Classical cipher — shift, affine আর frequency analysis

১ · গোপন বার্তার গণিত — cryptography-র শব্দভান্ডার

মডিউল ৪-এ আমরা সংখ্যাতত্ত্বের যন্ত্রপাতি বানিয়েছি: gcd আর extended Euclid (পর্ব ২১), modular arithmetic (পর্ব ২২), modular inverse (পর্ব ২৩), আর Euler-এর φ (পর্ব ২৪). মডিউল ৫-এ সেই যন্ত্রপাতি একটি পুরোনো প্রশ্নে লাগানো হবে: একটি বার্তা এমনভাবে পাঠানো, যাতে পথে কেউ পড়তে পারলেও বুঝতে না পারে। এই বিদ্যার নাম cryptography.

কাল্পনিক অনলাইন দোকান বাজারঘরের অফিস থেকে গুদামে প্রতিদিন একটি অর্ডারের তালিকা যায়, যেমন “SEND TEN SACKS OF RICE TO SYLHET”. ধরুন তালিকাটি খোলা পথে যায়, আর অফিস চায় পথের কৌতূহলী কেউ যেন সেটি পড়তে না পারে। এর জন্য অফিস আর গুদাম আগে থেকে একটি গোপন সংখ্যা ঠিক করে রাখে। এই পর্বে আমরা দেখব পুরোনো দিনের পদ্ধতিগুলো কীভাবে কাজ করত, আর গণিত দিয়েই দেখব কেন সেগুলো ভেঙে যায়।

শর্ত D_k ∘ E_k = id মানে E_k একটি one-to-one ফাংশন: দুটি আলাদা বার্তা একই ciphertext দিলে প্রাপক বুঝতেন না কোনটি পাঠানো হয়েছিল। এই পর্বের সব cipher-এ 𝓜 = 𝓒 (একই অক্ষরের ধারা), আর তখন সসীম সেটে one-to-one মানেই onto, অর্থাৎ E_k একটি bijection আর D_k = E_k⁻¹. ফাংশনের এই ভাষা পর্ব ১৬-এ এসেছে; এখানে আমরা সেটিই প্রয়োগ করব। Cryptography-তে একই key দিয়ে তালা দেওয়া আর খোলা হলে তাকে symmetric encryption বলে; এই পর্বের সব cipher এই ধরনের।

Kerckhoffs-এর নীতি: গোপন থাকবে শুধু key

ডাচ বংশোদ্ভূত ভাষাবিদ Auguste Kerckhoffs ১৮৮৩ সালে ফরাসি সামরিক পত্রিকায় “La cryptographie militaire” প্রবন্ধে সামরিক cipher-এর জন্য ছয়টি নীতি দেন বলে উল্লেখ করা হয়। তার দ্বিতীয়টি আজ Kerckhoffs-এর নীতি নামে পরিচিত: পদ্ধতিটি শত্রুর হাতে পড়লেও কোনো অসুবিধা হওয়া চলবে না। অর্থাৎ ধরে নিতে হবে প্রতিপক্ষ E আর D-এর সূত্র জানে; শুধু k জানে না। Claude Shannon ১৯৪৯ সালে একই কথা ছোট করে বলেন: শত্রু পদ্ধতিটি জানে।

কেন এই নীতি? পদ্ধতি একদিন ফাঁস হবেই, আর key বদলানো সহজ, পদ্ধতি বদলানো কঠিন (ভাবনার প্রশ্ন ১ দেখুন)। গাণিতিক সুবিধাও আছে: পদ্ধতি প্রকাশ্য হলে নিরাপত্তার প্রশ্ন দাঁড়ায় একটি পরিষ্কার গণিতের প্রশ্নে, “key না জেনে c থেকে m বের করা কত কঠিন?” এই পর্বের প্রতিটি আক্রমণ এই নীতি মেনে চলে: আক্রমণকারী সূত্র জানেন, key জানেন না।

২ · অক্ষর থেকে সংখ্যা — shift বা Caesar cipher

গণিত চালাতে অক্ষরকে সংখ্যা বানাতে হয়: A = 0, B = 1, …, Z = 25. এখন প্রতিটি অক্ষর ℤ₂₆-এর একটি সদস্য, অর্থাৎ 0 থেকে 25-এর একটি ভাগশেষ, আর যোগ-গুণ চলে mod 26-এ, ঠিক ঘড়ির কাঁটার মতো: Z-এর পরে আবার A.

রোমান ইতিহাসবিদ Suetonius লিখেছেন, Julius Caesar ব্যক্তিগত চিঠিতে প্রতিটি অক্ষরের জায়গায় বর্ণমালার তিন ঘর পরের অক্ষর বসাতেন; নামটি সেখান থেকে। নিচের চাকাটি ঘুরিয়ে বসানো দুটি বর্ণমালার মতো: বাইরের অক্ষর পড়ে ঠিক ভেতরের অক্ষর লিখলেই encryption.

প্রমাণ:

1. D_k(E_k(x)) ≡ (x + k) − k = x আর E_k(D_k(y)) ≡ (y − k) + k = y (mod 26). — congruence-এ যোগ-বিয়োগ, পর্ব ২২
2. দুই দিক থেকেই inverse আছে, তাই E_k একটি bijection আর D_k তার inverse; আর y − k ≡ y + (−k), তাই D_k = E_−k. — inverse ফাংশনের সংজ্ঞা, পর্ব ১৬
3. (খ) E_j(E_k(x)) ≡ (x + k) + j = x + (j + k). ∎ — যোগের সংযোগ নিয়ম

অংশ (খ)-এর একটি ব্যবহারিক মানে আছে: দুবার shift করলে নিরাপত্তা বাড়ে না, কারণ ফল আবার একটি shift. 3 আর তারপর 5 সরানো মানে একবারে 8 সরানো। গণিতের ভাষায় ২৬টি shift ফাংশন composition-এর অধীনে একটি group গঠন করে; group-এর পূর্ণ তত্ত্ব আসবে পর্ব ৭০ “Group — symmetry, cyclic group আর Lagrange-এর উপপাদ্য”-এ।

কেন এখানে বাংলা অক্ষর নয়

বাজারঘরের বার্তা বাংলায় কেন নয়? কারণ তিনটি। প্রথমত, ইংরেজি বর্ণমালায় ঠিক ২৬টি অক্ষর, আর প্রতিটি অক্ষর একটি সংখ্যা; mod 26-এর হিসাব পরিষ্কার। বাংলা লেখা কম্পিউটারে Unicode-এর একটি ১২৮ ঘরের ব্লকে থাকে (সব ঘর ব্যবহৃত নয়), আর পর্দায় একটি “অক্ষর” প্রায়ই কয়েকটি code point জুড়ে তৈরি: যেমন “ক্ষ” আসলে ক, হসন্ত আর ষ, তিনটি আলাদা মান। দ্বিতীয়ত, প্রতিটি code point আলাদাভাবে সরালে কারচিহ্ন (া, ি, ে) শব্দের শুরুতে বা হসন্ত ভুল জায়গায় পড়তে পারে, ফলে ciphertext পর্দায় ঠিকমতো দেখানোই যায় না। তৃতীয়ত, frequency analysis-এর জন্য একটি বড় বাংলা লেখার সংগ্রহ থেকে মাপা অক্ষর-ঘনত্বের টেবিল লাগে; সেই সংখ্যা আমরা বানিয়ে বলতে চাই না। তাই এই পর্বের সব উদাহরণ ইংরেজি বড় হাতের অক্ষরে, আর ব্যাখ্যা বাংলায়। গণিত অবশ্য একই: n-টি চিহ্নের বর্ণমালায় সব হিসাব mod n.

৩ · Affine cipher — x ↦ ax + b, আর কখন তা উল্টানো যায়

Shift cipher-এ শুধু যোগ। গুণও যোগ করলে পাওয়া যায় affine cipher: প্রতিটি অক্ষর x যায় ax + b-তে। কিন্তু এখানে একটি ফাঁদ আছে। a = 2 নিলে A (0) যায় b-তে, আর N (13) যায় 26 + b ≡ b-তে: দুটি আলাদা অক্ষর একই ciphertext অক্ষর দেয়। ciphertext-এ সেই অক্ষর দেখে প্রাপক জানবেন না আসলে A ছিল না N. তাহলে কোন a চলে?

প্রমাণ:

1. (⇐) gcd(a, 26) = 1 হলে Bézout-এর সূত্রে sa + 26v = 1 এমন পূর্ণসংখ্যা s, v আছে, তাই s ≡ a⁻¹ (mod 26). — Bézout আর inverse, পর্ব ২১ ও ২৩
2. g(y) = a⁻¹(y − b) ধরুন। g(f(x)) ≡ a⁻¹(ax + b − b) = a⁻¹a x ≡ x, আর f(g(y)) ≡ a · a⁻¹(y − b) + b ≡ y. — বসিয়ে হিসাব
3. দুই দিকের inverse আছে, তাই f একটি bijection আর g = f⁻¹. — পর্ব ১৬
4. (⇒) উল্টো ধরুন d = gcd(a, 26) > 1. x₀ = 26/d নিন; তাহলে 0 < x₀ < 26, অর্থাৎ x₀ ≠ 0 (mod 26). — d ≥ 2
5. a x₀ = (a/d) · 26 ≡ 0, তাই f(x₀) ≡ b ≡ f(0). দুটি ভিন্ন ইনপুট একই আউটপুট দিল, f one-to-one নয়, তাই bijection নয়। ∎ — contrapositive, পর্ব ৮

উপরের a = 2-এর উদাহরণ ঠিক ধাপ ৪–৫: d = 2, x₀ = 13 = N. a = 13 হলে আরও খারাপ: d = 13, x₀ = 2, আর 13x mod 26 শুধু দুটি মান নেয়, 0 আর 13. পুরো বর্ণমালা ভেঙে দুটি অক্ষরে নেমে আসে।

কয়টি key আছে?

26 = 2 · 13, তাই gcd(a, 26) = 1 মানে a বিজোড় আর a ≠ 13. এমন a-এর সংখ্যা Euler-এর totient φ(26) = 26 · (1 − 1/2)(1 − 1/13) = 12: a ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25}. b যেকোনো 26টি মান নিতে পারে, আর ভিন্ন (a, b) ভিন্ন ফাংশন দেয় (x = 0 আর x = 1 বসালে b আর a + b আলাদা হয়ে যায়)। গুণের নিয়মে মোট key

|𝓚| = φ(26) · 26 = 12 · 26 = 312

এর মধ্যে (1, 0) একটি অকেজো key, কারণ সেটি কিছুই বদলায় না; আর (1, b) জোড়াগুলো ঠিক shift cipher. সাধারণভাবে n চিহ্নের বর্ণমালায় affine key-এর সংখ্যা n · φ(n).

এবার হাতে চালানো। বাজারঘরের প্রিয় শব্দ BAZAR-কে key (a, b) = (5, 8) দিয়ে encrypt করা হবে। gcd(5, 26) = 1, তাই key বৈধ।

1a = 5, b = 8, gcd(5, 26) = 12B = 1  → 5·1 + 8 = 13 → N3A = 0  → 5·0 + 8 = 8 → I4Z = 25 → 133 ≡ 3 → D5A = 0  → 8 → I (আবার)6R = 17 → 93 ≡ 15 → P

এবার গুদামের দিক। প্রাপকের কাছে আছে NIDIP আর key (5, 8). তাঁর প্রথম কাজ 5⁻¹ mod 26 বের করা, extended Euclid দিয়ে (পর্ব ২১).

126 = 5·5 + 1 ⇒ 1 = 26 − 5·525⁻¹ ≡ −5 ≡ 213N: 21(13 − 8) = 105 ≡ 1 → B4I: 21(8 − 8) = 0 → A5D: 21(3 − 8) = −105 ≡ 25 → Z6P: 21(15 − 8) = 147 ≡ 17 → R

নিচের ব্লক এই দুই stepper মেলায়, পুরো অর্ডার-বার্তাটি encrypt আর decrypt করে, বৈধ a-গুলো আর তাদের inverse ছাপে, আর অবৈধ a-তে কতগুলো অক্ষর মিলে যায় দেখায়। Python-এর pow(a, -1, 26) সরাসরি modular inverse দেয় (Python 3.8 থেকে); inverse না থাকলে এটি error দেয়। প্রথমবার চালালে ব্রাউজারে Python (Pyodide) নামতে কয়েক সেকেন্ড লাগে।

from math import gcd
A = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"

def check(a):                          # a key is valid iff gcd(a, 26) = 1
    if gcd(a, 26) != 1:
        raise ValueError(f"a = {a}: gcd(a, 26) = {gcd(a, 26)}, not a valid key")

def encrypt(msg, a, b):                # x -> (a x + b) mod 26
    check(a)
    return "".join(A[(a * A.index(ch) + b) % 26] if ch in A else ch for ch in msg)

def decrypt(ct, a, b):                 # y -> a^(-1) (y - b) mod 26
    check(a)
    ai = pow(a, -1, 26)                # modular inverse (Python 3.8+)
    return "".join(A[ai * (A.index(ch) - b) % 26] if ch in A else ch for ch in ct)

c = encrypt("BAZAR", 5, 8)
print("BAZAR ->", c, "->", decrypt(c, 5, 8), "| 5^-1 mod 26 =", pow(5, -1, 26))
order = "SEND TEN SACKS OF RICE TO SYLHET"
c = encrypt(order, 5, 8)
print(c, "->", decrypt(c, 5, 8))

valid = [a for a in range(26) if gcd(a, 26) == 1]
print("valid a:", valid)
print("number of keys:", len(valid), "x 26 =", len(valid) * 26)
print("inverses:", {a: pow(a, -1, 26) for a in valid})
for a in (2, 13):                      # not one-to-one: letters collide
    print(f"a = {a}: x -> {a}x mod 26 hits", len({a * x % 26 for x in range(26)}), "letters")
try:
    encrypt("TEA", 13, 4)
except ValueError as e:
    print("refused:", e)

BAZAR -> NIDIP -> BAZAR | 5^-1 mod 26 = 21
UCVX ZCV UISGU AH PWSC ZA UYLRCZ -> SEND TEN SACKS OF RICE TO SYLHET
valid a: [1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25]
number of keys: 12 x 26 = 312
inverses: {1: 1, 3: 9, 5: 21, 7: 15, 9: 3, 11: 19, 15: 7, 17: 23, 19: 11, 21: 5, 23: 17, 25: 25}
a = 2: x -> 2x mod 26 hits 13 letters
a = 13: x -> 13x mod 26 hits 2 letters
refused: a = 13: gcd(a, 26) = 13, not a valid key

৪ · ভাঙার দুই পথ — brute force আর frequency analysis

Kerckhoffs-এর নীতি মেনে ধরুন আক্রমণকারী জানেন বার্তাটি shift বা affine cipher-এ লেখা, শুধু key জানেন না, আর তাঁর হাতে শুধু ciphertext. প্রথম পথটি সবচেয়ে সোজা: সব key একে একে চেষ্টা করা, যাকে brute force বা exhaustive key search বলে। shift-এ ২৬টি, affine-এ ৩১২টি key, কম্পিউটারে চোখের পলক; শুধু সঠিক key অর্থবহ ইংরেজি দেয়।

দ্বিতীয় অংশের সেরা উদাহরণ সাধারণ substitution cipher: বর্ণমালার যেকোনো একটি permutation-ই key, যেমন A → Q, B → W, …; key-এর সংখ্যা 26! ≈ 4.03 × 10²⁶, brute force-এর নাগালের অনেক বাইরে। তবু এটি কাগজ-কলমে ভাঙা যায়, কারণ shift, affine আর সাধারণ substitution, তিনটিরই একই দুর্বলতা আছে: একই plaintext অক্ষর সবসময় একই ciphertext অক্ষর দেয় (এদের বলে monoalphabetic cipher). তাই ভাষার পরিসংখ্যান ciphertext-এ অক্ষত থাকে।

Frequency analysis

ইংরেজি লেখায় সব অক্ষর সমান ঘন নয়। প্রচলিত একটি টেবিল অনুযায়ী বড় ইংরেজি লেখায় E প্রায় ১২.৭%, T প্রায় ৯.১%, A প্রায় ৮.২%, তারপর O, I, N, S, H, R; আর Q, Z, X, J প্রত্যেকে এক শতাংশের অনেক নিচে (সঠিক সংখ্যা লেখার সংগ্রহ অনুযায়ী একটু বদলায়)। Monoalphabetic cipher অক্ষরের নাম বদলায়, কিন্তু কোন নাম কতবার আসে তা বদলায় না। তাই ciphertext-এর অক্ষর গুনে বড় থেকে ছোট সাজালে ভাষার টেবিলের সঙ্গে মিলিয়ে key আন্দাজ করা যায়। এই কৌশলের নাম frequency analysis. এর সবচেয়ে পুরোনো জানা লিখিত বর্ণনা নবম শতাব্দীর আরব দার্শনিক al-Kindi-র একটি পাণ্ডুলিপিতে বলে সাধারণত ধরা হয়।

Shift cipher-এ একটি অক্ষর-জোড়ার অনুমানই যথেষ্ট: ciphertext-এর সবচেয়ে ঘন অক্ষর y হলে অনুমান y = E_k(E) = 4 + k, অর্থাৎ k ≡ y − 4 (mod 26). নিচের stepper আমাদের নিজের একটি বাক্যে, key না জেনে, ঠিক এটি করে।

1ZLUK AOL NYLLU ALH2JYHALZ AV AOL ZFSOLA3KLWVA ILMVYL AOYLL4গোনা: L 13, A 8, O 45L = 11, E = 4 ⇒ k ≡ 76A: 0 − 7 ≡ 19 = T ✓7SEND THE GREEN TEA …

ছোট লেখায় সবচেয়ে ঘন অক্ষর সবসময় E নাও হতে পারে; তখন দ্বিতীয় বা তৃতীয় অনুমান চেষ্টা করতে হয়। একটি পদ্ধতিগত উপায় হলো প্রতিটি k-এর জন্য decrypt করা লেখার অক্ষর-গণনা ভাষার টেবিল থেকে কত দূরে, তা একটি সংখ্যায় মাপা। সবচেয়ে প্রচলিত মাপ chi-squared দূরত্ব: যদি লেখায় N অক্ষর থাকে, অক্ষর i এসেছে n_i বার, আর ভাষায় তার ঘনত্ব p_i, তবে

χ² = ∑_i=0²⁵ (n_i − N p_i)² / (N p_i)

সঠিক k-এ লেখাটি ইংরেজির মতো, তাই χ² ছোট; ভুল k-এ অক্ষরগুলো ভুল জায়গায়, তাই χ² অনেক বড়। নিচের ব্লক বাজারঘরের গুদাম নিয়ে আমাদের নিজের লেখা একটি অনুচ্ছেদ k = 7 দিয়ে encrypt করে, তারপর key না জেনে অক্ষর গোনে, ২৬টি key-এর brute force দেখায়, আর χ² দিয়ে সেরা k বাছে।

from collections import Counter
TEXT = """Every morning the warehouse team at Bazarghar checks the orders
that came in during the night. The manager reads each order code aloud,
and two members of staff pack rice, lentils, tea and sugar into sacks.
When the delivery van leaves for Sylhet or Rajshahi, the driver carries
a sealed list of the orders. The list is not really secret; it is only
an example of a message that we want to hide from a curious reader.
Here we encrypt such a message with old ciphers and then break them
again, to see for ourselves why the old methods fail."""
A = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"
F = [82, 15, 28, 43, 127, 22, 20, 61, 70, 2, 8, 40, 24,     # English letter
     67, 75, 19, 1, 60, 63, 91, 28, 10, 24, 2, 20, 1]       # frequency per 1000
def nums(s): return [A.index(c) for c in s.upper() if c in A]
def word(xs): return "".join(A[x] for x in xs)
def shift(xs, k): return [(x + k) % 26 for x in xs]
def chi2(xs):                          # distance from English letter frequencies
    n, cnt = len(xs), Counter(xs)
    return sum((cnt[i] - n * F[i] / 1000) ** 2 / (n * F[i] / 1000) for i in range(26))

P = nums(TEXT)
C = shift(P, 7)                        # our own secret: shift by 7
print(len(P), "letters; top plaintext:", Counter(word(P)).most_common(5))
print("top ciphertext letters:", Counter(word(C)).most_common(5))
print("brute force, first 10 letters for every key k:")
for row in range(0, 26, 3):
    print("   ".join(f"k={k:<2} {word(shift(C[:10], -k))}" for k in range(row, min(row + 3, 26))))
best = sorted((round(chi2(shift(C, -k)), 1), k) for k in range(26))[:3]
print("lowest chi-squared (score, k):", best)
print("decrypted:", word(shift(C, -best[0][1]))[:40], "...")

429 letters; top plaintext: [('E', 64), ('A', 43), ('R', 37), ('T', 35), ('S', 32)]
top ciphertext letters: [('L', 64), ('H', 43), ('Y', 37), ('A', 35), ('Z', 32)]
brute force, first 10 letters for every key k:
k=0  LCLYFTVYUP   k=1  KBKXESUXTO   k=2  JAJWDRTWSN
k=3  IZIVCQSVRM   k=4  HYHUBPRUQL   k=5  GXGTAOQTPK
k=6  FWFSZNPSOJ   k=7  EVERYMORNI   k=8  DUDQXLNQMH
k=9  CTCPWKMPLG   k=10 BSBOVJLOKF   k=11 ARANUIKNJE
k=12 ZQZMTHJMID   k=13 YPYLSGILHC   k=14 XOXKRFHKGB
k=15 WNWJQEGJFA   k=16 VMVIPDFIEZ   k=17 ULUHOCEHDY
k=18 TKTGNBDGCX   k=19 SJSFMACFBW   k=20 RIRELZBEAV
k=21 QHQDKYADZU   k=22 PGPCJXZCYT   k=23 OFOBIWYBXS
k=24 NENAHVXAWR   k=25 MDMZGUWZVQ
lowest chi-squared (score, k): [(25.1, 7), (1081.6, 18), (1446.3, 13)]
decrypted: EVERYMORNINGTHEWAREHOUSETEAMATBAZARGHARC ...

Affine cipher-এ: দুটি অনুমান, একটি linear congruence-এর জোড়া

Affine-এ দুটি অজানা, a আর b, তাই দুটি অক্ষর-জোড়ার অনুমান লাগে। ধরুন ciphertext-এ সবচেয়ে ঘন T আর তারপর M, আর অনুমান E → T, T → M. তাহলে 4a + b ≡ 19 আর 19a + b ≡ 12 (mod 26). বিয়োগ করলে 15a ≡ −7 ≡ 19. gcd(15, 26) = 1, আর 15⁻¹ ≡ 7 (15 · 7 = 105 ≡ 1), তাই a ≡ 7 · 19 = 133 ≡ 3, আর b ≡ 19 − 4 · 3 = 7. পরীক্ষা: gcd(3, 26) = 1, key বৈধ। আমাদের scratch হিসাবে ৩১২টি key-এর মধ্যে শুধু (3, 7) এই দুই শর্ত মানে। এই ধরনের আক্রমণ, যেখানে কিছু plaintext-ciphertext জোড়া জানা বা অনুমিত, তাকে known-plaintext attack বলে। Affine ফাংশন linear, তাই এমন দুটি জোড়াই যথেষ্ট; আধুনিক cipher-এর নকশার একটি বড় লক্ষ্য হলো লক্ষ লক্ষ জোড়া জেনেও key বের না হওয়া।

৫ · Vigenère cipher — key-শব্দ দিয়ে বদলানো shift

Frequency analysis ঠেকানোর স্বাভাবিক ভাবনা: একই অক্ষর যেন সবসময় একই অক্ষরে না যায়। Vigenère cipher-এ key একটি শব্দ, ধরুন SYLHET, অর্থাৎ shift-এর ক্রম (18, 24, 11, 7, 4, 19). plaintext-এর প্রথম অক্ষর 18 ঘর, দ্বিতীয়টি 24 ঘর, …, সপ্তম অক্ষর আবার 18 ঘর সরে।

এখন একই E কখনো W, কখনো C, কখনো P হতে পারে, অবস্থানের ওপর নির্ভর করে। একাধিক বর্ণমালা পালাক্রমে ব্যবহার করে বলে একে polyalphabetic cipher বলে। ছোট উদাহরণ: SENDRICE, key BAG (1, 0, 6): S + 1 = T, E + 0 = E, N + 6 = T, D + 1 = E, R + 0 = R, I + 6 = O, C + 1 = D, E + 0 = E, ফল TETERODE. লক্ষ করুন, ciphertext-এর দুটি T এসেছে দুটি ভিন্ন অক্ষর থেকে (S আর N), আর তিনটি E-এর দুটি এসেছে E থেকে, একটি D থেকে: একটি ciphertext অক্ষরের পেছনে আর কোনো নির্দিষ্ট plaintext অক্ষর থাকে না।

পদ্ধতিটি ষোড়শ শতকের ইতালিতে Giovan Battista Bellaso ১৫৫৩ সালে বর্ণনা করেন বলে উল্লেখ করা হয়; নামটি পরে ভুলভাবে ফরাসি কূটনীতিক Blaise de Vigenère-এর নামে বসে যায়, যিনি ১৫৮৬ সালে একটি শক্তিশালী রূপ লিখেছিলেন। প্রায় তিন শতাব্দী ধরে একে “le chiffre indéchiffrable”, অর্থাৎ অভেদ্য cipher বলা হতো।

দুর্বলতা: key পুনরাবৃত্ত হয়

মূল পর্যবেক্ষণটি সরল। যদি key-এর দৈর্ঘ্য m জানা থাকে, তবে অবস্থান j, j + m, j + 2m, …-এর অক্ষরগুলো (একটি “কলাম”) সবাই একই shift k_j পেয়েছে। প্রতিটি কলাম তাই একটি সাধারণ shift cipher, আর §৪-এর frequency analysis সেটি ভাঙে। পুরো সমস্যা তাই নেমে আসে একটি প্রশ্নে: m কত? এর দুটি ক্লাসিক উত্তর আছে।

Kasiski-র পদ্ধতি। plaintext-এ একই শব্দাংশ (যেমন “THE”) বারবার আসে। দুটি ঘটনার দূরত্ব যদি m-এর গুণিতক হয়, তবে দুটিই key-এর একই অংশ দিয়ে encrypt হয়, আর ciphertext-এও একই তিন অক্ষর দেখা যায়। তাই ciphertext-এ পুনরাবৃত্ত তিন অক্ষরের দূরত্বগুলো বেশিরভাগ m-এর গুণিতক হয়, আর তাদের সাধারণ উৎপাদক m-এর দিকে ইঙ্গিত করে। কিছু পুনরাবৃত্তি কাকতালীয়, তাই gcd সরাসরি না নিয়ে দেখা হয় কোন সংখ্যা বেশিরভাগ দূরত্বকে ভাগ করে। এই Kasiski examination Friedrich Kasiski ১৮৬৩ সালে প্রকাশ করেন; Charles Babbage এর আগেই (১৮৫০-এর দশকে) একই কৌশল ব্যবহার করেছিলেন কিন্তু প্রকাশ করেননি বলে ইতিহাসবিদরা উল্লেখ করেন।

Index of coincidence. দ্বিতীয় পদ্ধতিটি গণনার, আর পুরোপুরি ডিসক্রিট ম্যাথের।

সূত্রটি গণনা থেকে আসে: দুটি অবস্থান বাছার C(N, 2) = N(N − 1)/2 উপায়, আর দুটিই অক্ষর i হওয়ার C(n_i, 2) উপায়; ভাগ করলে 2 কেটে যায়। ছোট উদাহরণ: BANANA-তে A 3, N 2, B 1, তাই IC = (6 + 2 + 0)/30 = 8/30 ≈ 0.267. বড় লেখায় IC প্রায় ∑ p_i². সব অক্ষর সমান ঘন হলে তা 26 · (1/26)² = 1/26 ≈ 0.0385, যা এই যোগফলের সর্বনিম্ন মান (Cauchy–Schwarz অসমতা থেকে)। ইংরেজির অসম বিভাজনে এটি প্রায় 0.065–0.067; উপরের টেবিল থেকে হিসাব করলে প্রায় 0.065.

প্রমাণ:

1. cipher একটি bijection σ : ℤ₂₆ → ℤ₂₆, প্রতিটি অবস্থানে একই। plaintext-এ অক্ষর i যতবার আসে, ciphertext-এ σ(i) ঠিক ততবার আসে: n′_σ(i) = n_i. — bijection গণনা রক্ষা করে
2. N বদলায় না, আর ∑_j n′_j(n′_j − 1) = ∑_i n′_σ(i)(n′_σ(i) − 1) = ∑_i n_i(n_i − 1), কারণ σ সূচিগুলোর শুধু ক্রম বদলায়। ∎ — যোগফলের পুনর্বিন্যাস, পর্ব ১৭

এই উপপাদ্য থেকে পরীক্ষাটি আসে। m সঠিক হলে প্রতিটি কলাম একটি shift cipher, তাই প্রতিটি কলামের IC ইংরেজির মতো, প্রায় 0.066. m ভুল হলে একটি কলামে কয়েকটি ভিন্ন shift মিশে যায়, আর IC 1/26-এর দিকে নেমে আসে। তাই m = 1, 2, 3, … চেষ্টা করে কলামগুলোর গড় IC দেখুন; যেখানে হঠাৎ লাফ দেয়, সেটিই m (বা তার গুণিতক)। William F. Friedman ১৯২০-এর দশকের শুরুতে এই ধারণা প্রকাশ করেন বলে উল্লেখ করা হয়।

নিচের ব্লক আগের ব্লকের সঙ্গে একই namespace ব্যবহার করে (data-shared), তাই একই অনুচ্ছেদ, nums, shift আর chi2 আবার কাজে লাগে; আগের ব্লক না চালালে সেটি আগে নিজে চলে। এটি অনুচ্ছেদটি key SYLHET দিয়ে encrypt করে, Kasiski আর IC দিয়ে m বের করে, আর প্রতিটি কলামে χ² দিয়ে key-এর অক্ষর খোঁজে।

def ic(xs):                            # index of coincidence
    n, cnt = len(xs), Counter(xs)
    return sum(v * (v - 1) for v in cnt.values()) / (n * (n - 1))

K = nums("SYLHET")                     # our own Vigenere key
V = [(x + K[i % len(K)]) % 26 for i, x in enumerate(P)]
print("ciphertext:", word(V)[:36], "...")
print(f"IC: plaintext {ic(P):.4f}, Vigenere {ic(V):.4f}, uniform {1/26:.4f}")

seen, dist = {}, []                    # Kasiski: distances between repeats
for i in range(len(V) - 2):
    t = tuple(V[i:i + 3])
    if t in seen: dist.append(i - seen[t])
    seen[t] = i
print(len(dist), "repeated trigrams; how many distances m divides:",
      {m: sum(d % m == 0 for d in dist) for m in range(2, 9)})

for m in range(1, 9):                  # Friedman-style test: IC of columns
    print(f"  m={m}: mean column IC {sum(ic(V[j::m]) for j in range(m)) / m:.4f}")
m = next(m for m in range(1, 9) if sum(ic(V[j::m]) for j in range(m)) / m > 0.06)
key = [min(range(26), key=lambda k: chi2(shift(V[j::m], -k))) for j in range(m)]
plain = [(x - key[i % m]) % 26 for i, x in enumerate(V)]
print("key length", m, "| recovered key:", word(key), "|", word(plain)[:24], "...")

ciphertext: WTPYCFGPYPRZLFPDEKWFZBWXLCLTEMTYKHVZ ...
IC: plaintext 0.0700, Vigenere 0.0429, uniform 0.0385
22 repeated trigrams; how many distances m divides: {2: 20, 3: 20, 4: 7, 5: 7, 6: 19, 7: 1, 8: 6}
  m=1: mean column IC 0.0429
  m=2: mean column IC 0.0485
  m=3: mean column IC 0.0520
  m=4: mean column IC 0.0474
  m=5: mean column IC 0.0421
  m=6: mean column IC 0.0663
  m=7: mean column IC 0.0424
  m=8: mean column IC 0.0482
key length 6 | recovered key: SYLHET | EVERYMORNINGTHEWAREHOUSE ...

৬ · One-time pad — গণিতে প্রমাণিত গোপনীয়তা

Vigenère ভাঙল কারণ key পুনরাবৃত্ত হয়। যদি key বার্তার সমান লম্বা হয়, প্রতিটি অক্ষর পুরো এলোমেলোভাবে বাছা হয়, আর key কখনো আবার ব্যবহৃত না হয়? তখন কলাম বলে কিছু থাকে না, প্রতিটি অক্ষর নিজের আলাদা shift পায়। এই cipher-এর নাম one-time pad. কম্পিউটারে একে সাধারণত bit-এ লেখা হয়: বার্তা m, key k দুটোই n bit, আর c = m ⊕ k, যেখানে ⊕ হলো XOR (bit-এর যোগ mod 2). Decryption একই: c ⊕ k = m ⊕ k ⊕ k = m, কারণ k ⊕ k = 0.

এখানে “নিরাপদ” কথাটির নির্ভুল অর্থ দেওয়া যায়, সম্ভাবনার ভাষায়: ciphertext দেখার আগে আক্রমণকারীর plaintext নিয়ে যে ধারণা, দেখার পরে তা কি একটুও বদলায়? শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা আর Bayes-এর উপপাদ্যের পূর্ণ আলোচনা পর্ব ৩৯ “শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা, independence আর Bayes-এর উপপাদ্য”-এ আসবে; এখানে শুধু সংজ্ঞাটুকু লাগবে।

প্রমাণ (ক):

1. নির্দিষ্ট m আর c-এর জন্য E_k(m) = c ⇔ k ≡ c − m (mod 26): ঠিক একটি key. K সমসম্ভাব্য আর M থেকে স্বাধীন, তাই P(C = c | M = m) = 1/26. — key-এর অনন্যতা
2. সম্পূর্ণ সম্ভাবনার সূত্রে P(C = c) = ∑_m′ P(M = m′) · 1/26 = 1/26. — সম্ভাবনার যোগফল 1
3. Bayes-এর সূত্রে P(M = m | C = c) = P(C = c | M = m) P(M = m) / P(C = c) = (1/26) P(M = m) / (1/26) = P(M = m). ∎ — Bayes

প্রমাণ (খ): হুবহু একই, শুধু ধাপ ১-এ অনন্য key k = c ⊕ m আর সম্ভাবনা 2⁻ⁿ. ∎

প্রমাণের মূলে একটিমাত্র তথ্য: প্রতিটি (m, c) জোড়ার জন্য ঠিক একটি key. তাই ciphertext যা-ই হোক, প্রতিটি plaintext সমানভাবে “সম্ভব”, আর ciphertext কোনো plaintext-এর পক্ষে সাক্ষ্য দেয় না। এর একটি অনিবার্য দামও আছে।

প্রমাণ:

1. M-কে 𝓜-এর ওপর সমসম্ভাব্য ধরুন, আর P(C = c) > 0 এমন একটি c নিন। D(c) = {D_k(c) : k ∈ 𝓚}, অর্থাৎ c থেকে কোনো না কোনো key দিয়ে পাওয়া সম্ভাব্য সব plaintext. — সংজ্ঞা
2. |D(c)| ≤ |𝓚|, কারণ প্রতিটি key বড়জোর একটি plaintext দেয়। — ফাংশনের প্রতিচ্ছবি
3. |𝓚| < |𝓜| হলে এমন m আছে যা D(c)-তে নেই। কোনো key দিয়েই m থেকে c আসে না, তাই P(M = m | C = c) = 0 ≠ 1/|𝓜| = P(M = m). perfect secrecy ভাঙে। ∎ — pigeonhole, contrapositive

এক অক্ষরের shift-এ |𝓚| = |𝓜| = 26, তাই সমান সমান। কিন্তু দুই অক্ষরের বার্তায় একই key ব্যবহার করলে 26টি key আর 676টি বার্তা: উপপাদ্য ৬.৩ বলে perfect secrecy অসম্ভব। ব্যবহারিক মানে হলো, প্রতিটি নতুন অক্ষরের জন্য নতুন এলোমেলো key চাই, আর key একবার ব্যবহারের পর ফেলে দিতে হবে। নাম “one-time” সেখান থেকে।

Key আবার ব্যবহার করলে যা হয়

ধরুন একই key k দিয়ে দুটি বার্তা পাঠানো হলো: c₁ = m₁ ⊕ k, c₂ = m₂ ⊕ k. তাহলে

c₁ ⊕ c₂ = m₁ ⊕ k ⊕ m₂ ⊕ k = m₁ ⊕ m₂

key সম্পূর্ণ উধাও। শুধু দুটি ciphertext থেকেই আক্রমণকারী দুটি বার্তার XOR পান, আর একটি বার্তার কোনো অংশ অনুমান করতে পারলে (যেমন অর্ডার-বার্তা সাধারণত “SEND ”-দিয়ে শুরু হয়) অন্যটির সেই অংশ সরাসরি বেরিয়ে আসে। নিচের ব্লক প্রথমে উপপাদ্য ৬.২(ক)-কে একটি অসম বিভাজনে সব (m, c) গুনে যাচাই করে, তারপর দুই অক্ষরে এক key-এর ব্যর্থতা দেখায়, আর শেষে আমাদের নিজের দুটি বার্তায় key পুনর্ব্যবহারের ফল দেখায়।

import random
from fractions import Fraction
from collections import defaultdict

# 1) one letter, uniform random key k in 0..25: y = (x + k) mod 26
prior = {"A": Fraction(1, 2), "E": Fraction(1, 3), "T": Fraction(1, 6)}
joint = defaultdict(Fraction)          # P(M = m and C = c)
for m, p in prior.items():
    for k in range(26):
        c = (ord(m) - 65 + k) % 26
        joint[m, c] += p * Fraction(1, 26)
same = all(joint[m, c] / sum(joint[x, c] for x in prior) == prior[m]
           for m in prior for c in range(26))
print("P(M = m | C = c) equals P(M = m) for every m and c:", same)
def ct(w, k): return tuple((ord(ch) - 65 + k) % 26 for ch in w)
cts = {ct(w, k) for w in ("EE", "AT") for k in range(26)}   # 2 letters, ONE key
print("2 letters, 1 key: plaintexts fitting each ciphertext:",
      {len({w for w in ("EE", "AT") for k in range(26) if ct(w, k) == c}) for c in cts})

# 2) one-time pad on bytes, and what goes wrong when the key is reused
def xor(p, q): return bytes(a ^ b for a, b in zip(p, q))
random.seed(27)                        # demo only; real keys come from `secrets`
m1, m2 = b"SEND 40 SACKS TO SYLHET", b"PAY THE DRIVER BY NOON."
key = bytes(random.randrange(256) for _ in m1)
c1 = xor(m1, key)
print("c1 =", c1.hex()[:24], "...", "| decrypts to:", xor(c1, key))
c2 = xor(m2, key)                      # MISTAKE: the same pad used twice
print("c1 xor c2 == m1 xor m2:", xor(c1, c2) == xor(m1, m2))
crib = b"SEND "                        # a guess about the start of m1
print("guess 'SEND ' for m1 -> m2 starts with:", xor(xor(c1, c2), crib))
print("key space for 23 bytes: 256^23 =", f"{256 ** 23:.2e}", "keys")

P(M = m | C = c) equals P(M = m) for every m and c: True
2 letters, 1 key: plaintexts fitting each ciphertext: {1}
c1 = a6c8dc200515b28ad2ff8d16 ... | decrypts to: b'SEND 40 SACKS TO SYLHET'
c1 xor c2 == m1 xor m2: True
guess 'SEND ' for m1 -> m2 starts with: b'PAY T'
key space for 23 bytes: 256^23 = 2.45e+55 keys

৭ · Classical থেকে আধুনিক — কী রইল, কী বদলাল

One-time pad নিখুঁত, কিন্তু অব্যবহারিক: বাজারঘর প্রতিদিন যত বাইট পাঠাবে, ঠিক তত বাইট নতুন এলোমেলো key আগে থেকে গোপনে গুদামে পৌঁছাতে হবে। key পৌঁছানোর নিরাপদ পথ থাকলে বার্তাটিই সেই পথে পাঠানো যেত। উপপাদ্য ৬.৩ বলে perfect secrecy চাইলে এই দাম দিতেই হবে। আধুনিক cryptography তাই লক্ষ্য একটু বদলেছে: “কোনো আক্রমণকারী কিছুই জানবে না” থেকে “কোনো বাস্তবসম্মত সময়ে চলা আক্রমণকারী উল্লেখযোগ্য কিছু জানবে না”। তখন ছোট key (যেমন 128 bit) দিয়ে অনেক বড় ডেটা encrypt করা সম্ভব।

এই পর্বের ব্যর্থতাগুলো থেকে আধুনিক নকশার নিয়মগুলো সরাসরি আসে:

• বড় key space: 312 বা 26⁶ নয়, 2¹²⁸ বা তার বেশি, যাতে brute force অসম্ভব থাকে (নীতি ৪.১).
• পরিসংখ্যান লুকানো: একই plaintext যেন একই ciphertext না দেয়; Shannon-এর ভাষায় confusion আর diffusion, অর্থাৎ key-এর সঙ্গে সম্পর্ক জটিল করা আর প্রতিটি ইনপুট bit-এর প্রভাব সব আউটপুট bit-এ ছড়িয়ে দেওয়া।
• Linear না হওয়া: affine-এর মতো linear সম্পর্ক দুটি জোড়াতেই key দিয়ে দেয়; আধুনিক cipher-এ non-linear অংশ থাকে।
• Key আর nonce কখনো পুনর্ব্যবহার নয়: one-time pad-এর শিক্ষা আজকের stream cipher আর block cipher mode-এও একই।

আজকের প্রধান symmetric cipher AES একটি block cipher: 128 bit-এর একটি block আর 128, 192 বা 256 bit-এর key নিয়ে কয়েক দফা substitution আর মিশ্রণ চালায়। এটি ২০০১ সালে মার্কিন মান FIPS 197 হিসেবে প্রকাশিত হয়, একটি উন্মুক্ত আন্তর্জাতিক প্রতিযোগিতার পর, যা Kerckhoffs-এর নীতির বাস্তব রূপ। AES-এর ভেতরের গণিত GF(2⁸) নামের একটি finite field-এ চলে, যা পর্ব ৩০ “Finite field আর elliptic curve-এর পরিচয়”-এ আসবে। কীভাবে নিরাপদে ব্যবহার করতে হয় (mode, nonce, authenticated encryption), তা Cybersecurity কোর্সের পর্ব ০৮-এ।

আর একটি সমস্যা এখনো রয়ে গেছে: অফিস আর গুদাম শুরুতে key-টি ভাগ করবে কীভাবে, যদি তাদের মধ্যে শুধু খোলা পথ থাকে? এটি “key distribution problem”, আর তার সমাধান public key cryptography, এই মডিউলের পরের তিন পর্বের বিষয়: পর্ব ২৮ “RSA-এর গণিত — key, encryption আর কেন কাজ করে”, পর্ব ২৯ “Discrete logarithm আর Diffie–Hellman key exchange”, আর পর্ব ৩০.

৮ · পরীক্ষার অঙ্ক আর একটি ভুল প্রমাণ

বিশ্ববিদ্যালয়, চাকরি বা ইন্টারভিউর লিখিত পরীক্ষায় এই বিষয়ের যে ধাঁচের অঙ্ক আসে, তার তিনটি পূর্ণ সমাধান। প্রতিটি সংখ্যা scratch-এ Python দিয়ে মেলানো।

অঙ্ক ১: affine key (7, 3) দিয়ে TEA encrypt করুন, তারপর decrypt করে মেলান

1. gcd(7, 26) = 1, তাই key বৈধ। T = 19, E = 4, A = 0.
2. Encryption: 7 · 19 + 3 = 136 = 5 · 26 + 6 → G; 7 · 4 + 3 = 31 ≡ 5 → F; 7 · 0 + 3 = 3 → D. ciphertext GFD.
3. 7⁻¹ mod 26: 26 = 3 · 7 + 5, 7 = 1 · 5 + 2, 5 = 2 · 2 + 1; পেছন থেকে 1 = 5 − 2 · 2 = 3 · 5 − 2 · 7 = 3 · 26 − 11 · 7, তাই 7⁻¹ ≡ −11 ≡ 15 (যাচাই 7 · 15 = 105 ≡ 1).
4. Decryption x = 15(y − 3): G = 6 → 15 · 3 = 45 ≡ 19 = T; F = 5 → 15 · 2 = 30 ≡ 4 = E; D = 3 → 0 = A. ফেরত TEA ✓.

অঙ্ক ২: একটি লম্বা affine ciphertext-এর সবচেয়ে ঘন অক্ষর T, দ্বিতীয় M. key বের করুন।

1. অনুমান E → T আর T → M: 4a + b ≡ 19 আর 19a + b ≡ 12 (mod 26).
2. বিয়োগ: 15a ≡ −7 ≡ 19. 15⁻¹ ≡ 7 (105 ≡ 1), তাই a ≡ 7 · 19 = 133 ≡ 3.
3. b ≡ 19 − 4 · 3 = 7. gcd(3, 26) = 1, key (3, 7) বৈধ। যাচাই: 3 · 4 + 7 = 19 = T ✓, 3 · 19 + 7 = 64 ≡ 12 = M ✓. (যদি পাওয়া a জোড় বা 13 হতো, অনুমানটি ভুল ধরে পরের জোড়া চেষ্টা করতে হতো।)

অঙ্ক ৩: Vigenère key BAG দিয়ে SENDRICE encrypt করুন

1. key-এর shift: B = 1, A = 0, G = 6, পালাক্রমে 1, 0, 6, 1, 0, 6, 1, 0.
2. S(18) + 1 = T, E(4) + 0 = E, N(13) + 6 = 19 = T, D(3) + 1 = E, R(17) + 0 = R, I(8) + 6 = 14 = O, C(2) + 1 = D, E(4) + 0 = E.
3. ciphertext TETERODE. লক্ষ করুন, এখানে কোনো অক্ষর 25 পেরোয়নি; পেরোলে 26 বিয়োগ করতে হতো।

প্রমাণের ভুল ধরুন: “দুবার encrypt করলে key space বর্গ হয়”

একজন লিখলেন: “দাবি: প্রথমে affine key (a₁, b₁), তারপর আলাদা key (a₂, b₂) দিয়ে encrypt করলে আক্রমণকারীকে 312 · 312 = 97,344টি key-জোড়া চেষ্টা করতে হয়, তাই নিরাপত্তা 312 গুণ বাড়ে। প্রমাণ: প্রতিটি key-জোড়া একটি আলাদা encryption, আর গুণের নিয়মে জোড়া 312²টি। ∎” পড়ে ভুলটি নিজে খুঁজুন।

ভুল কোথায়: “প্রতিটি key-জোড়া একটি আলাদা encryption” কথাটি মিথ্যা। দুই affine ফাংশনের composition আবার একটি affine ফাংশন: a₂(a₁x + b₁) + b₂ = (a₂a₁)x + (a₂b₁ + b₂). আর gcd(a₂a₁, 26) = 1, তাই এটি ৩১২টি সাধারণ affine key-এর একটি। ৯৭,৩৪৪টি জোড়া আসলে মাত্র ৩১২টি ভিন্ন ফাংশন দেয়; আক্রমণকারী সরাসরি একটি affine key খোঁজেন। উদাহরণ: (7, 3) ∘ (5, 8) = (35 mod 26, 7 · 8 + 3 mod 26) = (9, 7), আর ২৬টি অক্ষরেই দুই পথ একই ফল দেয় (scratch-এ যাচাই করা)। গুণের নিয়ম key-জোড়া গোনে, ভিন্ন ফাংশন নয়; গোনার আগে দেখতে হয় দুটি জিনিস সত্যিই আলাদা কি না।

৯ · AI-এর যুগে — cipher-এর হিসাব আর প্রমাণ যাচাই

AI সহকারী classical cipher-এর হিসাব দ্রুত করে দেয়, কিন্তু আত্মবিশ্বাসী অথচ ভুল প্রমাণ (converse প্রমাণ, শূন্য হতে পারে এমন কিছু দিয়ে ভাগ), off-by-one গণনা, শর্তহীন উপপাদ্য, বানানো উৎস আর modular arithmetic-এর ভুল এখানেও নিয়মিত দেখা যায়:

AI-এর উত্তর হাতে পেলে — যাচাইয়ের চেকলিস্ট

• নিজের ছোট কোডে encrypt-এর পরে decrypt করে মূল লেখা ফেরত পেয়েছি
• ব্যবহৃত প্রতিটি উপপাদ্যের শর্ত (gcd = 1, key সমসম্ভাব্য, key একবারই) এই সংখ্যায় মিলিয়েছি
• প্রতিটি inverse গুণ করে যাচাই করেছি, আর “কেটে দেওয়া” ধাপের আগে gcd দেখেছি
• “সব key” বা “কোনো key না” ধরনের দাবি ছোট n-এ brute force করে দেখেছি
• প্রমাণে converse ঢোকেনি, আর প্রতিটি ধাপের কারণ লেখা আছে
• সাল, নাম আর উদ্ধৃত প্রবন্ধ বিশ্বস্ত উৎসে মিলিয়েছি, আর বাস্তব নিরাপত্তার কাজে কোনো classical cipher সুপারিশ গ্রহণ করিনি

এই পর্বের প্রায় প্রতিটি দাবি ২৬টি অক্ষর বা ৩১২টি key-এ এক সেকেন্ডের কম সময়ে brute force করা যায়; AI-এর “সবসময়” বা “কখনো না” পেলে আগে ছোট ক্ষেত্রে counterexample খুঁজুন।