কনভারজেন্সের অঞ্চল (ROC)

১ · কেন কনভারজেন্স গুরুত্বপূর্ণ

L14-এ আমরা ফিনিট-লেংথ সিগন্যালের Z-ট্রান্সফর্ম নিয়ে কাজ করেছি — সেখানে যোগফল ফিনিট বলে কোনো সমস্যা ছিল না। কিন্তু বাস্তব বিশ্বের অনেক সিগন্যাল অসীম-লেংথ (যেমন একটি ক্ষয়প্রাপ্ত এক্সপোনেনশিয়াল x[n] = 0.5^n, যা কখনো ঠিক শূন্য হয় না)। এমন সিগন্যালের জন্য

একটি অসীম সিরিজ — এবং যেকোনো অসীম সিরিজের মতোই, এটি কিছু z-মানে একটি সসীম মানে কনভার্জConvergenceএকটি অসীম সিরিজের আংশিক যোগফল যত বেশি পদ যোগ করা হয় ততই একটি নির্দিষ্ট সসীম মানের কাছাকাছি পৌঁছায় — একে বলে সিরিজটি সেই মানে কনভার্জ করছে। করে, আবার অন্য z-মানে অসীমের দিকে বেড়ে যায় (ডাইভার্জ করে)। যেখানে সিরিজটি কনভার্জ করে না, সেখানে X(z)-এর কোনো অর্থ নেই — তাই ROC ছাড়া একটি Z-ট্রান্সফর্মের বর্ণনা অসম্পূর্ণ।

২ · একটি ক্লাসিক উদাহরণ

ধরা যাক x[n] = 0.5^n, সব n >= 0-এর জন্য (কজাল)। এটি একটি জ্যামিতিক সিরিজ:

একটি জ্যামিতিক সিরিজ $\sum r^n$ কনভার্জ করে ঠিক তখনই যখন $|r| < 1$। এখানে $r = 0.5/z$, তাই কনভারজেন্সের শর্ত $|0.5/z| < 1$, অর্থাৎ $|z| > 0.5$ — এটাই এই সিগন্যালের ROC। এই অঞ্চলে বদ্ধ-রূপ (closed-form) যোগফল হলো:

৩ · একটি সত্যিকারের ডেমো — কনভারজেন্স বনাম ডাইভারজেন্স

নিচের কোডে তিনটি টেস্ট পয়েন্ট ব্যবহার করা হয়েছে: z=1 (|z|=1 > 0.5, ROC-এর ভেতরে), z=0.5 (|z|=0.5, ঠিক ROC-এর সীমানায়) এবং z=0.3 (|z|=0.3 < 0.5, ROC-এর বাইরে)। প্রতিটির জন্য আংশিক যোগফল N = 5, 10, 20, 50, 100 পদ পর্যন্ত গণনা করে দেখা হয়েছে সেগুলো কনভার্জ করে নাকি ডাইভার্জ করে।

# x[n] = 0.5^n  n >= 0-এর জন্য (কজাল)
# X(z) = sum_{n=0}^inf 0.5^n z^-n = 1 / (1 - 0.5 z^-1),  ROC: |z| > 0.5

def closed_form(z):
    return 1 / (1 - 0.5 * z**-1)

def partial_sum(z, N):
    total = 0j
    for n in range(N):
        total += (0.5**n) * z**(-n)
    return total

test_zs = [1+0j, 0.5+0j, 0.3+0j]
Ns = [5, 10, 20, 50, 100]

for z in test_zs:
    print(f"--- z = {z}   |z| = {abs(z)} ---")
    if abs(z) > 0.5:
        cf = closed_form(z)
        print(f"  বদ্ধ-রূপ (closed form) X(z) = {cf}")
    else:
        print("  |z| <= 0.5  ->  ROC-এর বাইরে, বদ্ধ-রূপ প্রযোজ্য নয়")
    for N in Ns:
        s = partial_sum(z, N)
        print(f"  N={N:>3} পদ পর্যন্ত আংশিক যোগফল = {s}   |S_N| = {abs(s):.6e}")
    print()