ম্যাট্রিক্সকে রৈখিক রূপান্তর হিসেবে দেখা

১ · ম্যাট্রিক্স = ভেক্টর থেকে ভেক্টরে একটি ফাংশন

পাঠ ০৭-এ আমরা ম্যাট্রিক্স–ভেক্টর গুণন $\mathbf{Ax}$ শিখেছি একটি হিসাব হিসেবে। এখন এটাকে ভিন্নভাবে দেখা যাক — $\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$-কে একটি রৈখিক রূপান্তরLinear Transformationএমন একটি ফাংশন $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ যা $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$ এবং $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$ মেনে চলে। হিসেবে ভাবুন — একটি ফাংশন $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ যেখানে $T(\mathbf{x})=\mathbf{Ax}$। "রৈখিক" শব্দটি এসেছে এই কারণে যে এটি যোগ ও স্কেলিং সংরক্ষণ করে: $\mathbf{A}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=\mathbf{Au}+\mathbf{Av}$ এবং $\mathbf{A}(c\mathbf{u})=c\mathbf{Au}$। প্রতিটি ইনপুট ভেক্টর $\mathbf{x}$-এর জন্য একটি নির্দিষ্ট আউটপুট ভেক্টর $\mathbf{y}=\mathbf{Ax}$ আছে — ঠিক যেমন $f(x)=2x$ একটি সংখ্যাকে আরেকটি সংখ্যায় পাঠায়, $\mathbf{A}$ একটি ভেক্টরকে আরেকটি ভেক্টরে পাঠায়।

২ · Rotation ম্যাট্রিক্স

দ্বিমাত্রিক স্পেসে একটি ভেক্টরকে মূলবিন্দুর চারদিকে $\theta$ কোণে ঘোরাতে (counter-clockwise) এই ম্যাট্রিক্স ব্যবহার হয়:

যেমন $\theta=90°$ হলে $\cos90°=0$, $\sin90°=1$, তাই $\mathbf{R}_{90°}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$। এটি ভেক্টর $(1,0)$-এর ওপর প্রয়োগ করলে: $\mathbf{R}_{90°}(1,0)^T = (0\cdot1+(-1)\cdot0,\ 1\cdot1+0\cdot0)^T=(0,1)$ — ঠিক যা প্রত্যাশিত, $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের ভেক্টরকে $90°$ ঘোরালে $y$-অক্ষের ধনাত্মক দিকে যাওয়ার কথা।

৩ · Scaling ম্যাট্রিক্স

একটি ডায়াগোনাল (diagonal) ম্যাট্রিক্স প্রতিটি অক্ষ বরাবর ভিন্ন হারে স্কেল (সংকোচন/প্রসারণ) করে:

যেমন $\mathbf{S}=\begin{pmatrix}2&0\\0&0.5\end{pmatrix}$ প্রথম অক্ষে দ্বিগুণ প্রসারিত করে, দ্বিতীয় অক্ষে অর্ধেক সংকুচিত করে। $s_i$ ঋণাত্মক হলে সেই অক্ষ বরাবর প্রতিফলন (reflection)-ও ঘটে।

৪ · Projection ম্যাট্রিক্স

একটি প্রজেকশন ম্যাট্রিক্স একটি উচ্চ-মাত্রিক ভেক্টরকে একটি নিম্ন-মাত্রিক সাবস্পেসে "চ্যাপ্টা" করে দেয়। $x$-অক্ষে প্রজেক্ট করার ম্যাট্রিক্স:

এটি $y$-উপাদানকে সম্পূর্ণ মুছে ফেলে — তথ্য হারিয়ে যায় (এই কারণে প্রজেকশন সাধারণত ইনভার্সিবল নয়, যা আমরা পাঠ ০৯-এ দেখব)।

৫ · রূপান্তর যোগ করা = ম্যাট্রিক্স গুণ করা

ধরুন আমরা প্রথমে একটি ভেক্টরকে $\mathbf{R}$ দিয়ে ঘোরাতে চাই, তারপর $\mathbf{S}$ দিয়ে স্কেল করতে চাই। ধাপে ধাপে করলে: $\mathbf{y}=\mathbf{R}\mathbf{x}$, তারপর $\mathbf{z}=\mathbf{S}\mathbf{y}=\mathbf{S}(\mathbf{R}\mathbf{x})$। কিন্তু ম্যাট্রিক্স গুণন সংযোজিত (associative), তাই:

অর্থাৎ দুটি রূপান্তর একের পর এক প্রয়োগ করার বদলে, আগে থেকেই $\mathbf{M}=\mathbf{SR}$ হিসাব করে রাখলে, একটিমাত্র ম্যাট্রিক্স–ভেক্টর গুণনেই একই ফলাফল পাওয়া যায়। লক্ষ করুন ক্রম গুরুত্বপূর্ণ — $\mathbf{SR}\neq\mathbf{RS}$ (পাঠ ০৭-এর non-commutativity), অর্থাৎ "আগে ঘোরাও, পরে স্কেল করো" আর "আগে স্কেল করো, পরে ঘোরাও" সাধারণত ভিন্ন ফলাফল দেয়।

এটিই একটি গভীর ML সংযোগের ভিত্তি — একটি নিউরাল নেটওয়ার্কের একটি লেয়ার $\mathbf{z}=\mathbf{Wx}+\mathbf{b}$ হলো একটি অ্যাফাইন রূপান্তর (রৈখিক রূপান্তর $\mathbf{Wx}$ + একটি shift $\mathbf{b}$), এরপর একটি নন-লিনিয়ার অ্যাক্টিভেশন ফাংশন (মডিউল ৪-এ কভার হবে) সেই সরল রৈখিক জগৎটাকে "বাঁকিয়ে" দেয়। একাধিক লেয়ার স্ট্যাক করা মানে একাধিক রূপান্তর ও ওয়ার্প একের পর এক প্রয়োগ করা — যার মাধ্যমে নেটওয়ার্ক ইনপুট স্পেসকে ধীরে ধীরে এমন একটি আকারে রূপান্তরিত করে যেখানে ক্লাসগুলো আলাদা করা সহজ হয়ে যায়।

৬ · কোড দিয়ে যাচাই

নিচে rotation ও scaling ম্যাট্রিক্স প্রয়োগ করে দেখানো হলো যে ধাপে ধাপে রূপান্তর প্রয়োগ করা এবং একটি একক combined ম্যাট্রিক্স প্রয়োগ করা একই ফলাফল দেয়।

import numpy as np

theta = np.pi / 2  # ৯০ ডিগ্রি
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

S = np.array([[2.0, 0.0],
              [0.0, 0.5]])

x = np.array([1.0, 0.0])

# ধাপে ধাপে: আগে ঘোরাও, তারপর স্কেল করো
y = R @ x
z_step_by_step = S @ y

# একক combined ম্যাট্রিক্স দিয়ে একবারে
M = S @ R
z_combined = M @ x

print("ধাপে ধাপে:", z_step_by_step)
print("Combined ম্যাট্রিক্স দিয়ে:", z_combined)
print("দুটি সমান?", np.allclose(z_step_by_step, z_combined))

# ক্রম বদলালে ভিন্ন ফলাফল
M_reversed = R @ S
print("উল্টো ক্রমে (আগে স্কেল, পরে ঘোরাও):", M_reversed @ x)