রিয়েল বনাম নমিনাল ইন্টারেস্ট রেট — ফিশার ইকুয়েশন

১ · তিনটি আলাদা রেট — কম্বাইন্ড, রিয়েল, ইনফ্লেশন

L38-এ দেখা গেছে ইনফ্লেশন কীভাবে টাকার ক্রয়ক্ষমতা ক্ষয় করে। এখন প্রশ্ন — যখন আপনি একটি ব্যাংক অ্যাকাউন্ট বা বিনিয়োগে সুদ অর্জন করেন, সেই সুদ কি ইনফ্লেশনের ক্ষয়কে ছাপিয়ে যাচ্ছে, নাকি শুধু তার সাথে তাল মেলাচ্ছে? এই প্রশ্নের উত্তর দিতে তিনটি রেট আলাদা করে বোঝা দরকার —

২ · ফিশার ইকুয়েশন

এই তিনটি রেট স্বাধীনভাবে নয়, বরং একটি নির্দিষ্ট গাণিতিক সম্পর্কে যুক্ত — একে বলা হয় ফিশার ইকুয়েশনFisher Equationঅর্থনীতিবিদ Irving Fisher-এর নামে নামকরণ — কম্বাইন্ড, রিয়েল ও ইনফ্লেশন রেটের মধ্যে সঠিক গাণিতিক সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করে। —

$$(1 + i_{combined}) = (1 + i_{real})(1 + f)$$

এই সমীকরণটি সহজেই বোঝা যায় — একটি বিনিয়োগ রিয়েল রেটে বাড়ে ($(1+i_{real})$ গুণ), এবং একই সাথে মূল্যস্তরও ইনফ্লেশন হারে বাড়ে ($(1+f)$ গুণ) — দুটো প্রভাব "গুণ" হয়ে মিলিত হয়ে কম্বাইন্ড রেট তৈরি করে, সরল যোগ ($i_{real}+f$) দিয়ে নয়। ডান পাশ বিস্তার করলে —

$$i_{combined} = i_{real} + f + i_{real} \cdot f$$

অর্থাৎ কম্বাইন্ড রেট = রিয়েল রেট + ইনফ্লেশন + একটি ছোট্ট "ক্রস-টার্ম" $i_{real} \cdot f$ (দুটো ছোট দশমিক সংখ্যার গুণফল বলে সাধারণত ছোট হয়, কিন্তু শূন্য নয়)। উল্টো দিক থেকে সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করলে রিয়েল রেট বের করার সঠিক সূত্র পাওয়া যায় —

$$i_{real} = \dfrac{i_{combined} - f}{1 + f}$$

৩ · কোড: ফিশার ইকুয়েশন বাস্তবায়ন ও যাচাই

নিচের কোড সেলে দুটো ফাংশন লেখা হচ্ছে — combined_rate() ও real_rate() — যেগুলো একে অপরের ঠিক বিপরীত (inverse) হওয়া উচিত। প্রথমে একটি রাউন্ড-ট্রিপ পরীক্ষা দিয়ে তা যাচাই করা হচ্ছে, তারপর একটি বাস্তব উদাহরণ — ব্যাংকের কম্বাইন্ড রেট ৯%, প্রত্যাশিত ইনফ্লেশন ৪% হলে বিনিয়োগকারীর প্রকৃত (রিয়েল) রিটার্ন আসলে কত, এবং সরল অ্যাপ্রক্সিমেশন কতটা ভুল দেয়।

# ফিশার ইকুয়েশন -- (1 + i_combined) = (1 + i_real)(1 + f)

def combined_rate(i_real, f):
    return (1 + i_real) * (1 + f) - 1

def real_rate(i_combined, f):
    return (i_combined - f) / (1 + f)

# --- রাউন্ড-ট্রিপ ভেরিফিকেশন: real_rate কি combined_rate-এর সঠিক ইনভার্স? ---
i_real_test = 0.05
f_test = 0.03
i_comb_test = combined_rate(i_real_test, f_test)
i_real_recovered = real_rate(i_comb_test, f_test)

print("--- রাউন্ড-ট্রিপ যাচাই ---")
print(f"i_real = {i_real_test*100:.4f}%  --combined_rate-->  i_combined = {i_comb_test*100:.4f}%")
print(f"i_combined = {i_comb_test*100:.4f}%  --real_rate-->  recovered i_real = {i_real_recovered*100:.4f}%")
assert abs(i_real_recovered - i_real_test) < 1e-9
print("OK -- দুটো ফাংশন একে অপরের সঠিক ইনভার্স\n")

# --- বাস্তব উদাহরণ: ব্যাংকের কম্বাইন্ড রেট ৯%, প্রত্যাশিত ইনফ্লেশন ৪% ---
i_combined = 0.09
f = 0.04
i_real_exact = real_rate(i_combined, f)
i_real_approx = i_combined - f          # সাধারণ (কিন্তু সামান্য ভুল) অ্যাপ্রক্সিমেশন
error_pp = (i_real_approx - i_real_exact) * 100

print("--- বাস্তব উদাহরণ ---")
print(f"কম্বাইন্ড/মার্কেট রেট i_combined = {i_combined*100:.2f}%")
print(f"প্রত্যাশিত ইনফ্লেশন f            = {f*100:.2f}%")
print(f"সঠিক ফিশার সূত্রে প্রকৃত রিয়েল রেট = {i_real_exact*100:.4f}%")
print(f"সরল অ্যাপ্রক্সিমেশন (i_combined-f) = {i_real_approx*100:.4f}%")
print(f"অ্যাপ্রক্সিমেশন এরর               = {error_pp:.4f} পার্সেন্টেজ পয়েন্ট")