Physical layer — সংকেত, encoding, bandwidth আর Nyquist-Shannon

১ · Physical layer-এর কাজ — bit থেকে সংকেত

পর্ব ০৩-এ দেখেছেন, নেটওয়ার্ককে কয়েকটি স্তরে ভাগ করা হয়, আর প্রতিটি স্তর নিচের স্তরের সেবা নিয়ে ওপরের স্তরকে সেবা দেয়। সবচেয়ে নিচের স্তর — OSI মডেলের ১ নম্বর — হলো physical layer. ওপরের সব স্তর যত সুন্দর header-ই বানাক, শেষ পর্যন্ত একটি Ethernet frame বা Wi-Fi frame কিছু ০ আর ১-এর সারি মাত্র। তামার তার, কাচের fiber বা বাতাস ০ আর ১ চেনে না; চেনে শুধু ভোল্টেজ, আলো আর বেতার তরঙ্গ। Bit-কে এমন ভৌত signal-এ (সংকেতে) রূপ দেওয়া, আর অন্য প্রান্তে সংকেত থেকে আবার bit ফিরিয়ে আনা — এটাই physical layer-এর কাজ।

আরও নির্দিষ্টভাবে, physical layer যে বিষয়গুলো ঠিক করে দেয়:

• Bit-এর রূপ: কোন ভোল্টেজ, কোন আলোর তীব্রতা বা তরঙ্গের কোন অবস্থা মানে ০ আর কোনটি ১ (অংশ ৭ আর ৮)।
• Data rate: প্রতি সেকেন্ডে কত bit — অর্থাৎ প্রতিটি bit কত সময় ধরে থাকে। ১০০ Mbps-এ প্রতিটি bit মাত্র ১০ ns.
• Synchronization: প্রেরক আর প্রাপকের ঘড়ি একই তালে চলা, যাতে প্রাপক ঠিক মুহূর্তে সংকেত “পড়ে”।
• মাধ্যম আর সংযোগকারী: কোন তার, কোন connector, কত দূর পর্যন্ত — এগুলো পর্ব ০৮-এর বিষয়।
• দিক: একমুখী, পালাক্রমে দুইমুখী (half-duplex) নাকি একসাথে দুইমুখী (full-duplex).

Repeater আর hub দুর্বল সংকেত নতুন করে তৈরি করে সামনে পাঠায়; modem bit-কে ফোন লাইন বা কেবলের উপযোগী তরঙ্গে রূপ দেয়; আপনার ল্যাপটপের NIC-এর ভেতরে একটি আলাদা “PHY” চিপ এই কাজটুকুই করে। ঠিকানা দেখে পাঠানো শুরু হয় data link স্তর থেকে (পর্ব ১২)।

২ · Analog আর digital — ডেটা আর সংকেত দুটোই

“Analog” আর “digital” শব্দ দুটি দুই জায়গায় বসে — ডেটা-র ক্ষেত্রে আর সংকেত-এর ক্ষেত্রে। এই পার্থক্যটি পরিষ্কার না হলে পুরো পর্বটিই গুলিয়ে যায়।

• Analog ডেটা ধারাবাহিক — যেকোনো মান নিতে পারে। আপনার কণ্ঠস্বরের চাপ, ঘরের তাপমাত্রা, পুরোনো ঘড়ির কাঁটা।
• Digital ডেটা নির্দিষ্ট কিছু মানের — কম্পিউটারের ফাইল, এই লেখার প্রতিটি অক্ষর, bKash-এর লেনদেনের রেকর্ড।
• Analog signal সময়ের সাথে মসৃণভাবে বদলায় আর একটি পরিসরের ভেতরে অসীম সংখ্যক মান নিতে পারে — যেমন sine তরঙ্গ।
• Digital signal অল্প কয়েকটি নির্দিষ্ট স্তরের (level) মধ্যে লাফিয়ে লাফিয়ে বদলায় — যেমন +৫ V আর ০ V, বা চারটি ভিন্ন ভোল্টেজ।

ডেটা আর সংকেত স্বাধীনভাবে বাছা যায়, তাই চারটি সমন্বয় হয় — আর প্রতিটির জন্য আলাদা কৌশল:

Digital সংকেতের বড় সুবিধা হলো পুনর্গঠন: পথে কিছুটা noise মিশলেও প্রাপক শুধু ঠিক করে “এটা high না low?” — তারপর একদম পরিষ্কার নতুন সংকেত বানিয়ে সামনে পাঠাতে পারে। Analog সংকেতে noise একবার মিশলে আর আলাদা করা যায় না — পুরোনো দূরপাল্লার ফোনকল এজন্যই ঘষা ঘষা শোনাত।

৩ · Periodic সংকেতের পাঁচ বৈশিষ্ট্য

যে সংকেত একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর হুবহু নিজেকে পুনরাবৃত্তি করে, তাকে বলে periodic signal. সবচেয়ে মৌলিক periodic সংকেত হলো sine তরঙ্গ। একে পুরোপুরি বর্ণনা করতে তিনটি সংখ্যাই যথেষ্ট:

• Amplitude (A) — তরঙ্গের সর্বোচ্চ উচ্চতা; বৈদ্যুতিক সংকেতে ভোল্টে মাপা হয়। টর্চের উদাহরণে আলোর উজ্জ্বলতা।
• Frequency (f) — প্রতি সেকেন্ডে কতবার পুনরাবৃত্তি হয়; একক hertz (Hz). বাংলাদেশের বিদ্যুৎ সরবরাহ ৫০ Hz — সেকেন্ডে ৫০ বার দিক বদলায়।
• Period (T) — একবার পুনরাবৃত্তিতে কত সময়: T = ১/f. ৫০ Hz-এর period = ১/৫০ s = ২০ ms. উল্টো দিকে, period ১ µs হলে frequency ১ MHz.
• Phase (φ) — সময় শূন্যে তরঙ্গটি তার চক্রের কোন জায়গায় আছে; ডিগ্রি বা radian-এ মাপা। এক-চতুর্থাংশ period সরানো মানে ৯০°, অর্ধেক মানে ১৮০° — তখন তরঙ্গটি উল্টে যায়।
• Wavelength (λ) — এক period-এ সংকেত কত দূরত্ব এগোয়: λ = (মাধ্যমে সংকেতের গতি) / f. বাতাসে ২.৪ GHz Wi-Fi তরঙ্গের λ = ৩ × ১০^৮ ÷ ২.৪ × ১০^৯ = ১২.৫ cm; ৫ GHz-এর λ = ৬ cm. Antenna-র আকার wavelength-এর সাথে মিলিয়ে বানানো হয় — তাই Wi-Fi-র antenna ছোট।

৪ · Time domain, frequency domain আর Fourier

একটি সংকেতকে দুইভাবে আঁকা যায়। Time domain-এ x-অক্ষে সময়, y-অক্ষে মান — oscilloscope-এর পর্দায় যেমন দেখায়। Frequency domain-এ x-অক্ষে frequency, y-অক্ষে সেই frequency-র উপাদান কতটা শক্তিশালী — FM রেডিওর dial বা মোবাইলের equalizer অ্যাপের বার যেমন। একটি বিশুদ্ধ sine তরঙ্গ time domain-এ অনন্ত ঢেউ, কিন্তু frequency domain-এ মাত্র একটি দাগ।

উনিশ শতকের শুরুতে ফরাসি গণিতবিদ Joseph Fourier তাপ-প্রবাহ নিয়ে কাজ করতে গিয়ে একটি অসাধারণ ধারণা দেন: যেকোনো periodic সংকেতকে (যুক্তিসংগত শর্তে) বিভিন্ন frequency-র sine তরঙ্গের যোগফল হিসেবে লেখা যায়। এই যোগফলকে বলে Fourier series; মূল frequency f-এর পূর্ণ গুণিতক (২f, ৩f, …) উপাদানগুলোকে বলে harmonic. নেটওয়ার্কের জন্য সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হলো square wave — কারণ ১০১০১০… bit-এর সারি তারে ঠিক square wave-ই দেখায়। +১ আর −১-এর মধ্যে লাফানো square wave-এর Fourier series:

শুধু বিজোড় harmonic, আর n-তম harmonic-এর amplitude ৪/(nπ) — যত ওপরে, তত ছোট। প্রতিটি harmonic কতটা শক্তি বহন করে, আর কয়েকটি যোগ করলে কতটা square wave-এর মতো দেখায়, নিচের simulator তা ছাপায়:

// A square wave (+1 / -1, frequency f) as a sum of sine waves (Fourier series):
// x(t) = (4/pi) * [ sin(wt) + sin(3wt)/3 + sin(5wt)/5 + ... ]   (odd n only)
const amp = (n) => 4 / (Math.PI * n);           // amplitude of harmonic n
console.log("harmonic  freq   amplitude  power share  cumulative");
let cum = 0;
for (let n = 1; n <= 9; n += 2) {
  const share = (amp(n) ** 2 / 2) * 100;          // a sine of amplitude A has power A^2/2
  cum += share;                                   // the square wave's total power = 1
  console.log(`   ${n}      ${n}f`.padEnd(15) + amp(n).toFixed(3).padStart(8) +
    (share.toFixed(2) + "%").padStart(12) + (cum.toFixed(2) + "%").padStart(12));
}
// Partial sums: add harmonics 1, 3, 5 ... up to N and look at a few instants.
const S = (N, x) => {                             // x = t / T (fraction of a period)
  let s = 0;
  for (let n = 1; n <= N; n += 2) s += amp(n) * Math.sin(2 * Math.PI * n * x);
  return s;
};
const xs = [0.02, 0.05, 0.125, 0.25, 0.75];
console.log("\nup to n   " + xs.map((x) => ("t=" + x + "T").padStart(9)).join("") + "   peak");
for (const N of [1, 3, 5, 9, 49]) {
  let peak = 0;
  for (let i = 1; i < 5000; i++) peak = Math.max(peak, S(N, i / 10000));
  console.log(String(N).padEnd(10) + xs.map((x) => S(N, x).toFixed(3).padStart(9)).join("") +
    peak.toFixed(3).padStart(7));
}
console.log("ideal     " + xs.map((x) => (x < 0.5 ? "1.000" : "-1.000").padStart(9)).join(""));

harmonic  freq   amplitude  power share  cumulative
   1      1f      1.273      81.06%      81.06%
   3      3f      0.424       9.01%      90.06%
   5      5f      0.255       3.24%      93.31%
   7      7f      0.182       1.65%      94.96%
   9      9f      0.141       1.00%      95.96%

up to n     t=0.02T  t=0.05T t=0.125T  t=0.25T  t=0.75T   peak
1             0.160    0.393    0.900    1.273   -1.273  1.273
3             0.316    0.737    1.200    0.849   -0.849  1.200
5             0.465    0.991    1.020    1.103   -1.103  1.188
9             0.734    1.182    0.992    1.063   -1.063  1.182
49            0.903    1.041    1.000    1.013   -1.013  1.179
ideal         1.000    1.000    1.000    1.000   -1.000

Bandwidth (Hz) বনাম bit rate (bps) — সাবধান!

একটি composite সংকেতে যে frequency-গুলো আছে, তাদের সর্বোচ্চ আর সর্বনিম্নের পার্থক্যকে বলে সংকেতের bandwidth. একইভাবে একটি চ্যানেল (তার, বেতারের ব্যান্ড) যে পরিসরের frequency খুব বেশি না কমিয়ে পার হতে দেয়, সেটিই চ্যানেলের bandwidth — একক Hz. যেমন পুরোনো টেলিফোন লাইন মোটামুটি ৩০০ থেকে ৩,৪০০ Hz পার হতে দেয়: bandwidth ≈ ৩,১০০ Hz; অঙ্কে সাধারণত ৩,০০০ Hz ধরা হয়।

অন্যদিকে পর্ব ০৫-এ “bandwidth” বলতে বুঝিয়েছি link-এর সর্বোচ্চ data rate — একক bps. দৈনন্দিন কথায় আর ISP-র বিজ্ঞাপনে এই দ্বিতীয় অর্থই চলে। দুটি অর্থ সম্পর্কিত, কিন্তু এক নয়: একটি bit rate, অন্যটি frequency-র পরিসর। ওপরের Fourier-এর হিসাব দুটিকে জোড়ে: N bps-এ ১০১০… পাঠালে প্রতি দুই bit-এ এক period, তাই মূল frequency N/২ Hz.

• উদাহরণ: ১ Mbps-এ ১০১০… পাঠাতে মূল frequency ৫০০ kHz. শুধু ১ম harmonic রাখলে চ্যানেলের অন্তত ৫০০ kHz bandwidth লাগে; ৩য় আর ৫ম harmonic-ও রাখতে চাইলে ২.৫ MHz পর্যন্ত (৫ × ৫০০ kHz).
• অর্থাৎ bandwidth বেশি → দ্রুত বদলানো সংকেত পার হয় → bit rate বাড়ানো যায়। কতটা বাড়ানো যায়, তার সঠিক উত্তর দেয় অংশ ৬-এর Nyquist আর Shannon.

৫ · সংকেত দুর্বল হয় — attenuation, distortion, noise আর dB

তারে বা বাতাসে চলতে চলতে সংকেতের তিন রকম ক্ষতি হয়। তিনটি আলাদা করে চেনা জরুরি, কারণ প্রতিটির প্রতিকার আলাদা।

(ক) Attenuation আর decibel

Attenuation মানে শক্তি হারানো — তারের রোধে কিছু শক্তি তাপ হয়ে যায়, বেতার তরঙ্গ চারদিকে ছড়িয়ে পাতলা হয়। প্রতিকার: পথে amplifier বা repeater বসানো। শক্তি কতটা কমল বা বাড়ল, তা মাপা হয় decibel (dB) এককে:

এখানে P_১ শুরুর শক্তি, P_২ শেষের। ঋণাত্মক dB মানে ক্ষতি, ধনাত্মক মানে লাভ। লগারিদমে ধারাবাহিক অংশের গুণফল যোগফল হয়ে যায় — হিসাব সহজ।

• উদাহরণ ১: ১০ mW সংকেত তার পেরিয়ে ৫ mW হলো। ১০ log_১০(৫/১০) = ১০ × (−০.৩০১) = −৩.০১ dB. অর্থাৎ “−৩ dB” মানে প্রায় অর্ধেক শক্তি — মুখস্থ রাখার মতো সংখ্যা।
• উদাহরণ ২: একটি amplifier ১ mW-কে ১০০ mW করে: ১০ log_১০(১০০) = +২০ dB.
• উদাহরণ ৩ (ধারাবাহিক অংশ): সংকেত তিনটি অংশ পার হয় — তার (−৩ dB), amplifier (+৭ dB), আবার তার (−৩ dB). মোট = −৩ + ৭ − ৩ = +১ dB. শুরুতে ২ mW থাকলে শেষে ২ × ১০^০.১ ≈ ২.৫২ mW. গুণ-ভাগের বদলে শুধু যোগ — এটাই dB-এর জাদু।
• উদাহরণ ৪: ভালো single-mode fiber-এ ১,৫৫০ nm আলোর ক্ষতি সাধারণত প্রায় ০.২ dB/km. ১০০ km-এ −২০ dB, অর্থাৎ শক্তি ১০^−২ = ১%-এ নামে — তাই দূরপাল্লার fiber-এ নির্দিষ্ট দূরত্ব পরপর optical amplifier বসে।

অনেক সময় শক্তিকে ১ mW-এর তুলনায় dB-তে বলা হয় — এর নাম dBm: P_dBm = ১০ log_১০(P / ১ mW). ১০০ mW = ২০ dBm. আপনার ফোনের Wi-Fi সেটিংসে যে “−৭০ dBm” দেখেন, তা ১০^−৭ mW = ০.১ nW — router-এর পাঠানো শক্তির কোটি ভাগের এক ভাগেরও কম! তবু ফোন সেটি পড়তে পারে। (ভোল্টেজের অনুপাতের জন্য সূত্রে ২০ log_১০ বসে, কারণ শক্তি ভোল্টেজের বর্গের সমানুপাতিক।)

(খ) Distortion

Distortion মানে সংকেতের আকার বিকৃত হওয়া। অংশ ৪-এ দেখেছেন, একটি square wave অনেক frequency-র যোগফল। মাধ্যমে প্রতিটি frequency যদি সামান্য আলাদা গতিতে চলে বা আলাদা পরিমাণে দুর্বল হয়, ওপারে পৌঁছে সেগুলোর phase আর অনুপাত বদলে যায় — যোগফল আর আগের আকারে থাকে না, একটি bit পাশের bit-এর ঘাড়ে গিয়ে পড়ে। প্রতিকার: প্রাপকের দিকে “equalizer”.

(গ) Noise আর SNR

Noise হলো সংকেতের সাথে মিশে যাওয়া অনাকাঙ্ক্ষিত শক্তি। প্রধান ধরন: thermal noise (ইলেকট্রনের এলোমেলো নড়াচড়া — কখনো পুরো দূর করা যায় না), induced noise (মোটর, বিদ্যুতের লাইন), crosstalk (পাশের তারের সংকেত) আর impulse noise (বজ্রপাতের মতো হঠাৎ ধাক্কা)।

এই অনুপাতের নামই SNR (signal-to-noise ratio):

উদাহরণ: সংকেতের শক্তি ১০ mW, noise ১ µW. SNR = ১০^−২ ÷ ১০^−৬ = ১০,০০০; SNR_dB = ১০ × ৪ = ৪০ dB. উল্টো দিকে, SNR_dB = ৩৬ হলে SNR = ১০^৩.৬ ≈ ৩,৯৮১. কয়েকটি জোড়া মনে রাখলে ক্যালকুলেটর ছাড়াই আন্দাজ করতে পারবেন:

৬ · Baud, bit rate আর চ্যানেলের সর্বোচ্চ গতি — Nyquist আর Shannon

Symbol, baud আর bit rate

প্রেরক তারে যে ক্ষুদ্রতম একক পাঠায় — একটি নির্দিষ্ট ভোল্টেজ কিছুক্ষণ, বা নির্দিষ্ট amplitude-phase-এর একটি তরঙ্গাংশ — তাকে বলে symbol বা signal element. প্রতি সেকেন্ডে কতগুলো symbol যায়, তা baud rate (একক baud). সংকেত যদি L-টি আলাদা স্তর নিতে পারে, প্রতিটি symbol বহন করে log_২L bit:

উদাহরণ: একটি সংকেত প্রতি symbol-এ ৪ bit বহন করে (L = ১৬), আর প্রতি সেকেন্ডে ১,০০০ symbol পাঠায়। bit rate = ১,০০০ × ৪ = ৪,০০০ bps, কিন্তু baud মাত্র ১,০০০. দুই স্তরের সংকেতে (L = ২) baud আর bit rate সমান। চ্যানেলের bandwidth আসলে ঠিক করে baud-এর সীমা; bit rate বাড়ানো যায় প্রতি symbol-এ বেশি bit ভরে।

Nyquist — noise ছাড়া চ্যানেলের সীমা

১৯২৮ সালে বেল ল্যাবসের Harry Nyquist দেখান, B Hz bandwidth-এর একটি চ্যানেল দিয়ে প্রতি সেকেন্ডে সর্বোচ্চ ২B-টি স্বাধীন symbol পাঠানো যায়। যুক্তির মূল কথা: সবচেয়ে দ্রুত বদলানো symbol-সারি হলো high-low-high-low…; প্রতি দুই symbol-এ এক period, তাই এর মূল frequency S/২. চ্যানেল B-এর বেশি frequency পার হতে না দিলে এই মূল frequency-কেই অন্তত পার হতে হবে: S/২ ≤ B, অর্থাৎ S ≤ ২B. (অংশ ৪-এ দেখেছেন, শুধু মূল frequency পৌঁছালেও high আর low আলাদা চেনা যায়।) প্রতিটি symbol-এ log_২L bit বসালে:

• ৩,০০০ Hz লাইন, দুই স্তর (L = ২): ২ × ৩,০০০ × ১ = ৬,০০০ bps. চার স্তর (L = ৪): ২ × ৩,০০০ × ২ = ১২,০০০ bps.
• উল্টো প্রশ্ন (ক্লাসিক অঙ্ক): ২০ kHz bandwidth-এর noise-হীন চ্যানেলে ২৬৫ kbps পাঠাতে কত স্তর লাগবে? ২৬৫,০০০ = ২ × ২০,০০০ × log_২L → log_২L = ৬.৬২৫ → L = ২^{৬.৬২৫} ≈ ৯৮.৭. স্তরের সংখ্যা ২-এর ঘাত হলে সুবিধা, তাই হয় ১২৮ স্তর নিয়ে ২৮০ kbps, নয়তো ৬৪ স্তর নিয়ে ২৪০ kbps-এ সন্তুষ্ট থাকতে হবে।

তাহলে L বাড়াতে থাকলেই তো অসীম গতি! সমস্যা হলো noise: স্তর যত বেশি, পাশাপাশি দুই স্তরের পার্থক্য তত সূক্ষ্ম, আর সামান্য noise-এই একটি স্তর অন্যটি বলে ভুল হয়। Nyquist-এর সূত্র noise নিয়ে কিছু বলে না — সেই প্রশ্নের উত্তর দেন Shannon.

Shannon — noise-সহ চ্যানেলের চূড়ান্ত সীমা

১৯৪৮ সালে Claude Shannon “A Mathematical Theory of Communication” প্রবন্ধে প্রমাণ করেন, noise-যুক্ত চ্যানেলের একটি সর্বোচ্চ ক্ষমতা আছে, যাকে বলে Shannon capacity:

যুক্তির স্বজ্ঞা (প্রমাণ নয়, কিন্তু খাতায় লেখার মতো): noise-এর গড় শক্তি N আর সংকেতের S হলে প্রাপকের কাছে মোট শক্তি S + N. Amplitude শক্তির বর্গমূলের সমানুপাতিক, তাই প্রাপক মোট amplitude-এর পরিসরকে noise-এর amplitude-এর আকারের প্রায় √((S + N)/N) = √(১ + SNR)-টি আলাদা খোপে ভাগ করতে পারে — এর বেশি স্তর হলে noise এক খোপ থেকে আরেক খোপে ঠেলে দেবে। এই M = √(১ + SNR) স্তর Nyquist-এর সূত্রে বসালে:

Shannon-এর আসল প্রমাণ আরও গভীর: তিনি দেখান, C-এর নিচে যেকোনো হারে পাঠানো সম্ভব এমনভাবে যাতে ভুলের সম্ভাবনা যত খুশি কমানো যায় (উপযুক্ত error-correcting code দিয়ে), আর C-এর ওপরে কোনো কৌশলেই তা সম্ভব নয়। সূত্রটি কোনো নির্দিষ্ট modulation বা code-এর কথা বলে না — এটি প্রকৃতির দেওয়া সীমা।

• SNR = ০ (শুধু noise): C = B log_২১ = ০ — যত bandwidth-ই থাকুক, কিছুই পাঠানো যায় না।
• টেলিফোন লাইন (ক্লাসিক): B = ৩,০০০ Hz, SNR = ৩,১৬২ (≈ ৩৫ dB). C = ৩,০০০ × log_২৩,১৬৩ = ৩,০০০ × ১১.৬২৭ ≈ ৩৪,৮৮১ bps ≈ ৩৪.৯ kbps. Dial-up modem-এর গতি কেন ৩৩.৬ kbps-এর আশেপাশে আটকে ছিল, এটাই তার ব্যাখ্যা (ভাবনার প্রশ্ন ১)।
• দুই সূত্র একসাথে (নকশার পদ্ধতি): B = ১ MHz, SNR = ৬৩. Shannon: C = ১০^৬ × log_২৬৪ = ৬ Mbps — ঊর্ধ্বসীমা। নিরাপদ ব্যবধান রেখে ৪ Mbps বেছে নিলে Nyquist দিয়ে স্তর: ৪ × ১০^৬ = ২ × ১০^৬ × log_২L → log_২L = ২ → L = ৪. Shannon বলে “কত পর্যন্ত”, Nyquist বলে “কীভাবে”।

SNR প্রায়ই dB-তে দেওয়া থাকে। নিচের stepper-এ একটি dB-প্রশ্ন শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত সমাধান করা হলো — B = ২ MHz, SNR_dB = ৩৬ dB:

নিচের calculator একসাথে কয়েকটি চ্যানেলের Nyquist rate, Shannon capacity আর একটি লক্ষ্য-গতির জন্য প্রয়োজনীয় স্তর (L = ২^R/২B) হিসাব করে:

// Nyquist (noiseless channel): R = 2 * B * log2(L)   [L signal levels]
// Shannon (noisy channel):     C = B * log2(1 + SNR) [SNR as a power ratio]
const kb = (bps) => (bps / 1e3).toFixed(2).padStart(10) + " kbps";
const cases = [
  // name,               B (Hz), SNR ratio,         L,  target bps
  ["Phone line",           3000, 3162,              2,  28800],
  ["Phone, 16 levels",     3000, 3162,              16, 33600],
  ["Noiseless 20 kHz",    20000, Infinity,          2,  265000],
  ["1 MHz, SNR 63",        1e6,  63,                4,  4e6],
  ["2 MHz, 36 dB",         2e6,  Math.pow(10, 3.6), 16, 16e6],
  ["Dead line, SNR 0",     3000, 0,                 2,  1000],
];
console.log("case".padEnd(20) + "B(Hz)".padStart(7) + "SNR dB".padStart(10) + "L".padStart(6) +
  "Nyquist".padStart(15) + "Shannon C".padStart(15) + "target".padStart(15) + "L needed".padStart(10));
for (const [name, B, snr, L, target] of cases) {
  const nyq = 2 * B * Math.log2(L);
  const C = B * Math.log2(1 + snr);
  const db = snr === Infinity ? "  inf" : snr === 0 ? " -inf" : (10 * Math.log10(snr)).toFixed(1).padStart(5);
  const need = Math.pow(2, target / (2 * B));        // L = 2^(R / 2B)
  const ok = target <= C ? "" : "  (above C!)";
  console.log(name.padEnd(20) + String(B).padStart(7) + db.padStart(10) +
    String(L).padStart(6) + kb(nyq) + (isFinite(C) ? kb(C) : "       no limit") +
    kb(target) + need.toFixed(1).padStart(10) + ok);
}

case                  B(Hz)    SNR dB     L        Nyquist      Shannon C         target  L needed
Phone line             3000      35.0     2      6.00 kbps     34.88 kbps     28.80 kbps      27.9
Phone, 16 levels       3000      35.0    16     24.00 kbps     34.88 kbps     33.60 kbps      48.5
Noiseless 20 kHz      20000       inf     2     40.00 kbps       no limit    265.00 kbps      98.7
1 MHz, SNR 63       1000000      18.0     4   4000.00 kbps   6000.00 kbps   4000.00 kbps       4.0
2 MHz, 36 dB        2000000      36.0    16  16000.00 kbps  23918.61 kbps  16000.00 kbps      16.0
Dead line, SNR 0       3000      -inf     2      6.00 kbps      0.00 kbps      1.00 kbps       1.1  (above C!)

৭ · Line coding — তারে bit কেমন দেখাবে

Digital ডেটাকে digital সংকেতে রূপ দেওয়ার নিয়মকে বলে line coding. “১ = high, ০ = low” — এর চেয়ে সহজ কী হতে পারে? কিন্তু এই সরল নিয়মের তিনটি গভীর সমস্যা আছে, আর প্রতিটি line code এগুলোর কোনো না কোনোটি সমাধান করে:

1. Synchronization (clock মেলানো): প্রাপক প্রতিটি bit-এর মাঝখানে সংকেত পড়ে। একটানা ১,০০০টি ০ এলে সংকেত পুরো সময় low — প্রাপক কি ঠিক ১,০০০ গুনবে, নাকি ঘড়ি সামান্য দ্রুত চলায় ১,০০১? সংকেতে নিয়মিত পরিবর্তন (transition) থাকলে প্রাপক প্রতিটি পরিবর্তনে নিজের ঘড়ি ঠিক করে নিতে পারে — একে বলে bit synchronization বা clock recovery. রোল কলে শিক্ষক প্রতিটি নাম ডাকলে গোনা সহজ; দশ মিনিট চুপ থাকলে কে কতবার উপস্থিত বলেছে গোনা অসম্ভব।
2. DC component: সংকেতের গড় মান শূন্য না হলে (যেমন অনেকক্ষণ শুধু high) একটি স্থির ভোল্টেজ উপাদান তৈরি হয়। অনেক লাইন transformer বা capacitor দিয়ে যুক্ত থাকে, যা স্থির (০ Hz) উপাদান পার হতে দেয় না — সংকেত বিকৃত হয়। প্রাপক সাধারণত সাম্প্রতিক গড় দেখে high/low-এর সীমারেখা ঠিক করে; একটানা একই মান এলে সেই গড় সরে যায় — একে বলে baseline wandering.
3. Bandwidth: বেশি transition মানে দ্রুত বদলানো সংকেত, অর্থাৎ বেশি bandwidth লাগে (অংশ ৪)। Clock-এর সুবিধা আর bandwidth-এর খরচ — এই দুইয়ের দাম-দরই line coding-এর গল্প।

প্রধান line code-গুলো

• NRZ-L (Non-Return-to-Zero Level): ভোল্টেজের স্তরই bit — এখানে ১ = high, ০ = low ধরছি (কিছু পাঠ্যবই উল্টো রীতি ধরে, অঙ্কে রীতিটি লিখে দেবেন)। লম্বা ০ বা লম্বা ১-এর সারিতে কোনো transition নেই — দুই দিকেই synchronization-এর সমস্যা।
• NRZ-I (NRZ Inverted): পরিবর্তনই bit — ১ এলে bit-এর শুরুতে স্তর উল্টায়, ০ এলে আগের স্তরেই থাকে। লম্বা ১-এর সারিতে প্রতি bit-এ transition, তাই সমস্যা অর্ধেক কমে; কিন্তু লম্বা ০-এর সারি এখনো সমতল।
• Manchester: প্রতিটি bit-এর মাঝখানে একটি বাধ্যতামূলক transition — তার দিকই bit. এই পর্বে IEEE 802.3 (Ethernet)-এর রীতি: ০ = high থেকে low, ১ = low থেকে high. ১৯৪৯ সালে G. E. Thomas-এর প্রকাশিত মূল রীতি ঠিক উল্টো (০ = low থেকে high). দুটিই বইয়ে পাবেন — উত্তরে রীতিটি লিখে দিন।
• Differential Manchester: মাঝখানে সবসময় transition (শুধু clock-এর জন্য); bit বোঝায় শুরুর জায়গা — ০ হলে bit-এর শুরুতে বাড়তি একটি transition, ১ হলে নেই। তারের দুই প্রান্ত উল্টে লাগালেও কাজ করে, কারণ দিক নয়, transition আছে কি না সেটাই তথ্য। IEEE 802.5 Token Ring এটি ব্যবহার করত।
• AMI (Alternate Mark Inversion, bipolar): তিনটি স্তর — ০ = শূন্য ভোল্ট, ১ = পালাক্রমে +V আর −V. গড় শূন্য, তাই DC component নেই; তবে লম্বা ০-এর সারিতে clock হারায়। T1 লাইনে এর সাথে B8ZS (আটটি ০-কে একটি বিশেষ নকশায় বদলানো) আর E1-এ HDB3 ব্যবহার হয়।
• 4B/5B: প্রতি ৪ bit ডেটাকে একটি টেবিল থেকে বাছা ৫ bit-এর code-এ বদলায়, যাতে পরপর তিনটির বেশি ০ কখনো না আসে; তারপর NRZ-I (100BASE-FX, FDDI) বা MLT-3 (100BASE-TX)-এর মতো code-এ পাঠায়। দাম ২৫% বাড়তি bit: ১০০ Mbps ডেটার জন্য তারে ১২৫ M symbol প্রতি সেকেন্ড। ১০০ Mbps Ethernet (100BASE-TX, 100BASE-FX) আর FDDI-তে ব্যবহৃত।

Bit-সারি 01001101-কে Manchester-এ বদলানো ধাপে ধাপে দেখুন। শুরুর আগে লাইন low ধরে নেওয়া হয়েছে; প্রতিটি bit দুই অর্ধেকে ভাগ, প্রতি অর্ধেক তিন অক্ষর চওড়া, আর উল্লম্ব দাগ মানে transition.

এবার একই bit-সারি চারটি code-এ পাশাপাশি আঁকা যাক — নিচের প্রোগ্রাম প্রতিটি নিয়ম ঠিক ওপরের সংজ্ঞা অনুযায়ী প্রয়োগ করে, ASCII-তে তরঙ্গ আঁকে, আর গুনে দেখায় কতগুলো transition (edges) আর কত শতাংশ সময় high:

// Line coding: the same bits under four schemes, drawn as ASCII waveforms.
// Rules: NRZ-L 1 = high, 0 = low.  NRZ-I: 1 = flip at bit start, 0 = no flip.
// Manchester (IEEE 802.3): 0 = high->low, 1 = low->high (flip in mid-bit).
// Differential Manchester: always flip mid-bit; 0 = extra flip at bit start.
const bits = "01001101";
function halves(scheme) {            // two half-bit levels per bit (1 = high)
  let lvl = 0;                       // the line is low before the first bit
  const out = [];
  for (const b of bits) {
    if (scheme === "NRZ-L") out.push(+b, +b);
    if (scheme === "NRZ-I") { if (b === "1") lvl ^= 1; out.push(lvl, lvl); }
    if (scheme === "Manchester") out.push(b === "1" ? 0 : 1, b === "1" ? 1 : 0);
    if (scheme === "Diff-Manch") { if (b === "0") lvl ^= 1; out.push(lvl, lvl ^ 1); lvl ^= 1; }
  }
  return out;
}
function draw(name) {
  const h = halves(name);
  let top = "", bot = "", prev = 0, edges = 0;
  h.forEach((v) => {
    const edge = v !== prev;         // the level changes here -> vertical edge
    if (edge) edges++;
    top += edge ? " " : (v ? "_" : " ");
    bot += edge ? "|" : (v ? " " : "_");
    top += v ? "__" : "  ";
    bot += v ? "  " : "__";
    prev = v;
  });
  const high = h.filter((v) => v).length * 100 / h.length;
  console.log(name.padEnd(11) + top);
  console.log("".padEnd(11) + bot + `  edges=${edges} high=${high}%`);
}
console.log("bits".padEnd(11) + [...bits].map((b) => `  ${b}   `).join(""));
for (const s of ["NRZ-L", "NRZ-I", "Manchester", "Diff-Manch"]) draw(s);

bits         0     1     0     0     1     1     0     1   
NRZ-L             _____             ___________       _____
           ______|     |___________|           |_____|       edges=5 high=50%
NRZ-I             _________________       ___________      
           ______|                 |_____|           |_____  edges=4 high=62.5%
Manchester  __       _____    __       __    _____       __
           |  |_____|     |__|  |_____|  |__|     |_____|    edges=11 high=50%
Diff-Manch  __       __    __    _____       __    _____   
           |  |_____|  |__|  |__|     |_____|  |__|     |__  edges=12 high=50%

৮ · Digital থেকে analog — ASK, FSK, PSK আর QAM

বেতার চ্যানেল আর টেলিফোন লাইন হলো bandpass চ্যানেল: শুধু একটি নির্দিষ্ট frequency-পরিসর পার হতে দেয় (যেমন Wi-Fi-র একটি চ্যানেল ২.৪ GHz-এর কাছে ২০ MHz চওড়া)। Line coding-এর square wave-এর শক্তি ০ Hz-এর কাছে, তাই এখানে সরাসরি চলে না। সমাধান: একটি উঁচু frequency-র sine তরঙ্গ — carrier — নেওয়া, আর bit অনুযায়ী তার amplitude, frequency বা phase বদলানো। একে বলে modulation; ওপারে উল্টো কাজটি demodulation — দুটি মিলে modem-এর নাম।

• ASK (Amplitude Shift Keying): bit অনুযায়ী amplitude বদলায়। সবচেয়ে সরল রূপ on-off keying — carrier আছে মানে ১, নেই মানে ০; অনেক fiber link-এ laser জ্বলা-নেভা ঠিক এভাবেই কাজ করে। Noise সরাসরি amplitude-এ লাগে, তাই একা ব্যবহারে দুর্বল।
• FSK (Frequency Shift Keying): ০ আর ১-এর জন্য দুটি আলাদা frequency. Noise-এ তুলনামূলক শক্ত, কিন্তু বেশি bandwidth খায়। প্রথম দিকের ৩০০ bps modem (Bell 103) FSK ব্যবহার করত; Bluetooth আজও FSK-এর একটি রূপ (GFSK) ব্যবহার করে।
• PSK (Phase Shift Keying): amplitude আর frequency স্থির, phase বদলায়। BPSK-তে ০° আর ১৮০° — প্রতি symbol-এ ১ bit. QPSK-তে চারটি phase (৪৫°, ১৩৫°, ২২৫°, ৩১৫°) — প্রতি symbol-এ ২ bit, একই bandwidth-এ দ্বিগুণ গতি।
• QAM (Quadrature Amplitude Modulation): amplitude আর phase দুটোই একসাথে বদলায়। দুটি carrier নেওয়া হয় — cos আর sin, পরস্পর ৯০° সরানো (একে বলে “quadrature”); একটির amplitude-কে বলে I, অন্যটির Q. প্রতিটি symbol হলো (I, Q) সমতলের একটি বিন্দু।

সব সম্ভাব্য বিন্দুর ছবিকে বলে constellation diagram. M-টি বিন্দু থাকলে প্রতি symbol-এ log_২M bit:

একটি ১৬-QAM symbol কীভাবে ৪টি bit বহন করে, ধাপে ধাপে দেখুন। এখানে I আর Q প্রত্যেকে চারটি মান নেয়: −৩, −১, +১, +৩; প্রথম দুই bit ঠিক করে I, শেষ দুই bit Q — Gray code অনুযায়ী (০০ → −৩, ০১ → −১, ১১ → +১, ১০ → +৩)।

বিন্দু যত বেশি, প্রতি symbol-এ তত বেশি bit — কিন্তু একই শক্তিতে বিন্দুগুলো তত কাছাকাছি, আর noise-এ ভুলের ঝুঁকি তত বেশি। Shannon এখানেও বিচারক: বেশি bit/symbol-এর জন্য বেশি SNR লাগে। তাই Wi-Fi আর মোবাইল নেটওয়ার্ক adaptive modulation করে — router-এর কাছে পরিষ্কার সংকেতে ২৫৬ বা ১০২৪-QAM, দূরের ঘরে বা দেয়ালের ওপারে নেমে আসে ১৬-QAM, QPSK বা BPSK-তে। Linux-এ iw কমান্ড দিয়ে এটি নিজের চোখে দেখা যায় (Wi-Fi কার্ডযুক্ত সাধারণ Linux ল্যাপটপের উদাহরণ; সংখ্যা আপনার যন্ত্রে আলাদা হবে):

$ iw dev wlan0 link
Connected to 02:1a:2b:3c:4d:5e (on wlan0)
	SSID: Home-5G
	freq: 5180
	signal: -52 dBm
	tx bitrate: 866.7 MBit/s VHT-MCS 9 80MHz short GI VHT-NSS 2
$ ethtool eth0 | grep -E 'Speed|Duplex'
	Speed: 1000Mb/s
	Duplex: Full

এখানে signal: -52 dBm বেশ শক্তিশালী সংকেত (অংশ ৫), তাই কার্ড বেছেছে VHT-MCS 9 — 802.11ac-এর সর্বোচ্চ ধাপ, অর্থাৎ ২৫৬-QAM — ৮০ MHz চ্যানেলে দুটি আলাদা ডেটা-ধারায় (NSS 2). একই ঘর থেকে দূরে সরে গেলে signal −৭৫ dBm-এর দিকে নামবে, আর MCS নম্বরও নামবে। পুরোনো iwconfig কমান্ড (wireless-tools) এখন অপ্রচলিত; আধুনিক Linux-এ iw ব্যবহার করুন। Windows-এ মোটামুটি একই তথ্য দেয় netsh wlan show interfaces.

৯ · Analog থেকে digital — PCM: sampling, quantization আর encoding

মোবাইলে কথা বললে আপনার কণ্ঠস্বর (analog) কোথাও না কোথাও bit-এ রূপ নেয়। সবচেয়ে প্রচলিত পদ্ধতি PCM (Pulse Code Modulation) — তিনটি ধাপ:

1. Sampling: নির্দিষ্ট সময় পরপর সংকেতের মান মাপা — প্রতি সেকেন্ডে f_s বার।
2. Quantization: প্রতিটি মাপা মানকে নির্দিষ্ট কয়েকটি স্তরের সবচেয়ে কাছেরটিতে বসানো। n bit ব্যবহার করলে L = ২ⁿ স্তর।
3. Encoding: প্রতিটি স্তরের নম্বরকে n-bit binary সংখ্যায় লেখা। তারপর সেই bit-সারি line coding বা modulation দিয়ে পাঠানো হয়।

কত ঘন ঘন sample নিতে হবে? — Nyquist sampling theorem

Nyquist sampling theorem বলে: সংকেতের সর্বোচ্চ frequency f_max হলে মূল সংকেত নিখুঁতভাবে ফিরে পেতে sampling rate হতে হবে f_s ≥ ২ × f_max. (এই তত্ত্ব Nyquist, Kotelnikov, Shannon প্রমুখের কাজ থেকে এসেছে; অংশ ৬-এর Nyquist bit rate-এর সাথে এর গাণিতিক আত্মীয়তা স্পষ্ট — দুটিতেই “২ × frequency”.) কম হারে sample নিলে উঁচু frequency নিচু frequency-র ছদ্মবেশে ধরা পড়ে — একে বলে aliasing. সিনেমায় দ্রুত ঘোরা গাড়ির চাকা উল্টো দিকে ঘুরছে মনে হওয়া এরই দৃশ্যমান রূপ। তাই sampling-এর আগে একটি filter দিয়ে f_s/২-এর ওপরের frequency কেটে ফেলা হয়।

Quantization — একটি ছোট অঙ্ক

ধরুন সংকেতের পরিসর −১ V থেকে +১ V, আর ৩ bit ব্যবহার করছি: L = ২^৩ = ৮ স্তর, প্রতি ধাপ Δ = ২ ÷ ৮ = ০.২৫ V. একটি sample-এর মান ০.৩৭ V. নিচ থেকে গুনলে খোপের নম্বর = ⌊(০.৩৭ + ১) ÷ ০.২৫⌋ = ⌊৫.৪৮⌋ = ৫ → binary 101. প্রাপক এটিকে খোপের মাঝখান −১ + ৫.৫ × ০.২৫ = ০.৩৭৫ V হিসেবে ফেরত বানায়; ভুল মাত্র ০.০০৫ V. এই অনিবার্য পার্থক্যকে বলে quantization noise. প্রতিটি বাড়তি bit স্তর দ্বিগুণ করে আর signal-to-quantization-noise ratio প্রায় ৬ dB বাড়ায়: পূর্ণ-পরিসরের sine-এর জন্য SQNR ≈ ৬.০২n + ১.৭৬ dB — ৮ bit-এ প্রায় ৪৯.৯ dB, ১৬ bit-এ প্রায় ৯৮.১ dB.

টেলিফোনের ৬৪ kbps আর CD-র ১,৪১১.২ kbps

• টেলিফোন: কণ্ঠস্বরকে প্রায় ৩,৪০০ Hz-এর নিচে filter করা হয়; নিরাপদ ব্যবধান রেখে f_max = ৪ kHz ধরে f_s = ২ × ৪,০০০ = ৮,০০০ sample/s. প্রতি sample ৮ bit → ৮,০০০ × ৮ = ৬৪,০০০ bps = ৬৪ kbps. এটিই ডিজিটাল টেলিফোন নেটওয়ার্কের একটি ভয়েস চ্যানেলের মৌলিক হার (DS0), আর ITU-T-র G.711 standard. সমান ধাপের বদলে লগারিদমিক ধাপ (উত্তর আমেরিকা ও জাপানে μ-law, অনেক অন্য দেশে A-law) ব্যবহার হয়, যাতে আস্তে কথা বললেও ভালো শোনায়।
• অডিও CD: মানুষ মোটামুটি ২০ kHz পর্যন্ত শুনতে পায়; CD-তে f_s = ৪৪.১ kHz, ১৬ bit, দুই চ্যানেল (stereo) → ৪৪,১০০ × ১৬ × ২ = ১৪,১১,২০০ bps ≈ ১.৪১ Mbps.

১০ · AI-এর যুগে physical layer-এর অঙ্ক

“B = 3 kHz, SNR = 30 dB, capacity কত?” — AI মুহূর্তে উত্তর দেবে, কিন্তু তার ভুলগুলো খুব চেনা ধরনের:

AI-এর উত্তর মানার আগে — চেকলিস্ট

• SNR সূত্রে অনুপাত হিসেবে বসেছে, dB হিসেবে নয় — নিজে ১০^dB/১০ করে দেখেছি
• log_২ ব্যবহার হয়েছে, আর B × SNR_dB/৩ দিয়ে আন্দাজ মিলেছে
• Nyquist-এর উত্তর Shannon-এর C ছাড়ায়নি; স্তরের সংখ্যা দরকার হলে ২-এর ঘাতে নিয়েছি
• Line coding-এ রীতি (যেমন IEEE 802.3 Manchester) লেখা আছে, আর অন্তত দুটি bit হাতে মিলিয়েছি
• ওপরের calculator-এ বা ক্যালকুলেটরে অন্তত একটি সংখ্যা আবার হিসাব করেছি; কমান্ড man page-এ যাচাই করেছি