ইন্টারনাল রেট অফ রিটার্ন (IRR) — ধারণা ও হিসাব

১ · IRR কী — NPV=0 হওয়ার রেট

IRRInternal Rate of Returnসেই একক সুদের হার, যেখানে একটি ক্যাশ ফ্লো সিরিজের নেট প্রেজেন্ট ওয়ার্থ ঠিক শূন্য হয়। হলো এমন একটি সুদের হার $i^*$, যা একটি প্রজেক্টের সব ক্যাশ ফ্লোকে (M2-M3-এর সিঙ্গেল-পেমেন্ট ও সিরিজ ফ্যাক্টর দিয়ে) বছর ০-তে ছাড় দিয়ে যোগ করলে ঠিক শূন্য দেয়:

$$NPV(i^*) = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+i^*)^t} = 0$$

এই সমষ্টিটা M2-M3-এ শেখা একই ধরনের ছাড়যুক্ত ক্যাশ ফ্লো যোগফল — শুধু এখানে $i$ অজানা, আর সমীকরণের মান শূন্যের সমান হতে হবে। $n$ বড় হলে এটি $i$-এর একটি উচ্চ-ডিগ্রির বহুপদী সমীকরণে পরিণত হয়, যার সাধারণত কোনো বন্ধ-আকারের (closed-form) বীজগাণিতিক সমাধান থাকে না — তাই সংখ্যাগত (numerical) পদ্ধতি — যেমন বাইসেকশন বা নিউটন-র‌্যাফসন — ব্যবহার করে আনুমানিক সমাধান বের করতে হয়, যতক্ষণ না তা কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতায় পৌঁছায়।

২ · বাইসেকশন পদ্ধতি — মূল ধারণা

বাইসেকশন পদ্ধতি ইন্টারমিডিয়েট ভ্যালু থিওরেম (Intermediate Value Theorem)-এর উপর ভিত্তি করে কাজ করে: যদি কোনো নিরবচ্ছিন্ন ফাংশন $f$-এর জন্য $f(lo)$ ও $f(hi)$-এর চিহ্ন বিপরীত হয় (একটি ধনাত্মক, একটি ঋণাত্মক), তাহলে $lo$ ও $hi$-এর মাঝে অন্তত একটি রুট (যেখানে $f=0$) অবশ্যই থাকবে। ধাপগুলো —

• একটি ব্র্যাকেট $[lo, hi]$ বাছাই করো যেখানে $NPV(lo)$ ও $NPV(hi)$-এর চিহ্ন বিপরীত
• মধ্যবিন্দু $mid = (lo+hi)/2$ বের করে $NPV(mid)$ হিসাব করো
• $NPV(mid)$-এর চিহ্ন $NPV(lo)$-এর সাথে মিলে গেলে $lo=mid$, নাহলে $hi=mid$ — এভাবে ইন্টারভ্যাল প্রতিবার অর্ধেক হয়
• ইন্টারভ্যাল যথেষ্ট ছোট (বা $NPV(mid)$ যথেষ্ট শূন্যের কাছে) না হওয়া পর্যন্ত এই ধাপ পুনরাবৃত্তি করো

প্রতি ধাপে ইন্টারভ্যাল ঠিক অর্ধেক হয়ে যায়, তাই এটি নিশ্চিতভাবে (গ্যারান্টিসহ) কাঙ্ক্ষিত নির্ভুলতায় পৌঁছায় — কিন্তু ধীরে ধীরে (প্রতি পুনরাবৃত্তিতে মাত্র এক বিট নির্ভুলতা বাড়ে)। নিচের কোডে এটি একটি বাউন্ডেড for লুপে লেখা হয়েছে, যাতে ভুল করে অসীম লুপে আটকে না যায়।

৩ · Python-এ জেনুইন বাইসেকশন IRR সমাধান

ধরা যাক আজ $10,000 বিনিয়োগ করলে পরের ৪ বছরে যথাক্রমে $3,000, $4,000, $5,000, $3,000 ফেরত আসে। নিচের কোডে npv() ফাংশন M2-M3-এর ছাড়যুক্ত সমষ্টি হিসাব করে, আর find_irr() ফাংশন সেই npv()-কে বার বার ডেকে বাইসেকশন করে IRR বের করে — শেষে পাওয়া IRR-এ NPV আসলেই শূন্যের কাছাকাছি কি না তা প্রিন্ট করে কনভারজেন্স যাচাই করা হয়েছে।

# IRR -- NPV(i*) = 0 হওয়ার হার i* বের করা, জেনুইন বাইসেকশন দিয়ে

def npv(cashflows, i):
    return sum(cf / (1 + i) ** t for t, cf in cashflows)

def find_irr(cashflows, lo=-0.5, hi=1.0, tol=1e-7, max_iter=200):
    f_lo = npv(cashflows, lo)
    f_hi = npv(cashflows, hi)
    if f_lo * f_hi > 0:
        raise ValueError("bracket-এ NPV চিহ্ন বদলাচ্ছে না -- বাইসেকশন সম্ভব নয়")

    for _ in range(max_iter):
        mid = (lo + hi) / 2
        f_mid = npv(cashflows, mid)
        if abs(f_mid) < tol or (hi - lo) / 2 < tol:
            return mid
        if f_lo * f_mid < 0:
            hi = mid
        else:
            lo = mid
            f_lo = f_mid
    return (lo + hi) / 2

# (বছর, ক্যাশ ফ্লো) -- বছর ০-এ $10,000 বিনিয়োগ, তারপর ৪ বছরের রিটার্ন
cashflows = [(0, -10000), (1, 3000), (2, 4000), (3, 5000), (4, 3000)]

irr = find_irr(cashflows)
check_npv = npv(cashflows, irr)

print("ক্যাশ ফ্লো (বছর, পরিমাণ):", cashflows)
print(f"বাইসেকশন দিয়ে বের করা IRR = {irr*100:.4f}%")
print(f"NPV(IRR) = ${check_npv:,.6f}   (শূন্যের কাছাকাছি -- এটাই কনভারজেন্সের প্রমাণ)")