ইনভার্স Z-ট্রান্সফর্ম

১ · ইনভার্স Z-ট্রান্সফর্ম কী

L14-এ আমরা x[n] থেকে X(z) বের করেছি (ফরওয়ার্ড Z-ট্রান্সফর্ম)। ইনভার্স Z-ট্রান্সফর্মInverse Z-transformএকটি Z-ডোমেইন ফাংশন X(z) (এবং তার ROC) থেকে মূল টাইম-ডোমেইন সিগন্যাল x[n] ফিরে বের করার প্রক্রিয়া। উল্টো দিকে যায় — X(z) (এবং তার ROC, কারণ L16-এ দেখেছি একই সূত্র ভিন্ন ROC-এ ভিন্ন সিগন্যালের প্রতিনিধিত্ব করতে পারে) থেকে x[n] বের করা। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা একটি কনট্যুর ইন্টিগ্রাল ব্যবহার করে, কিন্তু ব্যবহারিকভাবে সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি হলো পরিচিত জ্যামিতিক সিরিজ প্যাটার্ন চেনা (যেমন L16-এর 1/(1-az^-1) ফর্ম, যা সবসময় a^n u[n]-এর সাথে সম্পর্কিত) অথবা জটিল রেশনাল ফাংশনের জন্য পার্শিয়াল ফ্র্যাকশনে ভেঙে সেই প্যাটার্ন প্রয়োগ করা।

২ · প্রস্তাব করো, তারপর যাচাই করো

এই পাঠে আমরা একটি সহজ ও সংখ্যাগতভাবে যাচাইযোগ্য পদ্ধতি ব্যবহার করব: একটি সিকোয়েন্স প্রস্তাব করা, তারপর L14-এর পদ্ধতিতে তার Z-ট্রান্সফর্ম গণনা করে দেখা এটি আসল X(z)-এর মানের সাথে মেলে কিনা। L16-এ আমরা দেখেছি:

যেহেতু x[n] অসীম-লেংথ, আমরা সরাসরি L14-এর ফিনিট-লুপ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি না — কিন্তু একটি ট্রাংকেটেড (প্রথম N পদ পর্যন্ত কাটা) সাম দিয়ে আনুমানিক মান বের করে, N বাড়ানোর সাথে সাথে সেটি আসল X(z)-এর দিকে কনভার্জ করে কিনা তা দেখানো যায় — এটাই এই পাঠের মূল ডেমো।

৩ · একটি সত্যিকারের ডেমো — ক্রস-চেক

নিচের কোডে প্রস্তাবিত সিকোয়েন্স x[n] = 0.5^n-এর Z-ট্রান্সফর্ম z=2+0j-এ ট্রাংকেটেড সাম হিসেবে গণনা করে টার্গেট (বদ্ধ-রূপ) মানের সাথে তুলনা করা হয়েছে, তারপর একটি দ্বিতীয় টেস্ট পয়েন্টেও যাচাই করা হয়েছে, এবং শেষে একটি ইচ্ছাকৃত ভুল প্রস্তাব (x[n]=2^n) দিয়ে দেখানো হয়েছে ক্রস-চেক কীভাবে ব্যর্থ হয়।

# আসল: X(z) = 1/(1-0.5z^-1), ROC |z|>0.5 (L16 থেকে)
# প্রস্তাব: x[n] = 0.5^n u[n]  (candidate inverse)
# যাচাই: L14-এর পদ্ধতিতে x[n]-এর Z-transform সরাসরি (truncated sum) হিসেব করে
# X(z)-এর বদ্ধ-রূপ মানের সাথে তুলনা করা, একটি টেস্ট পয়েন্টে (|z|>0.5)

def X_closed(z):
    return 1 / (1 - 0.5 * z**-1)

def Zt_truncated(z, N):
    total = 0j
    for n in range(N):
        c = 0.5**n            # প্রস্তাবিত x[n] = 0.5^n
        total += c * z**(-n)
    return total

z_test = 2 + 0j
target = X_closed(z_test)
print(f"টেস্ট পয়েন্ট z = {z_test},  |z| = {abs(z_test)} > 0.5  (ROC-এর ভেতরে)")
print(f"X(z) বদ্ধ-রূপ থেকে টার্গেট মান = {target}")
print()
for N in [1, 2, 5, 10, 20, 40]:
    approx = Zt_truncated(z_test, N)
    err = abs(approx - target)
    print(f"N={N:>2} পদ দিয়ে প্রস্তাবিত x[n]-এর Z-transform = {approx}   ত্রুটি = {err:.3e}")

print()
z_test2 = 1 + 1j
target2 = X_closed(z_test2)
approx2 = Zt_truncated(z_test2, 40)
print(f"দ্বিতীয় টেস্ট পয়েন্ট z = {z_test2}: X(z) = {target2},  N=40 আনুমানিক = {approx2},  ত্রুটি = {abs(approx2-target2):.3e}")

print()
# ভুল প্রস্তাব -- x[n] = 0.5^n-এর বদলে x[n] = 2^n (ভিন্ন সিকোয়েন্স/ROC)
def Zt_truncated_wrong(z, N):
    total = 0j
    for n in range(N):
        c = 2.0**n
        total += c * z**(-n)
    return total

wrong_approx = Zt_truncated_wrong(z_test, 10)
print(f"ভুল প্রস্তাব x[n]=2^n দিয়ে N=10 পদ -> {wrong_approx}  (X(z) টার্গেট {target}-এর ধারেকাছেও নয়!)")