ট্রান্সফার ফাংশন ও পোল-জিরো অ্যানালাইসিস

১ · ট্রান্সফার ফাংশন কী

M3/L12-এ আমরা একটি সিস্টেমকে ডিফারেন্স ইকুয়েশন দিয়ে বর্ণনা করেছিলাম, এবং L15-এ শিখেছি কনভোলিউশন Z-ডোমেইনে গুণে পরিণত হয়: $Y(z) = X(z) \cdot H(z)$। এখান থেকে ট্রান্সফার ফাংশনTransfer functionএকটি LTI সিস্টেমের আউটপুট ও ইনপুটের Z-ট্রান্সফর্মের অনুপাত H(z)=Y(z)/X(z), যা সিস্টেমের ইমপালস রেসপন্সের Z-ট্রান্সফর্মের সমান এবং সাধারণত দুটো পলিনোমিয়ালের ভাগফল হিসেবে লেখা হয়। সংজ্ঞায়িত হয়:

এখানে b কোয়েফিসিয়েন্টগুলো numerator (সংখ্যা), a কোয়েফিসিয়েন্টগুলো denominator (হর) গঠন করে। এই একই H(z) আসলে সিস্টেমের ইমপালস রেসপন্স h[n]-এর Z-ট্রান্সফর্ম — অর্থাৎ M3/L12-এর ইমপালস রেসপন্স ও এখানকার ট্রান্সফার ফাংশন একই বস্তুর দুটো রূপ (টাইম-ডোমেইন বনাম Z-ডোমেইন)।

২ · পোল ও জিরো

জিরো হলো সেই z-মান যেখানে H(z) = 0 (numerator শূন্য)। পোল হলো সেই z-মান যেখানে H(z) অসীম হয়ে যায় (denominator শূন্য)। ১ম-অর্ডার সিস্টেমে এগুলো সরাসরি বীজগণিত দিয়ে পাওয়া যায়; ২য়-অর্ডার সিস্টেমে (denominator-কে z-এর পলিনোমিয়ালে রূপান্তর করে) কোয়াড্রেটিক ফর্মুলা ব্যবহার করা যায়:

যখন ডিসক্রিমিন্যান্ট ($b^2-4ac$) ঋণাত্মক হয়, পোল-জোড়া কমপ্লেক্স-কনজুগেট হয়ে যায় — Python-এর cmath.sqrt() ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূলও সঠিকভাবে কমপ্লেক্স সংখ্যা হিসেবে গণনা করে, তাই এটি এখানে সবচেয়ে নিরাপদ পছন্দ।

৩ · একটি সত্যিকারের ডেমো — তিনটি সিস্টেম

নিচের কোডে তিনটি উদাহরণ পরীক্ষা করা হয়েছে: (ক) একটি ১ম-অর্ডার সিস্টেম H(z)=(1-0.5z^-1)/(1-0.8z^-1) (একটি সত্যিকারের জিরো এবং পোলসহ), (খ) একটি ২য়-অর্ডার সিস্টেম H(z)=1/(1-z^-1+0.5z^-2) (কমপ্লেক্স পোল-জোড়া), এবং (গ) একটি ইচ্ছাকৃতভাবে আনস্ট্যাবল সিস্টেম H(z)=1/(1-1.2z^-1)।

import cmath

print("=== ১ম-অর্ডার উদাহরণ: H(z) = (1 - 0.5z^-1) / (1 - 0.8z^-1) ===")
# numerator: 1 - 0.5z^-1 = 0  ->  জিরো z = 0.5
# denominator: 1 - 0.8z^-1 = 0  ->  পোল z = 0.8
zero1 = 0.5 + 0j
pole1 = 0.8 + 0j
print(f"শূন্য (zero): z = {zero1}")
print(f"পোল (pole):  z = {pole1}   |pole| = {abs(pole1):.4f}")
print(f"স্ট্যাবিলিটি: |pole| < 1 ? {abs(pole1) < 1}  ->  {'স্ট্যাবল' if abs(pole1) < 1 else 'আনস্ট্যাবল'}")

print()
print("=== ২য়-অর্ডার উদাহরণ (কমপ্লেক্স পোল জোড়া): H(z) = 1 / (1 - z^-1 + 0.5z^-2) ===")
# denominator z-তে: z^2 - z + 0.5 = 0  (1 - z^-1 + 0.5z^-2 কে z^2 দিয়ে গুণ করে)
a, b, c = 1, -1, 0.5
disc = b*b - 4*a*c
print(f"characteristic equation: z^2 + ({b})z + ({c}) = 0,  ডিসক্রিমিন্যান্ট = {disc}")
sqrt_disc = cmath.sqrt(disc)
p1 = (-b + sqrt_disc) / (2*a)
p2 = (-b - sqrt_disc) / (2*a)
print(f"পোল ১: z = {p1}   |z| = {abs(p1):.6f}")
print(f"পোল ২: z = {p2}   |z| = {abs(p2):.6f}")
stable2 = abs(p1) < 1 and abs(p2) < 1
print(f"স্ট্যাবিলিটি: উভয় |pole| < 1 ? {stable2}  ->  {'স্ট্যাবল' if stable2 else 'আনস্ট্যাবল'}")

print()
print("=== আনস্ট্যাবল উদাহরণ: H(z) = 1 / (1 - 1.2z^-1) ===")
pole3 = 1.2 + 0j
print(f"পোল: z = {pole3}   |pole| = {abs(pole3):.4f}")
stable3 = abs(pole3) < 1
print(f"স্ট্যাবিলিটি: |pole| < 1 ? {stable3}  ->  {'স্ট্যাবল' if stable3 else 'আনস্ট্যাবল'}  (M3/L13-এর BIBO মানদণ্ড অনুযায়ী)")

print()
print("--- H(z) মান যাচাই কয়েকটি z-তে (২য়-অর্ডার উদাহরণ) ---")
def H2(z):
    return 1 / (1 - z**-1 + 0.5*z**-2)

for z in [2+0j, 1j, 1+1j]:
    print(f"z = {z}  ->  H(z) = {H2(z)}   |H(z)| = {abs(H2(z)):.6f}")