মাল্টিপল রেট অফ রিটার্ন সমস্যা

১ · নন-কনভেনশনাল ক্যাশ ফ্লো ও Descartes' Rule

একটি কনভেনশনাল (conventional) ক্যাশ ফ্লোতে চিহ্ন মাত্র একবার বদলায় — সাধারণত শুরুতে একটি বিনিয়োগ (ঋণাত্মক), তারপর সব বছর ধনাত্মক রিটার্ন (যেমন L20-এর উদাহরণ: $-,+,+,+,+$)। কিন্তু কিছু বাস্তব প্রজেক্টে চিহ্ন একাধিকবার বদলায় — যেমন একটি খনি প্রকল্পে শুরুতে বড় বিনিয়োগ (ঋণাত্মক), মাঝে বছরের পর বছর আয় (ধনাত্মক), আর শেষে পরিবেশ পুনরুদ্ধার বা ডিকমিশনিং খরচ (আবার ঋণাত্মক) — এই ধরনের $-,+,+,\ldots,-$ প্যাটার্নকে নন-কনভেনশনাল (non-conventional) ক্যাশ ফ্লো বলা হয়।

Descartes' rule of signsএকটি বহুপদী সমীকরণের ধনাত্মক বাস্তব মূলের সংখ্যা কখনোই সহগগুলোর চিহ্ন-পরিবর্তনের সংখ্যার চেয়ে বেশি হতে পারে না (একই জোড়-বিজোড়ে কম হতে পারে)। বলে — একটি ক্যাশ ফ্লো সিরিজে ক্রমিকভাবে চিহ্ন যতবার বদলায়, তার সমান বা তার চেয়ে কম সংখ্যক ধনাত্মক বাস্তব IRR থাকতে পারে (একই প্যারিটিতে কম হতে পারে, যেমন ২ চিহ্ন-পরিবর্তনে ২টি বা ০টি রুট থাকতে পারে, কিন্তু ১টি নয়)। এটি একটি ঊর্ধ্বসীমা মাত্র — বাস্তবে কয়টি রুট সত্যিই আছে তা নিশ্চিত করতে হলে সরাসরি হিসাব বা স্ক্যান করতে হয়।

২ · একটি ক্লাসিক উদাহরণ — Python দিয়ে রেঞ্জ স্ক্যান

নিচের ক্যাশ ফ্লো — বছর ০-এ $1,000 বিনিয়োগ, বছর ১-এ $3,000 আয়, বছর ২-এ $2,100 খরচ — একটি ক্লাসিক নন-কনভেনশনাল উদাহরণ। চিহ্ন-ক্রম $-,+,-$, অর্থাৎ ২টি চিহ্ন-পরিবর্তন — Descartes' rule অনুযায়ী সর্বোচ্চ ২টি ধনাত্মক IRR থাকতে পারে। একটি একক বাইসেকশন এখানে বিপজ্জনক — কারণ ব্র্যাকেট বাছাইয়ের উপর নির্ভর করে এটি যেকোনো একটি রুট খুঁজে পেতে পারে, অন্যটি সম্পূর্ণ মিস করে যেতে পারে। তাই নিচের কোডে বাইসেকশনের বদলে একটি রেঞ্জ স্ক্যান করা হয়েছে — $i=-50\%$ থেকে $i=200\%$ পর্যন্ত ছোট ছোট ধাপে NPV হিসাব করে প্রতিটি চিহ্ন-পরিবর্তন (অর্থাৎ প্রতিটি রুটের আনুমানিক অবস্থান) সরাসরি শনাক্ত করা হয়েছে।

# মাল্টিপল IRR শনাক্তকরণ -- সুদের হারের একটি রেঞ্জ স্ক্যান করে NPV-এর প্রতিটি চিহ্ন-পরিবর্তন খোঁজা

def npv(cashflows, i):
    return sum(cf / (1 + i) ** t for t, cf in cashflows)

# (বছর, ক্যাশ ফ্লো) -- ক্লাসিক নন-কনভেনশনাল সিরিজ: -, +, -  =>  ২টি চিহ্ন-পরিবর্তন
cashflows = [(0, -1000), (1, 3000), (2, -2100)]

signs = [1 if cf > 0 else -1 for _, cf in cashflows]
sign_changes = sum(1 for a, b in zip(signs, signs[1:]) if a * b < 0)
print(f"ক্যাশ ফ্লোর চিহ্ন-ক্রম: {signs}")
print(f"চিহ্ন-পরিবর্তনের সংখ্যা: {sign_changes}")
print(f"Descartes' rule অনুযায়ী সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ধনাত্মক IRR: {sign_changes}টি\n")

lo, hi, step = -0.5, 2.0, 0.0005
roots_found = []
i_prev = lo
npv_prev = npv(cashflows, lo)

i = lo + step
while i <= hi:
    npv_curr = npv(cashflows, i)
    if npv_prev * npv_curr < 0:
        # এই ছোট ইন্টারভ্যালে একটি রুট আছে -- লিনিয়ার ইন্টারপোলেশনে আনুমানিক অবস্থান
        approx_root = i_prev - npv_prev * (i - i_prev) / (npv_curr - npv_prev)
        roots_found.append(approx_root)
    i_prev, npv_prev = i, npv_curr
    i += step

print(f"স্ক্যানে পাওয়া রুটের সংখ্যা: {len(roots_found)}")
for idx, r in enumerate(roots_found, start=1):
    print(f"  রুট {idx}: i ≈ {r*100:.2f}%   (যাচাই NPV = ${npv(cashflows, r):,.4f})")