ইউনিফর্ম সিরিজ (অ্যানুইটি) ফ্যাক্টর
এই পাঠে যা শিখবেন
- অর্ডিনারি অ্যানুইটি (ordinary annuity)-র সংজ্ঞা ও কনভেনশন — প্রথম পেমেন্ট বছর ১-এর শেষে কেন হয়
- চারটি ইউনিফর্ম-সিরিজ ফ্যাক্টরের সূত্র — P/A, A/P (ক্যাপিটাল রিকভারি), F/A, A/F (সিংকিং ফান্ড)
- এই চারটি ফ্যাক্টর কীভাবে একে অপরের ইনভার্স, এবং P ও F কীভাবে সরাসরি সম্পর্কিত
- Python-এ সবগুলো ফ্যাক্টর ফাংশন হিসেবে বাস্তবায়ন করে একটি concrete উদাহরণে সামঞ্জস্য যাচাই করা
১ · অর্ডিনারি অ্যানুইটি কী
অর্ডিনারি অ্যানুইটিOrdinary Annuityএমন একটি ইউনিফর্ম সিরিজ যেখানে প্রতিটি সমান পেমেন্ট প্রতি পিরিয়ডের শেষে ঘটে, প্রথমটি পিরিয়ড ১-এর শেষে। হলো একটি ক্যাশ ফ্লো সিরিজ যেখানে $n$ সংখ্যক পিরিয়ড ধরে প্রতি পিরিয়ডের শেষে ঠিক একই পরিমাণ $A$ টাকা ঘটে — বছর ১-এর শেষে $A$, বছর ২-এর শেষে $A$, ... বছর $n$-এর শেষে $A$। M2-এ শেখা সিঙ্গেল-পেমেন্ট ফ্যাক্টর (F = P(1+i)^n) দিয়ে প্রতিটি পেমেন্টকে আলাদা আলাদাভাবে ছাড় দিয়ে যোগ করলেও উত্তর পাওয়া যায়, কিন্তু Discrete Mathematics কোর্সে শেখা জিওমেট্রিক সিরিজের সমষ্টির সূত্র প্রয়োগ করে এই যোগফলকে একটি বন্ধ-আকারের (closed-form) ফ্যাক্টরে রূপান্তর করা যায় — যা বার বার ব্যবহারের জন্য অনেক দ্রুত।
২ · চারটি ইউনিফর্ম-সিরিজ ফ্যাক্টর
নিচের চারটি ফ্যাক্টর $A$, $P$ ও $F$-কে একে অপরের সাথে সংযুক্ত করে ($i$ = পিরিয়ড-প্রতি সুদের হার, $n$ = পিরিয়ড সংখ্যা):
$$P = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i(1+i)^n}$$ সিরিজ A-কে বর্তমান মূল্য P-তে রূপান্তর করে।
$$A = P \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$$ P/A-এর ইনভার্স — একটি বিনিয়োগ P-কে সমান কিস্তিতে ফেরত আনতে কত A লাগবে তা বলে।
$$F = A \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$$ সিরিজ A-কে ভবিষ্যৎ মূল্য F (বছর n-এ) তে রূপান্তর করে।
$$A = F \cdot \frac{i}{(1+i)^n - 1}$$ F/A-এর ইনভার্স — একটি নির্দিষ্ট ভবিষ্যৎ লক্ষ্য F জমাতে প্রতি বছর কত A জমাতে হবে তা বলে।
A/P ও A/F-এর মধ্যে সম্পর্ক সহজ: $A/P = A/F + i$ — কারণ P-কে F-এ রূপান্তর করলে $F = P(1+i)^n$, আর এই দুই ফ্যাক্টরের বীজগাণিতিক পার্থক্যই ঠিক $i$। নিচের কোড সেলে এই ধরনের সামঞ্জস্যগুলো সরাসরি অ্যাসার্ট করে যাচাই করা হয়েছে।
৩ · Python-এ চারটি ফ্যাক্টর ও সামঞ্জস্য যাচাই
ধরা যাক প্রতি বছর $2,000 করে ১০ বছর ধরে জমা/পেমেন্ট হচ্ছে, সুদের হার ৯%। নিচের কোডে চারটি ফ্যাক্টরই ফাংশন হিসেবে লেখা হয়েছে, তারপর P ও F বের করে দেখানো হয়েছে A/P ও A/F দিয়ে ফেরত হিসাব করলে ঠিক মূল A-ই পাওয়া যায় কি না, এবং P ও F নিজেরাও সিঙ্গেল-পেমেন্ট সূত্র দিয়ে সংগতিপূর্ণ কি না।
# চারটি ইউনিফর্ম-সিরিজ (অ্যানুইটি) ফ্যাক্টর
def pa_factor(i, n):
return ((1 + i) ** n - 1) / (i * (1 + i) ** n)
def ap_factor(i, n):
return (i * (1 + i) ** n) / ((1 + i) ** n - 1)
def fa_factor(i, n):
return ((1 + i) ** n - 1) / i
def af_factor(i, n):
return i / ((1 + i) ** n - 1)
A = 2000 # বার্ষিক পেমেন্ট
i = 0.09 # সুদের হার
n = 10 # বছর
P = A * pa_factor(i, n)
F = A * fa_factor(i, n)
# ফেরত যাচাই -- A/P হলো P/A-এর ইনভার্স, A/F হলো F/A-এর ইনভার্স
A_from_P = P * ap_factor(i, n)
A_from_F = F * af_factor(i, n)
# P ও F সিঙ্গেল-পেমেন্ট সূত্র দিয়ে সংগতিপূর্ণ কি না -- F = P*(1+i)^n
F_from_P = P * (1 + i) ** n
print(f"A = ${A:,.2f}/বছর, i = {i*100:.0f}%, n = {n} বছর")
print(f"P/A factor = {pa_factor(i, n):.6f} -> P = ${P:,.2f}")
print(f"F/A factor = {fa_factor(i, n):.6f} -> F = ${F:,.2f}")
print()
print(f"যাচাই ১ (A/P সমতা): A = ${A_from_P:,.4f} (মূল A = ${A:,.2f})")
print(f"যাচাই ২ (A/F সমতা): A = ${A_from_F:,.4f} (মূল A = ${A:,.2f})")
print(f"যাচাই ৩ (F=P(1+i)^n): F = ${F_from_P:,.2f} (F/A থেকে F = ${F:,.2f})")
print(f"যাচাই ৪ (A/P - A/F = i): {ap_factor(i, n) - af_factor(i, n):.6f} (i = {i})")
assert abs(A_from_P - A) < 1e-6
assert abs(A_from_F - A) < 1e-6
assert abs(F_from_P - F) < 1e-6
assert abs((ap_factor(i, n) - af_factor(i, n)) - i) < 1e-9
print("\nসব চেক পাস করেছে -- চারটি ফ্যাক্টর একে অপরের সাথে গাণিতিকভাবে সংগতিপূর্ণ।")assert লাইনগুলো লক্ষ্য করুন — এগুলো শুধু ফলাফল প্রিন্ট করে না, বরং কোডকে নিজে থেকেই যাচাই করতে
বাধ্য করে যে A/P আসলেই P/A-এর নিখুঁত ইনভার্স। যদি কোনো ফ্যাক্টরের সূত্রে ভুল থাকত, এই assert
ব্যর্থ হয়ে সাথে সাথে ধরা পড়ত।
চারটি ইউনিফর্ম-সিরিজ ফ্যাক্টর (P/A, A/P, F/A, A/F) মূলত একই জিওমেট্রিক-সিরিজ সম্পর্কের চারটি ভিন্ন রূপ — দুটো জোড়া একে অপরের ইনভার্স, এবং P ও F নিজেরাও M2-এর সিঙ্গেল-পেমেন্ট সূত্র দিয়ে সংযুক্ত। পরের পাঠে দেখা যাবে যখন পেমেন্ট প্রতি বছর সমান না থেকে ধারাবাহিকভাবে বাড়ে (arithmetic gradient), তখন কীভাবে নতুন ফ্যাক্টর দরকার হয়।
ভাবনার প্রশ্ন
প্রতিটি প্রশ্ন নিজে কিছুক্ষণ ভাবুন — তারপর "→ উত্তর" চাপুন।
প্র ০১ P/A ফ্যাক্টর ও A/P ফ্যাক্টর একে অপরের ইনভার্স কেন — এটা গাণিতিকভাবে দেখান।
P/A সূত্র হলো $P = A \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$। এই সমীকরণের দুই পাশকে $\frac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}$ দিয়ে ভাগ করলে $A = P \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}$ পাওয়া যায় — যা ঠিক A/P সূত্র। তাই দুটো ফ্যাক্টরের গুণফল সবসময় ১ হবে, অর্থাৎ তারা একে অপরের গাণিতিক ইনভার্স।
প্র ০২ i খুব ছোট হয়ে ০-এর কাছাকাছি গেলে P/A ফ্যাক্টরের কী হবে?
i = 0 হলে সূত্রে সরাসরি ০ দিয়ে ভাগ হয়ে যায় (undefined form), কিন্তু লিমিট নিলে P/A ফ্যাক্টর ঠিক
$n$-এর দিকে যায় — কারণ সুদ ছাড়া n বছর ধরে A করে পেমেন্ট মানে আজকের মূল্যও ঠিক
$n \times A$ই হবে। কোডে i=0 দিলে ZeroDivisionError আসবে, তাই
বাস্তব অ্যাপ্লিকেশনে এই edge case আলাদাভাবে হ্যান্ডেল করতে হয়।
প্র ০৩ A/F (সিংকিং ফান্ড) ফ্যাক্টর বাস্তব জীবনে কোন ধরনের প্রশ্নের উত্তর দেয়?
"৫ বছর পর একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা (যেমন মেশিন রিপ্লেসমেন্টের জন্য $50,000) জমাতে চাই — প্রতি বছর কত টাকা আলাদা করে জমাতে হবে?" — এই প্রশ্নের উত্তর সরাসরি A/F ফ্যাক্টর দেয়। এটি ভবিষ্যতের একটি লক্ষ্যকে বর্তমান থেকে নিয়মিত সঞ্চয়ে ভেঙে দেয়।
অনুশীলন
-
চিন্তা করুন: দুটো প্ল্যান আছে — প্ল্যান A: আজ একবারে $10,000 বিনিয়োগ করা। প্ল্যান B:
প্রতি বছরের শেষে ৫ বছর ধরে সমান কিস্তিতে বিনিয়োগ করা, মোট বিনিয়োগ একই থাকলেও। ১০% সুদের হারে কোন প্ল্যানের
ভবিষ্যৎ মূল্য বেশি হবে, এবং কেন?
প্ল্যান A বেশি ভবিষ্যৎ মূল্য দেবে, কারণ পুরো টাকাটাই সবচেয়ে বেশি সময় ধরে সুদ অর্জন করে (৫ বছর পূর্ণ কম্পাউন্ডিং)। প্ল্যান B-তে প্রতিটি কিস্তি ভিন্ন ভিন্ন সময়কাল ধরে সুদ পায় — শেষ কিস্তিটি তো একদমই সুদ পায় না (বছর ৫-এর শেষেই জমা হচ্ছে)। এটাই দেখায় কেন "একবারে বিনিয়োগ" আর "কিস্তিতে বিনিয়োগ" — মোট পরিমাণ একই হলেও — সমান নয়।
-
পরীক্ষা করুন: উপরের কোড সেলে
n = 10-কেn = 20-এ বদলে Run চেপে দেখুন P ও F কীভাবে বদলায় — এবংassert-গুলো এখনও পাস করে কি না।n=20,i=0.09হলে P/A ফ্যাক্টর বেড়ে প্রায় ৯.১৩ হবে (n=10-এর ৬.৪২ থেকে), অর্থাৎ P বাড়বে কিন্তু ক্রমহ্রাসমান হারে (n আরও বাড়লে P/A একটা সীমার কাছে যায় — 1/i)। F/A ফ্যাক্টর অনেক বেশি বাড়বে (কম্পাউন্ডিং এক্সপোনেনশিয়াল)। সবassertএখনও পাস করবে, কারণ ফ্যাক্টরগুলোর ইনভার্স সম্পর্ক যেকোনো n-এর জন্যই সত্য।
আরও পড়ুন · ABCL TECH-এ আপনার পরবর্তী পদক্ষেপ
- কোর্সের সম্পূর্ণ সিলেবাস দেখুন ৫৭টি পাঠ টাইম ভ্যালু অফ মানি, ক্যাশ ফ্লো সিরিজ, ওয়ার্থ-ভিত্তিক তুলনা, রেট অফ রিটার্ন, ডেপ্রিসিয়েশন, ট্যাক্স, ইনফ্লেশন, রিস্ক অ্যানালাইসিস ও ক্যাপিটাল বাজেটিং — সম্পূর্ণ কোর্স এক জায়গায়।
- Discrete Mathematics কোর্স সহোদর কোর্স জিওমেট্রিক সিরিজের সমষ্টির সূত্র — এই পাঠের প্রতিটি অ্যানুইটি ফ্যাক্টরের গাণিতিক ভিত্তি সেখানেই তৈরি হয়েছে।
- সব Courses দেখুন ABCL TECH C, C++, Python, Java, JavaScript, DSA, DBMS, Discrete Mathematics, System Design, Cybersecurity, Cloud Computing & DevOps, Computer Networks, Operating Systems, Computer Architecture, Programming Languages & Compiler Design, Software Engineering & Git, Theory of Computation ও Engineering Economics — সব এক জায়গায়।