Z-ট্রান্সফর্মের বৈশিষ্ট্য

১ · লিনিয়ারিটি (Linearity)

Z-ট্রান্সফর্ম একটি লিনিয়ার অপারেশন — অর্থাৎ যদি $X(z) = Z\{x[n]\}$ এবং $W(z) = Z\{w[n]\}$ হয়, তাহলে যেকোনো ধ্রুবক $a, b$-এর জন্য:

এটি সরাসরি সংজ্ঞা থেকে আসে — যোগফলের ভেতরে z^-n দিয়ে গুণ করাটা একটি লিনিয়ার অপারেশন, তাই যোগফল ও ধ্রুবক-গুণ ভেতরে-বাইরে অবাধে সরানো যায়। এই বৈশিষ্ট্যটি M1/L04-এ শেখা সুপারপজিশন নীতিরই একটি রূপ — একটি LTI সিস্টেমের ইনপুট যদি দুটো সিগন্যালের যোগফল হয়, আউটপুটও সেই দুটোর পৃথক আউটপুটের যোগফল হবে, আর Z-ডোমেইনেও এই সম্পর্ক অক্ষুণ্ণ থাকে।

২ · টাইম-শিফটিং (Time-shifting)

যদি একটি সিগন্যাল x[n]-কে k নমুনা দেরি করানো হয় (y[n] = x[n-k]), তাহলে:

এটিই সেই বৈশিষ্ট্য যা L14-এর "ডিলে = z^-1 দিয়ে গুণ" ধারণাকে সাধারণীকরণ করে যেকোনো শিফট k-এর জন্য। এই বৈশিষ্ট্যের কারণেই একটি ডিফারেন্স ইকুয়েশন (যেমন y[n] = a·y[n-1] + x[n]) Z-ডোমেইনে একটি সাধারণ বীজগণিতীয় সমীকরণে পরিণত হয় — L19-এ আমরা ঠিক এই বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে একটি ডিফারেন্স ইকুয়েশন সমাধান করব।

৩ · একটি সত্যিকারের ডেমো — উভয় বৈশিষ্ট্য যাচাই

নিচের কোডে দুটো ছোট সিকোয়েন্স x = [1, 2, 3, 4] এবং w = [2, 0, 1, 1] ব্যবহার করে প্রথমে লিনিয়ারিটি (a=2, b=-3), তারপর x-কে k=2 ধাপ শিফট করে টাইম-শিফটিং বৈশিষ্ট্য যাচাই করা হয়েছে — একই টেস্ট পয়েন্ট z = 1+1j-এ।

def Zt(coeffs, z):
    total = 0j
    for n, c in enumerate(coeffs):
        total += c * z**(-n)
    return total

# ---- লিনিয়ারিটি যাচাই ----
x = [1, 2, 3, 4]
w = [2, 0, 1, 1]
a, b = 2, -3
z = 1 + 1j

combo = [a*xi + b*wi for xi, wi in zip(x, w)]
lhs = Zt(combo, z)                     # Z{a x + b w}
rhs = a*Zt(x, z) + b*Zt(w, z)           # a Z{x} + b Z{w}

print("--- লিনিয়ারিটি ---")
print("x[n] =", x, " w[n] =", w, f" a={a}, b={b}, z={z}")
print("combo[n] = a*x[n] + b*w[n] =", combo)
print(f"Z{{a x + b w}}(z)       = {lhs}")
print(f"a*Z{{x}}(z) + b*Z{{w}}(z) = {rhs}")
print(f"পার্থক্য (should be ~0): {abs(lhs - rhs):.3e}")

print()
print("--- টাইম-শিফটিং ---")
k = 2
y = [0]*k + x   # y[n] = x[n-k], কজাল জিরো-প্যাডেড শিফট
print("x[n] =", x)
print(f"y[n] = x[n-{k}] =", y)

Xz = Zt(x, z)
Yz = Zt(y, z)
predicted = z**(-k) * Xz

print(f"z = {z}")
print(f"X(z)          = {Xz}")
print(f"Y(z) (সরাসরি)   = {Yz}")
print(f"z^-{k} * X(z)   = {predicted}   (ভবিষ্যদ্বাণী: Z{{x[n-k]}} = z^-k X(z))")
print(f"পার্থক্য (should be ~0): {abs(Yz - predicted):.3e}")