানালাইসিস

১ · ফরওয়ার্ড এরর — "আমার উত্তর কতটা ভুল?"

কোনো সমস্যার প্রকৃত (কিন্তু হয়তো অজানা) সমাধান x* এবং আমাদের অ্যালগরিদমের কম্পিউটেড উত্তর x̂ হলে, ফরওয়ার্ড এররForward errorকম্পিউটেড উত্তর ও প্রকৃত উত্তরের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব — |x̂ - x*|। হলো সবচেয়ে স্বজ্ঞাত (intuitive) এরর ধারণা — সরাসরি দূরত্ব:

$$ e_{\text{forward}} = |\hat{x} - x^*| $$

এটি ঠিক সেই প্রশ্নের উত্তর দেয় যা আমরা সবচেয়ে বেশি জানতে চাই — "আমার উত্তর কতটা সঠিক?" — কিন্তু একটি বড় সমস্যা আছে: এটি গণনা করতে x* জানা লাগে, যা বাস্তবে প্রায় কখনোই সরাসরি জানা থাকে না (যদি জানা থাকত, তাহলে সমস্যাটা সমাধান করারই দরকার হতো না!)।

২ · ব্যাকওয়ার্ড এরর — "আমি আসলে কোন সমস্যাটা সমাধান করেছি?"

ব্যাকওয়ার্ড এররBackward errorকম্পিউটেড উত্তর x̂-কে ঠিক/নিখুঁত সমাধান বানাতে মূল সমস্যাটিকে কতটা পার্টার্ব (সামান্য পরিবর্তন) করতে হতো, তার পরিমাপ। ভিন্ন প্রশ্ন করে — "আমার কম্পিউটেড উত্তর x̂-টা যদি সঠিক ধরে নিই, তাহলে সেটা ঠিক কোন সমীকরণের নিখুঁত সমাধান?" রুট-ফাইন্ডিং সমস্যা f(x) = 0-এর ক্ষেত্রে, যদি f(x̂) ≠ 0 হয়, তাহলে x̂ আসলে f(x) = δ সমীকরণের নিখুঁত সমাধান, যেখানে δ = f(x̂)। তাই:

$$ e_{\text{backward}} = |f(\hat{x})| $$

এটাকে বলা যায় "মূল সমস্যাটাকে কতটা নাড়ালে আমার উত্তর নিখুঁত হয়ে যেত।" এর সবচেয়ে বড় সুবিধা — f(x̂) গণনা করতে x* জানার দরকার নেই, শুধু x̂ ফাংশনে বসিয়ে দিলেই হয়। এই কারণেই বাস্তব সংখ্যাসূচক সফটওয়্যার প্রায়ই ব্যাকওয়ার্ড এরর (residual) দেখেই "কনভার্জ করেছে" বলে সিদ্ধান্ত নেয়।

৩ · একটি সত্যিকারের ডেমো — Newton-Raphson দিয়ে x³ - x - 2 = 0

নিচের কোড সেলে f(x) = x³ - x - 2 সমীকরণটি Newton-Raphson (M2/L07) দিয়ে সমাধান করা হয়েছে x₀ = 1.2 থেকে শুরু করে। প্রথমে ১০০টি ইটারেশন চালিয়ে একটি অতি-নির্ভুল "রেফারেন্স" মূল বের করা হয়েছে (এটাকেই আমরা x* ধরে নিচ্ছি), তারপর মাত্র কয়েকটি ইটারেশন চালিয়ে প্রতি ধাপে উভয় এরর — ব্যাকওয়ার্ড (|f(x)|) ও ফরওয়ার্ড (|x - x*|) — সত্যিই গণনা করে প্রিন্ট করা হয়েছে।

import math

def f(x):
    return x**3 - x - 2

def fprime(x):
    return 3 * x**2 - 1

# রেফারেন্স "প্রকৃত" মূল বের করতে ১০০টি Newton ইটারেশন চালাই (উচ্চ নির্ভুলতা)
x = 1.5
for _ in range(100):
    x = x - f(x) / fprime(x)
true_root = x
print(f"রেফারেন্স মূল x* (১০০ ইটারেশন পর) = {true_root:.10f}")
print()

# এখন মাত্র কয়েকটি ইটারেশন চালিয়ে প্রতি ধাপে backward ও forward error দুটোই মাপি
x0 = 1.2
x = x0
print(f"{'ইটার':>4} | {'x (বর্তমান অনুমান)':>20} | {'backward |f(x)|':>18} | {'forward |x-x*|':>18}")
for i in range(1, 7):
    fx = f(x)
    backward_err = abs(fx)
    forward_err = abs(x - true_root)
    print(f"{i:>4} | {x:>20.10f} | {backward_err:>18.10f} | {forward_err:>18.10f}")
    x = x - fx / fprime(x)

৪ · ফরওয়ার্ড ও ব্যাকওয়ার্ড এররের সম্পর্ক — কন্ডিশনিং

লক্ষ্য করার মতো বিষয়, backward error আর forward error সরাসরি সমান নয় কেন? উত্তরটা ফাংশনের ঢাল (derivative)-এর সাথে সম্পর্কিত। যদি রুটের কাছাকাছি ফাংশনটি খুব খাড়া হয় (|f'(x*)| বড়), তাহলে ছোট একটা backward error-ও ছোট forward error-এ পরিণত হয় — কারণ x-অক্ষে সামান্য নড়াচড়াতেই f(x)-এর মান অনেকখানি বদলে যায়। বিপরীতভাবে, ফাংশনটি যদি রুটের কাছে প্রায় সমতল হয় (|f'(x*)| ছোট), একই backward error অনেক বড় forward error-এ পরিণত হতে পারে — এটাই ইল-কন্ডিশনড (ill-conditioned) রুট (M1/L04-এ conditioning নিয়ে বিস্তারিত)। প্রথম মাত্রার (linear) আনুমানিকতায়:

$$ e_{\text{forward}} \approx \frac{e_{\text{backward}}}{|f'(x^*)|} $$

নিচের কোড সেলে এই সম্পর্কটা সত্যিকারের সংখ্যা দিয়ে যাচাই করা হয়েছে।

import math

def f(x):
    return x**3 - x - 2

def fprime(x):
    return 3 * x**2 - 1

x = 1.5
for _ in range(100):
    x = x - f(x) / fprime(x)
true_root = x

# ২টি Newton ইটারেশনের পর আমরা যেখানে পৌঁছাই
x0 = 1.2
x = x0
for _ in range(2):
    x = x - f(x) / fprime(x)
computed = x

backward_err = abs(f(computed))
forward_err = abs(computed - true_root)
fprime_at_root = fprime(true_root)
predicted_forward = backward_err / abs(fprime_at_root)

print(f"২ ইটারেশন পর computed x           = {computed:.10f}")
print(f"backward error  |f(computed)|      = {backward_err:.10f}")
print(f"প্রকৃত forward error |computed-x*|  = {forward_err:.10f}")
print(f"f'(x*)                             = {fprime_at_root:.10f}")
print(f"পূর্বাভাসিত forward = backward/|f'(x*)| = {predicted_forward:.10f}")