ডিফারেন্স ইকুয়েশন ও ইমপালস রেসপন্স

১ · ডিফারেন্স ইকুয়েশন কী

একটি লিনিয়ার কনস্ট্যান্ট-কোয়েফিসিয়েন্ট ডিফারেন্স ইকুয়েশন (linear constant-coefficient difference equation) হলো একটি LTI সিস্টেম বর্ণনা করার সবচেয়ে সরাসরি উপায় — আউটপুট y[n]-কে ইনপুট x[n]-এর (এবং কখনো কখনো আউটপুটের নিজের আগের মানগুলোর, যেমন L13/M8-এ IIR সিস্টেমে) একটি সরল বীজগাণিতিক সমীকরণ হিসেবে লেখা হয়। এই পাঠে আমরা একটি সাধারণ উদাহরণ ব্যবহার করব:

লক্ষ্য করুন — এই ইকুয়েশনটি দেখতে ঠিক L09-এর h = [0.5, 0.5] ইমপালস রেসপন্সের সাথে কনভোলিউশনের মতোই! এটা কাকতালীয় নয় — নিচে আমরা দেখব কেন।

২ · একটি টেস্ট ইনপুটে সরাসরি প্রয়োগ

একটি ডিফারেন্স ইকুয়েশন প্রয়োগ করতে আমরা n = 0 থেকে শুরু করে ক্রমান্বয়ে প্রতিটি y[n] গণনা করি, ধরে নিই জিরো ইনিশিয়াল কন্ডিশন (x[-1] = 0, কারণ সিস্টেমটি "শুরুর আগে" কিছু দেখেনি)। নিচের কোড সেলে এই লজিকটি একটি টেস্ট সিগন্যাল x = [1, 3, 2, 5, 4, 0, -2, 1]-এর উপর সত্যিকারভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে।

def apply_difference_equation(x):
    """y[n] = 0.5*x[n] + 0.5*x[n-1], কজাল, জিরো ইনিশিয়াল কন্ডিশন x[-1] = 0"""
    y = []
    for n in range(len(x)):
        xn = x[n]
        xn_1 = x[n - 1] if n - 1 >= 0 else 0.0
        y.append(0.5 * xn + 0.5 * xn_1)
    return y

x = [1, 3, 2, 5, 4, 0, -2, 1]
y = apply_difference_equation(x)

print("x =", x)
print("y = 0.5*x[n] + 0.5*x[n-1] =", y)
print()
print(f"{'n':>3} | {'x[n]':>6} | {'x[n-1]':>7} | {'y[n]':>6}")
for n in range(len(x)):
    xn_1 = x[n-1] if n-1 >= 0 else 0
    print(f"{n:>3} | {x[n]:>6} | {xn_1:>7} | {y[n]:>6.2f}")

৩ · ইমপালস রেসপন্স ডেরাইভ করা

এখন প্রশ্ন — এই সিস্টেমের ইমপালস রেসপন্স h[n] কী? সংজ্ঞা অনুযায়ী, একটি ইউনিট ইমপালস \delta[n] = [1, 0, 0, 0, \ldots] ইনপুট দিলে যে আউটপুট পাওয়া যায়, সেটাই ইমপালস রেসপন্স। আমরা ঠিক একই ফাংশন ব্যবহার করব — শুধু ইনপুট হিসেবে এবার একটি ইউনিট ইমপালস দেব।

L = 8
impulse = [1.0] + [0.0] * (L - 1)     # ইউনিট ইমপালস: [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
h = apply_difference_equation(impulse)   # একই ফাংশন, শুধু ইনপুট বদলে গেছে

print("unit impulse =", impulse)
print("impulse response h[n] =", h)
print()
print(f"{'n':>3} | {'h[n]':>6}")
for n in range(L):
    print(f"{n:>3} | {h[n]:>6.2f}")