সেনসিটিভিটি অ্যানালাইসিস ও মন্টে কার্লো এরর এস্টিমেশন

১ · সেনসিটিভিটি অ্যানালাইসিস কী এবং কেন এটি দরকার

বাস্তব-বিশ্বের ইনপুট কখনোই একদম নিখুঁত হয় না — একটি মাপা দৈর্ঘ্য, একটি সেন্সর রিডিং, একটি অনুমিত প্যারামিটার — সবকিছুতেই কিছু না কিছু অনিশ্চয়তা (uncertainty) থাকে। প্রশ্ন হলো — এই ছোট ইনপুট-অনিশ্চয়তা একটি গণনার মধ্য দিয়ে গিয়ে আউটপুটে কতটা অনিশ্চয়তা তৈরি করে? এটাই সেনসিটিভিটি অ্যানালাইসিসSensitivity analysisইনপুটের একটি ছোট পরিবর্তন/অনিশ্চয়তা, একটি গণনার আউটপুটে কতটা পরিবর্তন/অনিশ্চয়তা তৈরি করে তার পদ্ধতিগত অধ্যয়ন। — L50-এ আমরা একটি একক রুট-ফাইন্ডিং সমস্যায় এই ধারণা দেখেছি (ডেরিভেটিভ দিয়ে); এই পাঠে সেই ধারণাটাকে আরও সাধারণ, বাস্তবসম্মত পরিস্থিতিতে প্রসারিত করা হচ্ছে, যেখানে ফাংশনটি জটিল হতে পারে বা ডেরিভেটিভ হাতে বের করা কঠিন হতে পারে।

২ · মন্টে কার্লো এরর এস্টিমেশন — সিমুলেশন দিয়ে সেনসিটিভিটি মাপা

মন্টে কার্লো পদ্ধতিMonte Carlo methodএলোমেলো (random) স্যাম্পলিং বহুবার পুনরাবৃত্তি করে একটি গাণিতিক ফলাফল আনুমানিকভাবে বের করার পরিসংখ্যানগত কৌশল। -এর ধারণাটা সরল: গাণিতিক ডেরিভেটিভ বা বদ্ধ-ফর্ম সূত্র ছাড়াই, শুধু ইনপুটকে বহুবার এলোমেলোভাবে পার্টার্ব করে (একটি বাস্তবসম্মত অনিশ্চয়তা-বিতরণ থেকে স্যাম্পল করে, যেমন গসিয়ান/নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন), প্রতিবার আউটপুট গণনা করে, তারপর সেই আউটপুটগুলোর প্রকৃত স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন মাপা — এটাই আউটপুটের অনিশ্চয়তার একটি বাস্তবসম্মত অনুমান। ধাপগুলো:

ফিক্সড সিড (random.seed(42)) ব্যবহার করা জরুরি — এটি নিশ্চিত করে প্রতিবার কোড চালালে ঠিক একই এলোমেলো স্যাম্পলগুলো তৈরি হয়, ফলাফল রিপ্রোডিউসিবল (পুনরুৎপাদনযোগ্য) থাকে, যা ডিবাগিং ও তুলনার জন্য অপরিহার্য।

৩ · ডেমো ১ — একটি দোলকের (pendulum) দোলনকাল-এ দৈর্ঘ্য-অনিশ্চয়তার প্রভাব

একটি সরল দোলকের দোলনকাল (period) নির্ভর করে তার দৈর্ঘ্য L-এর বর্গমূলের উপর:

$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} $$

ধরা যাক আমরা L মাপি 2.0 মিটার হিসেবে, কিন্তু মাপার যন্ত্রের অনিশ্চয়তা (স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন) 0.05 মিটার। নিচের কোড সেলে L-কে ১০,০০০ বার random.gauss দিয়ে পার্টার্ব করে প্রতিবার T গণনা করা হয়েছে, এবং ফলাফলের real mean ও stdev বের করা হয়েছে — তুলনার জন্য ডেরিভেটিভ-ভিত্তিক (অ্যানালিটিক্যাল) আনুমানিক সূত্রও পাশাপাশি গণনা করা হয়েছে।

import random
import statistics
import math

def pendulum_period(L, g=9.8):
    return 2 * math.pi * math.sqrt(L / g)

L_nominal = 2.0        # মিটার
L_uncertainty = 0.05    # মাপার অনিশ্চয়তা (stdev, মিটার)

random.seed(42)  # ফিক্সড সিড -- রিপ্রোডিউসিবিলিটির জন্য
N = 10000
outputs = []
for _ in range(N):
    L_sample = random.gauss(L_nominal, L_uncertainty)
    outputs.append(pendulum_period(L_sample))

mean_T = statistics.mean(outputs)
stdev_T = statistics.stdev(outputs)
nominal_T = pendulum_period(L_nominal)

print(f"নমিনাল T (L = {L_nominal} এ)        = {nominal_T:.10f}")
print(f"মন্টে কার্লো mean T ({N} স্যাম্পল)   = {mean_T:.10f}")
print(f"মন্টে কার্লো stdev T                = {stdev_T:.10f}")
print()

# তুলনার জন্য: ডেরিভেটিভ-ভিত্তিক আনুমানিক (অ্যানালিটিক্যাল) সেনসিটিভিটি
dT_dL = math.pi / math.sqrt(L_nominal * 9.8)
predicted_stdev = abs(dT_dL) * L_uncertainty
print(f"dT/dL (নমিনাল L-এ)                  = {dT_dL:.10f}")
print(f"পূর্বাভাসিত stdev = |dT/dL| * L_uncertainty = {predicted_stdev:.10f}")
print()

rel_input = L_uncertainty / L_nominal
rel_output = stdev_T / mean_T
print(f"আপেক্ষিক ইনপুট অনিশ্চয়তা (L_uncertainty/L)  = {rel_input:.6f}")
print(f"আপেক্ষিক আউটপুট অনিশ্চয়তা (stdev_T/mean_T) = {rel_output:.6f}")

৪ · ডেমো ২ — যখন সমীকরণ ইনপুট-অনিশ্চয়তা বাড়িয়ে দেয়

সব সমীকরণ ইনপুট-অনিশ্চয়তা কমায় না — কিছু সমীকরণ সেটাকে বাড়িয়ে দেয়। নিচের কোড সেলে ঠিক একই L_nominal ও L_uncertainty ব্যবহার করে, কিন্তু এবার V = L³ (যেমন একটি ঘনকের আয়তন, দৈর্ঘ্যের সাথে ঘন-সম্পর্কিত) গণনা করা হয়েছে।

import random
import statistics

def cube_volume(L):
    return L ** 3   # যেমন একটি ঘনকের আয়তন

L_nominal = 2.0
L_uncertainty = 0.05

random.seed(42)  # একই সিড, একই স্যাম্পল -- তুলনা ন্যায্য রাখতে
N = 10000
outputs = [cube_volume(random.gauss(L_nominal, L_uncertainty)) for _ in range(N)]

mean_V = statistics.mean(outputs)
stdev_V = statistics.stdev(outputs)
nominal_V = cube_volume(L_nominal)

print(f"নমিনাল V (L = {L_nominal} এ) = {nominal_V:.10f}")
print(f"মন্টে কার্লো mean V           = {mean_V:.10f}")
print(f"মন্টে কার্লো stdev V           = {stdev_V:.10f}")
print()

rel_input = L_uncertainty / L_nominal
rel_output = stdev_V / mean_V
print(f"আপেক্ষিক ইনপুট অনিশ্চয়তা  = {rel_input:.6f}")
print(f"আপেক্ষিক আউটপুট অনিশ্চয়তা = {rel_output:.6f}")
print(f"অনুপাত (আউটপুট/ইনপুট)     = {rel_output / rel_input:.6f}")